2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期12月月考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题
1．沈阳二中24届篮球赛正如火如荼地进行中，全年级共20个班，每四个班一组，如1—4班为一组，5—8班为二组……进行单循环小组赛（没有并列），胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后胜出的三个班级再进行单循环赛，按积分的高低（假设没有并列）决出最终的冠亚季军，请问此次篮球赛学校共举办了多少场比赛？（    ）
A．51 B．42 C．39 D．36
【答案】D
【分析】先进行单循环赛，6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，最后3个班再进行单循环赛，分别求出所需比赛场次，即可得出答案.
【详解】先进行单循环赛，有场，
胜出的5个班级和从余下队伍中选出的数据最优秀的1个班级共6支球队按抽签的方式进行淘汰赛，
6支球队打3场，决出最后胜出的三个班，
最后3个班再进行单循环赛，由场.
所以共打了场.
故选：D.
2．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据焦点在x轴上的椭圆求出，再根据充分性，必要性的概念得答案.
【详解】由方程表示焦点在x轴上的椭圆得：，
解得或，
由充分性，必要性的概念知，
“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件.
故选：A.
3．下列说法：①对于独立性检验，的值越大，说明两事件相关程度越大；②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，，，则；④通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势，其中正确的个数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断.
【详解】对于命题①，根据独立性检验的性质知，两个分类变量越大，说明两个分类变量相关程度越大，命题①正确；
对于命题②，由，两边取自然对数，可得，
令，得，，所以，则，命题②正确；
对于命题③，回归直线方程中，，命题③正确；
对于命题④，通过回归直线及回归系数，可估计和预测变量的取值和变化趋势，命题④错误.故选C.
【点睛】本题考查了回归直线方程、非线性回归方程变换以及独立性检验相关知识，考查推理能力，属于中等题.
4．的展开式中，共有多少项？（    ）
A．45 B．36 C．28 D．21
【答案】A
【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数.
【详解】解：当展开式的项只含有1个字母时，有3项，
当展开式的项只含有2个字母时，有项,
当展开式的项含有3个字母时，有项,
所以的展开式共有45项；
故选：A.
5．已知，则（    ）
A． B．186 C．240 D．304
【答案】A
【分析】首先令，这样可以求出的值，然后把因式分解，这样可以变成两个二项式的乘积的形式，利用两个二项式的通项公式，就可以求出的会下，最后可以计算出的值.
【详解】令，由已知等式可得：，
，
设的通项公式为：，则常数项、的系数、的系数分别为：；
设的通项公式为：，则常数项、的系数、的系数分别为：
，
，
所以，故本题选A.
【点睛】本题考查了二项式定理的应用，正确求出通项公式是解题的关键.
6．平行四边形内接于椭圆，椭圆的离心率为，直线的斜率为1，则直线的斜率为（    ）
A． B．
C． D．-1
【答案】A
【分析】利用对称关系转化为中点弦问题即可求解.
【详解】，
设

设为中点，由于为中点，所以,所以,
因为在椭圆上，
所以两式相减得,
所以，即.
故选:A.
7．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查椭圆和双曲线的定义，椭圆和双曲线的离心率，平面几何分析方法，值域的求法.由于椭圆和双曲线有公共点，那么公共点既满足椭圆的定义，也满足上曲线的定义，根据已知条件有，利用定义列出两个离心率的表达式，根据题意求的表达式，表达式分母还有二次函数含有参数，根据三角形两边和大于第三边，求出的取值范围，进而求得的取值范围.
【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，由椭圆和双曲线的几何性质可得，，依题意可知，，代入可得，.故，三角形两边的和大于第三边，故，，故故.
故选：B.
【点睛】（1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．
（2）双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．
8．已知A，B，C，D是椭圆E：上四个不同的点，且是线段AB，CD的交点，且，若，则直线l的斜率为（    ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】设出点的坐标，由得到，列出方程，得到，分别把代入椭圆，得到，同理得到，两式相减得到，利用直线垂直斜率的关系求出直线l的斜率.
【详解】设，
因为，故，所以，
则，又都在椭圆上，
故，且，
两式相减得：，即①，
同理可得：②，
②－①得：，
所以，
因为，所以直线l的斜率为.
故选：C
【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.

