2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省荆州市沙市中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由直线方程求出斜率，根据斜率求出倾斜角.

【详解】设直线倾斜角为，

由，可得，

所以斜率为，

由，可知倾斜角为.

故选：D.

2．点是三棱锥底面的重心，且满足，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】连接并延长交于点，连接，则为的中点，由重心的性质可得出，利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式，即可得出实数的值.

【详解】连接并延长交于点，连接，则为的中点，

所以，，

因为为的重心，则，即，

所以，，即，故.

故选：C.

3．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为（    ）

A．12 B．9 C．6 D．3

【答案】D

【分析】根据棱锥的性质，用平行于棱锥底面的平面截该棱锥，截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，以此可得棱锥的高，进而得到棱台的高．

【详解】∵截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为h，

根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，

则，∴，

∴棱台的高是，即棱台的上、下底面的距离为3.

故选：D．

4．已知直线与圆交于两点M，N，当面积最大时，斜率k值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意，当，面积最大，分析可得此时圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式即得解.

【详解】由题意，圆，

故圆心，半径，

，

故当时，的面积取得最大值，

此时圆心到直线的距离，

即，即，解得.

故选：D

5．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则面积的最大值是（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】C

【分析】建立直角坐标系，利用可得点的轨迹方程，再利用圆的性质及三角形面积公式即得.

【详解】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，

则，设，由，

所以，

两边平方并整理得，

所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，

则当到(轴)的距离最大时面积的最大，

此时的面积是.

故选：C.

6．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线：.给出以下命题：

①当时，若直线 截黑色阴影区域所得两部分面积记为，（），则；

②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点；

③当时，直线与黑色阴影区域有2个公共点.

其中所有正确命题的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】A

【分析】由题知根据直线：横过点 ，为直线的斜率

根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项分析判断即可得解

【详解】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，

所以大圆的面积为，小圆的面积为．

对于①，当时，直线的方程为．

此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，

，，

所以，故①正确．

对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为

当时，直线的方程为，

即，小圆圆心到直线的距离，

所以直线与该半圆弧相切，如图2所示，

所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．

对于③，当时，如图3所示，

直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，

当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．

综上所述，①②正确．

故选：A．

7．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，且曲线，在第一象限内的公共点记为，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据焦点相同得到，，然后利用椭圆和双曲线的定义得到，，即可得到，，再利用余弦定理列方程，解方程得到即可求双曲线的离心率.

【详解】因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以，，

为两曲线的公共点，所以，，联立得，，因为，所以，解得，则双曲线的离心率为.

故选：A.

8．已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，中点为，利用点差法结合条件可得点，根据在椭圆内部，进而即得．

【详解】椭圆，即：，

设椭圆上两点关于直线对称，中点为，

则，，

所以，

∴，

∴，代入直线方程得，即，

因为在椭圆内部，

∴，

解得 ，

即的取值范围是．

故选：A．

二、多选题

9．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为2的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率可以是（    ）

A．2 B． C． D．3

【答案】BCD

【分析】由过点F且斜率为2的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则，即可求出离心率得范围，进而得出答案.

【详解】∵双曲线的渐近线方程为，由题意可知：

，∴，，，，，．

故选：BCD.

10．已知正方体，棱长为1，分别为棱的中点，则（    ）

A．直线与直线共面 B．

C．直线与直线的所成角为 D．三棱锥的体积为

【答案】BD

【分析】如图，以为原点，以所在直线分别为建立空间直角坐标系，对于A，利用面面平行性质结合平行公理分析判断，对于B，通过计算进行判断，对于C，利用向量的夹角公式求解，对于D，利用求解.

【详解】如图，以为原点，以所在直线分别为建立空间直角坐标系，则

，，

，

对于A，假设直线与直线共面，因为平面∥平面，平面平面，平面平面，

所以∥，

因为∥，所以∥，矛盾，所以直线与直线不共面，所以A错误；

对于B，因为，

所以，所以，所以，所以B正确，

对于C，设直线与直线的所成角为，因为，

所以，

所以，所以C错误，

对于D，因为平面，

所以，所以D正确，

故选：BD.

