2022-2023学年四川省泸县第四中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省泸县第四中学高二上学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是

A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生

【答案】C

【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．

【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，

所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，

所以，

若，则，不合题意；若，则，不合题意；

若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．

【点睛】本题主要考查系统抽样.

2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（　　）

A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8

【答案】C

【详解】试题分析：由题意得，，选C.

【解析】茎叶图

3．已知直线过点，且倾斜角为，则直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据直线的倾斜角为判定该直线没有斜率，再根据直线经过点写出直线方程.

【详解】因为直线的倾斜角为，

所以该直线无斜率，与轴垂直，

又因为直线过点，

所以直线的方程为.

故选：D.

4．双曲线的渐近线方程为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程．

【详解】双曲线的渐近线方程为，即，

故选：C.

5．已知直线，若，则实数的值为（    ）

A．3 B．0或3 C．1 D．或1

【答案】B

【分析】直接由两直线垂直的条件求解．

【详解】∵，∴，解得或．

故选：B．

【点睛】本题考查两直线垂直的充要条件．两直线与垂直的充要条件是．

6．圆与圆的位置关系为（    ）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

【答案】B

【分析】根据题意，由两个圆的方程分析圆的圆心与半径，求出圆心距，据此分析可得答案．

【详解】解：根据题意，圆，其圆心为，半径，

圆，其圆心为，半径，

圆心距，有，

两圆外切，

故选：．

7．为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

但是统计员不小心丢失了一个数据(用代替，在数据丢失之前得到回归直线方程为，则的值等于（    ）A．              B．              C．              D．

【答案】A

【分析】根据表格数据求，由样本中心点在回归直线上，将点代入即可求的值.

【详解】由题设知：，，

∵在回归直线上，

∴，解得.

故选：A.

8．执行如图的程序框图，如果输入的，那么输出的S的最大值为（    ）．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】在直角坐标系内画出可行解域，根据平移的方式求出S的最大值，再与进行比较即可.

【详解】不等式组在直角坐标系内表示的平面区域如下图所示：

平移直线，当直线经过时，有最大值，最大值为，

故选：C

9．已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ）

A．9 B．25 C．16 D．12

【答案】B

【分析】根据题目所给条件可知，实数均满足是正数，再利用基本不等式“1”的妙用即可求出实数的最大值.

【详解】由得，

又因为，所以实数均是正数，

若不等式恒成立，即；

，

当且仅当时，等号成立；

所以，，即实数的最大值为25.

故选：B.

10．设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，若以MF为直径的圆过点，则的值为　　

A． B．5 C． D．10

【答案】C

【分析】根据抛物线的方程求出焦点F，利用直径所对圆周角为直角得出，从而得到方程，求出点M的坐标，再通过两点距离公式计算出的值．

【详解】解：抛物线C：的焦点为，

设，以MF为直径的圆过点，

，

，

，

解得，

，；

．

故选C．

【点睛】本题考查了抛物线的定义应用问题、圆的性质，点在圆上这一条件如何转化是本题的关键，恰当合理的转化能够简化后续的计算，本题是中档题．

11．已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先找截面圆的圆心，过圆心作截面的垂线，球心在垂线上，找到球心再利用勾股定理即可得到答案.

【详解】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，

过这两点分别作平面、平面的垂线，交于点O，则O就是外接球的球心；

取中点E，连接，

因为，，

所以，

因为和是正三角形，

所以，

由得，

所以由，即球半径为，

所以球体积为．

故选：C.

12．已知点为椭圆的左焦点，过原点的直线交椭圆于、两点，若，，则的离心率（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设椭圆的右焦点为，连接、，求出，利用椭圆的定义结合已知条件求出、，利用余弦定理可得出、的等量关系式，即可得出椭圆的离心率的值.

【详解】设椭圆的右焦点为，连接、，如下图所示：

因为过原点的直线交椭圆于、两点，则、关于原点对称，即为的中点，

又因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，则，

所以，，

因为，且，所以，，，

由余弦定理可得，则，

因此，椭圆的离心率为.

故选：A.