二、多选题
9．已知两点，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】首先根据题意，结合双曲线的定义，可得满足的点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支；进而可得其方程，若该直线为“型直线”，则这条直线必与双曲线的右支相交，依次分析4条直线与双曲线的右支是否相交，可得答案．
【详解】解：根据题意，满足的点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支；
则其中焦点坐标为和，即，，
可得；
故双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为
直线与双曲线没有公共点，
直线经过点斜率，与双曲线也没有公共点
而直线、与直线都与双曲线，有交点
因此，在与上存在点使，满足型直线的条件
只有AB正确
故选：．
10．甲箱中有个白球和个黑球，乙箱中有2个白球和个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（    ）
A．两两互斥 B．
C．事件与事件相互独立 D．
【答案】AD
【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，故A项正确；
因为，，故B项错误；
又，所以，故D项正确.
从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件不相互独立，故C项错误.
故选：AD
11．已知抛物线：，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上的另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（    ）
A．
B．
C．
D．延长交的准线于点则存在实数使得
【答案】ACD
【分析】根据抛物线的光学性质可知，直线经过抛物线的焦点，直线平行于轴，由此可求出点的坐标，判断各选项的真假．
【详解】如图所示：
因为过点且轴,故,故直线
化简得,由消去并化简得,即,，故A正确；
又, 故,B,故,故B错误；
因为，故为等腰三角形，所以,而,故,即，故C正确；
直线,由 得故,所以 三点共线,故D正确．
故选：ACD．
12．已知当随机变量时，随机变量也服从正态分布．若，则下列结论正确的是（    ）
A．
B．
C．当减小，增大时，不变
D．当都增大时，增大
【答案】AC
【分析】根据正态分布与标准正态分布的关系以及正态分布的性质及特点可判断各选项正误.
【详解】对任意正态分布，服从标准正态分布可知A正确，由于，结合正态分布的对称性可得，可知B错误，已知正态分布，对于给定的，是一个只与有关的定值，所以C正确，D错误.
故选：AC.

三、填空题
13．设，若，则_________ .
【答案】
【分析】由二项分布的概率公式，代入可得结果.
【详解】,
,
，解得：或(舍去)
故答案为：.
14．已知，，，则______.
【答案】
【分析】根据已知条件结合全概率公式求解即可
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得

,
故答案为：
15．现有三位男生和三位女生，共六位同学，随机地站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有两位女生相邻的概率是______.
【答案】##0.4.
【分析】先计算出男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻的总情况，再按照古典概型计算概率即可.
【详解】位男生和位女生共位同学站成一排共有种不同排法，
其中男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻有种不同排法，
因此所求概率为
故答案为：.
16．关于曲线：，有如下结论：
①曲线关于原点对称；    ②曲线关于直线对称；
③曲线是封闭图形，且封闭图形的面积大于；
④曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点；
其中所有正确结论的序号为_________.
【答案】①②④
【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确.
【详解】对于①，将方程中的换为，换为，得，所以曲线关于原点对称，故①正确；
对于②，将方程中的换为或，换为或，得，所以曲线关于直线对称，故②正确；
对于③，由得，即，同理，显然曲线不是封闭图形，故③错误；
对于④，由③知曲线不是封闭图形，联立，消去，得，令，则上式转化为，由可知方程无解，因此曲线与圆无公共点，故④正确.
故答案为：①②④.

四、解答题
17．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)
已知，___________.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中所有的有理项.
【答案】(1)和
(2)，，

【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求，从而可求二项式系数最大的项.
（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.
【详解】（1）二项展开式的通项公式为：
.
若选①，则由题得，
∴，即，
解得或(舍去)，∴.
若选②，则由题得，∴，
展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为，
，.
（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：
.
当即时得展开式中的有理项，
所以展开式中所有的有理项为:
，，.
18．已知圆，定点.
(1)过点作圆的切线，切点是A，若线段长为，求圆的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线，若圆上有且仅有4个点到的距离为1，求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）由题可知，圆心，，由勾股定理有，根据两点间距离公式计算即可求出a的值，进而得出圆的方程；
（2）因为圆上有且仅有4个点到的距离为1，圆的半径为2，因此需圆心到直线的距离小于1，设直线的方程为：，根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求出的取值范围.
【详解】（1）解：由题可知，圆心，
由勾股定理有，则
即，解得：或，
所以圆的标准方程为：或.
（2）解：设直线的方程为：，即，
由题，只需圆心到直线的距离小于1即可，
所以，所以，解得，
所以的取值范围为.
19．某种植物感染病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗病毒的制剂，现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg（包括6mg）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.
编号
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
吸收量(mg)
6
8
3
8
9
5
6
6
2
7
7
5
10
6
7
8
8
4
6
9