11．设圆O，直线，P为l上的动点．过点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则下列说法中正确的是（    ）

A．直线l与圆O相交

B．直线AB恒过定点

C．当P的坐标为时，最大

D．当最小时，直线AB的方程为

【答案】BCD

【分析】A选项：求出圆心到直线的距离，与半径比较大小即可判断出结论；B选项：由题意可知点，，在以为直径的圆上，求其圆的方程，与方程相减可得公共弦所在直线方程，进而判断出结论；C选项：当时，最大，此时直线的方程为，即，联立，解得，，即可得出结论；D选项：当最小时，，此时，，即可得出直线的方程．

【详解】如图所示：

A选项：圆心到直线的距离，直线与圆相离，因此A选项不正确；

B选项：由题意可知点，，在以为直径的圆上，设，其圆的方程为：，化简为，与方程相减可得：，则直线的方程为，令，则，解得，，因此直线恒过定点，因此B选项正确；

C选项：当时，最大，此时直线的方程为，即，联立，解得，，因此C选项正确；

D选项：，，

当时，最小，最小，，此时，，直线的方程为，即，化为：，因此D选项正确．

故选：BCD．

12．选择性必修Ⅰ数学教材习题3.2有这样一个题：已知圆的半径为定值，点为圆外的一定点，点为圆上的动点，线段的中垂线交直线于点，则点的轨迹是双曲线．若点为圆平面上的一定点，则点的轨迹还有可能是（    ）

A．椭圆 B．圆 C．一个点 D．直线

【答案】ABC

【分析】对点的位置进行分类讨论，作出图形，利用中垂直的几何性质以及圆、椭圆的定义可得出点的轨迹的形状.

【详解】分以下几种情况讨论：

（1）若点在圆上，连接，则，所以点在线段的中垂线上，

由中垂线的性质可知，

又因为点是线段的中垂线与的公共点，此时点与点重合，

此时，点的轨迹为圆心；

（2）当点与圆心重合时，如下图所示：

此时线段的中垂线与的交点为线段的中点，因为，

此时点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆；

（3）当点在圆内，且点不与圆心重合时，如下图所示：

连接，由中垂线的性质可得，

所以，，

此时，点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆.

因此，点的轨迹还有可能是椭圆、圆或一个点.

故选：ABC.

三、填空题

13．在正方体中，二面角大小的余弦值为_________．

【答案】

【分析】建立空间直角坐标系.取中点为，得到二面角平面角为，即、的夹角，求出、，即可求出结果.

【详解】

如图，取中点为，连结.

以点为坐标原点，分别以、、所在的直角为轴，如图建立空间直角坐标系，设.

因为，和的边均为正方体各个面的对角线，所以和都是边长为的等边三角形.

又为的中点，所以，，

所以即、的夹角，即为二面角的平面角.

因为，，，，则，

所以，，

所以，，

所以.

所以二面角大小的余弦值为.

故答案为：.

14．已知双曲线直线：与其右支有两不同的交点，则直线的斜率的取值范围是_________

【答案】或

【分析】将双曲线和直线方程联立，根据题意可知方程组有两个不相等的正根，结合韦达定理即可判断斜率的取值范围.

【详解】根据题意，联立得，

设曲线的右支与直线有两不同的交点为；

由题意可知，解得；

即或.

故答案为：或

15．已知椭圆过焦点的直线与椭圆C交于A，B两点（点A位于轴上方），若，则直线的斜率的值为__________．

【答案】

【解析】由题可得，联立直线与椭圆，利用韦达定理建立关系即可求出.

【详解】由题，点A位于轴上方且，则直线l的斜率存在且不为0，

，设，则可得，

设直线l方程为，

联立直线与椭圆可得，

，，

，解得，

则直线的斜率为.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为，；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为形式；

（5）代入韦达定理求解.

16．已知正方体的棱长为分别是棱上的动点，若，则线段的中点的轨迹是_________

【答案】圆的一部分（或一段圆弧）

【分析】由题意，构造直角三角形，利用斜边中线等于斜边一半，可求得点到中点的距离为定值，即可得出的轨迹.

【详解】由题意，连接，

取的中点为，连接，如下图所示：

易知，都是直角三角形，且线段的中点为，

所以，在中，；在中，；

所以，又因为的中点为，所以；

因此，；

因为分别是棱上的动点，所以的轨迹是以为圆心，以为半径的圆的一部分.

故答案为：圆的一部分（或一段圆弧）

四、解答题

17．已知直线的方程为，若直线在y轴上的截距为，且．

(1)求直线和的交点坐标；

(2)已知直线经过与的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为3，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据垂直关系结合直线的斜截式方程整理运算；（2）设直线的点斜式方程，结合题意运算求解.

【详解】（1）∵直线的斜率且，则直线的斜率为，

又∵在轴上的截距为，即过点，所以直线方程：，即，

联立方程得：，解得，

故交点为.

