2022-2023学年陕西省榆林市第十高级中学校高二上学期期末考试理科数学试题（含答案）

这是一份2022-2023学年陕西省榆林市第十高级中学校高二上学期期末考试理科数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了设，，则“且”是“”的，已知抛物线，圭表等内容，欢迎下载使用。

数学（理科）试题
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选译题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理，试题不回收.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知等比数列中，，，则（ ）
A.B.9C.D.15
2.命题“，”的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
3.若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A.B.C.D.
4.已知向量，.若，则（ ）
A.B.C.D.
5.设，，则“且”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知抛物线：的焦点为，是抛物线上的一点，若，则（为坐标原点）的面积是（ ）
A.B.1C.2D.4
7.在中，角，，所对的边为，，，且，试判断的形状（ ）
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
8.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点，分别是，的中点，则的值为（ ）
A.B.C.D.
9.一百零八塔是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（ ）
A.九层B.十层C.十一层D.十二层
10.圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标笨垂直的长尺（称为“圭”）.当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图乙是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为（ ）
A.B.C.D.
11.定义：在数列中，若满足（，为常数），称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，，则（ ）
A.B.C.D.
12.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆：（）的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点.直线与椭圆交于，两点，若，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A.B.C.2D.3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.为空间中任意一点，，，三点不共线，且，若，，，四点共面，则实数.
14.设，满足约束条件，则的最大值为.
15.已知命题：“，，命题：“，”，若命题为真命题，则实数的取值范围是.
16.已知，为双曲线（，）的两个焦点，过点且垂直于轴的直线交双曲线于点，且，则此双曲线的渐近线方程为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）已知，求的最小值.
18.（本小题满分12分）
已知，，为内角，，的对边，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，面积为，求的周长.
19.（本小题满分12分）
已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.
（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；
（Ⅱ）若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.
20.（本小题满分12分）
设数列的前项和为，且，，数列满足，点在直线上，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，是中点，为上一点.请用空间向量知识解答下列问题：
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当长为多少时，平面与平面的夹角为45°.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆（）过点，其焦距的平方是长轴长的平方与短轴长的平方的等差中项.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线过点，与椭圆分别交于点，，与轴交于点，各点均不重合且满足，，求的值.
榆林市第十高级中学校2022-2023学年高二上学期期末考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. B 2. D 3. B 4. A 5. A 6. A 7. B 8. C 9. D 10. D 11. A 12. A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.14.415.16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：（Ⅰ）不等式可转化为，
即，解得或.
故不等式的解集为.
（Ⅱ）∵，∴，
则，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为8.
18.解：（Ⅰ）∵，
由正弦定理可得，
又，∴，∴，
又为三角形的内角，∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由余弦定理可得，
又，∴，∴，
又面积为，∴，
∴，∴，∴，
∴的周长为.
19.解：（Ⅰ）∵抛物线焦点在轴上，且过点，
∴设抛物线方程为（），
由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5，
即点到准线的距离等于5，
则，∴，
∴抛物线方程为.
（Ⅱ）证明：显然直线的斜率不为0，
又由于直线过点，可设直线方程为：，
由化简并整理得，
设，，则，，，
∴；即为定值.
20.解：（Ⅰ）数列的前项和为，且，，①
当时，整理得：，②
①－②得：，整理得：，
∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列；
∴；
数列满足，在直线上，.
∴，∴数列是等差数列，
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
∴，①
，②
①－②得：，①
，
化简并整理得：.
21.解：（Ⅰ）证明：易知，，两两相互垂直，
∴以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，.
设平面的一个法向量为，
则即令，
则平面的一个法向量为.
∵，∴平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面的一个法向量为，，
，.
设平面的一个法向量为，
则即令，
则平面的一个法向量为.
∴，
解得，即长为.
22.解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，
由题意知，且，
又，∴，
∴椭圆的方程为.
（Ⅱ）∵直线过点，与轴交于点，∴直线的斜率存在.
设直线的方程为，得，
设，
由得，
，，
∵，∴，解得，
同理可得，
则.