（1）完成以下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？
        
吸收足量
吸收不足量
合计
植株存活

1

植株死亡



合计


20

（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记为“植株死亡”的数量，求得分布列和期望；
②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量，求.
参考数据：，其中
【答案】（1）不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；（2）①分布列见解析，，②240
【解析】（1）已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株，由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填表即可
（2）代入公式计算，有关（3）①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中的可能取值是2，3，根据古典概型计算即可. ②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为，
【详解】解：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：
        
吸收足量
吸收不足量
合计
植株存活
12
1
13
植株死亡
3
4
7
合计
15
5
20


所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关.
①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，
所以抽取的3株中的可能取值是2，3.
其中，
的分布列为：

2
3




所以.
②
【点睛】考查完成列联表、离散型随机变量的分布列、期望以及二项分布的方差，难题.
20．安排5个大学生到三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的．
（1）求5个大学生中恰有2个人去校支教的概率；
（2）设有大学生去支教的学校的个数为，求的分布列．
【答案】（1）;（2）详见解析.
【详解】试题分析：（1）5个大学生去三所学校支教，共有种方法，若恰有2人去A校支教，那就从5人中先选2人，去A大学，然后剩下的3人去B和C大学支教，有种方法，最后根据古典概型求概率；（2）根据题意，，表示5人都去了同一所大学支教，表示5人去了其中2所大学支教，那可以将5人分组，分为4和1，或是3和2，然后再分配到2所大学，计算概率，表示5人去了3所大学支教，那分组为113，或是122型，再将三组分配到三所大学，计算概率，最后列分布列.
试题解析：（1）5个大学生到三所学校支教的所有可能为种，
设“恰有2个人去校支教”为事件，则有种，∴．
答：5个大学生中恰有2个人去A校支教的概率．
（2）由题得：，
人去同一所学校，有种，∴ ，
人去两所学校，即分为4,1或3,2有种，
∴ ，
人去三所学校，即分为3,1,1或2，2,1有 种，∴ ．
∴ 的分布列为

【解析】1.排列组合；2.离散型随机变量的分布列.
21．已知椭圆的右焦点为，过的直线交于两点．

(1)若直线垂直于轴，求线段的长；
(2)若直线与轴不重合，为坐标原点，求△面积的最大值；
(3)若椭圆上存在点使得，且△的重心在y轴上，求此时直线l的方程．
【答案】(1)3
(2)
(3)、或

【分析】（1）根据直线垂直轴，可得坐标，进而可求线段长度.
（2）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，进而根据三角形面积求表达式，进而根据函数最值进行求面积最大值.（3）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，以及重心坐标公式，即可求解.
【详解】（1）因为，令，得，所以，所以
（2）设直线，，不妨设，
由得，
，，，
，

令，则，，
记，可得在上单调递增
所以当且仅当时取到，
即面积的最大值为；
（3）①当直线不与x轴重合时，设直线，，中点为．
由得，，，
因为的重心在y轴上，所以，
所以，又，，
因为，所以 ,
故直线，所以，从而，
代入得，所以，或．
② 当直线与x轴重合时，点C位于椭圆的上、下顶点显然满足条件，此时．
综上，，或．
22．已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，其中点位于第一象限内．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线分别与直线交于两点，证明为定值；
(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，2

【分析】（1）根据题意可得，，即可求解的值，进而得到双曲线方程；
（2）设直线的方程及点的坐标，直线的方程与双曲线的方程联立，得到的值，进而得到点的坐标，计算的值即可；
（3）在直线斜率不存在的特殊情况下易得，再证明对直线存在斜率的情形也成立，将角度问题转化为斜率问题，即，，即可求解.
【详解】（1）解：由题可知：
∵，∴c＝2
∵，∴，
∴双曲线C的方程为：
（2）证明：设直线的方程为：，另设：，，
∴，
∴，
又直线的方程为，代入,
同理，直线的方程为，代入,
∴，
∴
,
故为定值.
（3）解：当直线的方程为时，解得，
易知此时为等腰直角三角形，其中 ，
即，也即：，
下证：对直线存在斜率的情形也成立，
，
∵，
∴，
∴，
∴结合正切函数在上的图像可知，，