（2）依据题意可知：直线的斜率存在，设直线：且，与两坐标轴的交点为，

则直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为，解得，

故方程为：，即.

18．如图，，，点是的中点，为圆上的点，绕所在的边逆时针旋转一周．

(1)求旋转一周所得旋转体的体积；

(2)求面积的最大值；

(3)设，求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）结合题意，利用割补法与圆锥体积公式即可得解；

（2）利用三角形面积公式与夹角的范围即可求得所求；

（3）结合题意建立空间直角坐标系，求得与的坐标表示，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示求得结果.

【详解】（1）如图，记所在直径的另一端点为，

则旋转一周所得旋转体为圆锥挖掉圆锥所得几何体，

易知，

所以所求旋转体的体积.

（2）根据题意，如图，易知，

则，

显然可以为锐角，

当与重合时，，即此时为钝角，

所以点在圆上运动时，存在一个位置使得，

此时取得最大值，故，

所以面积的最大值为.

（3）根据题意，易得两两垂直，

故以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，

故，

所以，

因为异面直线与所成角为锐角，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

19．已知圆C经过点，，且圆心C在直线上．

(1)求圆C的一般方程；

(2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C的一般方程；

（2）利用直接代入法即可求得点M的轨迹方程.

【详解】（1）设所求圆的C的一般方程为，则圆心，

由题意得，解得，

所以圆的C的一般方程为.

（2）依题意，设，，

因为M为线段OP的中点，，所以，

又因为点P在圆C上运动，所以，

故，

整理得：，

所以点M的轨迹方程为.

20．已知为坐标原点，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且的最小值为6，

(1)求双曲线方程

(2)求面积的最小值

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）结合题意，得到的最小值为，从而利用双曲线的几何性质得到关于的方程组，解之即可；

（2）先由条件得到，再联立直线与双曲线方程，结合韦达定理得到关于的解析式，利用换元法与的单调性即可求得的最小值.

【详解】（1）依题意得，当轴时，取得最小值，不妨设，

则，故，则，所以，则，

又，则，

联立，解得，

所以双曲线的方程为.

（2）由（1）得，设，，直线，

因为双曲线的渐近线为，又由直线与双曲线的右支交于两点，

所以，则，从而，

联立，得，

则，，，

所以，

设，则，，

令，易得在上单调递减，则，

所以，即面积的最小值为.

21．已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，过焦点作垂直于长轴的直线交椭圆于、，．

(1)求椭圆的标准方程．

(2)已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)．

(2)存在，或．

【分析】（1）根据四边形面积及椭圆的通径列出方程，解方程求出即可得解；

（2）讨论直线斜率是否存在，存在时设为，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，由题意可知，据此求出斜率，当斜率不存在时，写出直线方程验证即可.

【详解】（1）因为椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，

所以，即，

由题意过焦点的通径，

所以解得，，

所以椭圆的方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，因为过点，所以：，

所以，两点坐标为椭圆的上下顶点，

所以以为直径的圆的圆心为原点，半径为，

所以以为直径的圆不过椭圆的左顶点，不合题意，舍去，

当直线的斜率存在时，不妨设为，

联立直线与椭圆的方程可得，

消得，

其判别式需要满足，

即，

设，，则有，，

若以为直径的圆过椭圆的左顶点，不妨记椭圆的左顶点为，则，

则有，

又因为，，

即

，

即，

即，

解得或，

均满足，

所以的方程为或．

22．《绿色通道》作业88面第12题：已知双曲线左右两个焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于点，且满足：， 的周长等于焦距的3倍，若，则双曲线离心率的取值范围是______.

我校高二某班的小楚同学在处理这个题目时提出了自己的见解，他认为这个曲线的离心率在已知比例和周长的条件下应该是个确定的值而不是某个范围，所以条件可能是个多余的“伪条件”．你是否认同小楚同学的观点？若认同，请你求出此曲线的离心率，若不认同，请你说明理由．

【答案】小楚同学的理解是对的，.

【分析】设，，，过右焦点的直线方程为进而结合向量关系，韦达定理得，再根据双曲线第二定义得，进而建立关系得解方程即可得答案.

【详解】解：小楚同学的理解是对的．

设，，，过右焦点的直线方程为

代入曲线方程有，

因为，

所以，，

故，

消掉有：，

再由双曲线的第二定义有，

故：，

所以：=，化简有：故，

所以双曲线的离心率为一确定的值．