二、填空题

13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．

【答案】15

【详解】试题分析：应从高二年级学生中抽取名学生,故应填.

【解析】分层抽样及运用．

14．设；．若是的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】若是的必要而不充分条件，可得是的必要而不充分条件，分别解不等式利用集合间的真包含关系即可求解.

【详解】由题意得，命题，解得，记

命题，即，

解得：，记，

又因为是的必要而不充分条件，

即是的必要而不充分条件，所以真包含于，

所以（等号不同时成立），解得，所以实数的取值范围为.

故答案为：

15．在上随机取一个实数，则”发生的概率为__________.

【答案】

【分析】先求解在上的解集，再根据几何概型的方法计算即可

【详解】因为，由得或，由得或，故的解集为，故所求事件的概率为．

故答案为：

16．已知分别是双曲线的左右焦点，以坐标原点O为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于A，B两点则该双曲线离心率为________时，为等边三角形．

【答案】

【分析】根据为等边三角形，结合双曲线定义，建立的等量关系，求解离心率即可.

【详解】根据题意，作图如下：

因为为等边三角形．故可得，

在直角三角形中，可得

根据双曲线的定义：

解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，其难点在于如何利用双曲线的定义，属基础题.

三、解答题

17．已知函数．

(1)当时，函数在上单调，求b的取值范围；

(2)若的解集为，求关于x的不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据在区间上的单调性列不等式，由此求得的取值范围.

（2）根据的解集求得的关系式，从而求得不等式的解集.

【详解】（1）当时，的对称轴为，

由于函数在上单调，

所以或，

解得或，

所以的取值范围是.

（2）由于的解集为，

所以，即，

所以，

所以不等式，即，

所以，，

解得或，所以不等式的解集为.

18．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数.小王的“微信步数排行榜”里有120个好友．

(1)若小王想统计性别对于运动步数的影响，他选择以分层抽样的方法选取一个30人的样本，已知小王“微信步数排行榜”里有的好友中男性比女性多24人，那么他所选取的样本中有女性多少人?

(2)某一天，小王的微信显示“您今天超越了的好友运动步数”，于是小王对120个好友的步数做了统计，作出如下频率分布直方图，若数据均匀分布，求这天大家的运动平均步数．并估算小王这天的运动步数（结果精确到）．

【答案】(1)12

(2)运动平均步数万步，小王的运动步数约为万步

【分析】（1）由分层抽样的概念求解，

（2）由频率分布直方图数据求解，

【详解】（1）由题意得好友中男性有72人，女性有48人，

选取30人的样本，则应选取女性人

（2）由解得，

则运动平均步数（万步）

运动步数在的频率为，在的频率为，

则位数位于间，小王的运动步数为（万步）

19．已知关于，的方程.

（1）若方程表示圆，求的取值范围；

（2）当时，曲线与直线相交于，两点，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）将圆的方程化为标准形式，由求解.

（2）利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再由弦长公式求解.

【详解】（1）方程可化为，

因为方程表示圆，

所以，

解得.

（2）圆的圆心，

圆心到直线的距离为，

圆的半径，

所以.

【点睛】本题主要考查圆的标准方程，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

20．如图，点，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重心，为的中点.

(1)求抛物线的方程和点的坐标；

(2)求点的坐标及所在的直线方程.

【答案】(1)；

(2)；

【分析】(1)将代入求得值，得到点的坐标；

(2) 设点的坐标为，根据即可求出线段中点的坐标；

由得,再求出直线所在直线的方程.

【详解】（1）由点在抛物线上，有，解得.

所以抛物线方程为，焦点的坐标为.

（2）由于是的重心，是线段的中点，

所以，设点的坐标为，

则，    

，解得，所以点的坐标为，

由得，

因为为为的中点，故，

所以，

因此所在直线的方程为，

即.

21．图1是由正方形组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E与F重合，如图2．

（1）设平面平面，证明：；

（2）若二面角的余弦值为，求长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）由已知得平面，再由面面平行的性质可得答案；

（2）以O为原点，与平行的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量由数量积公式可得，可得.

【详解】（1）因为，平面，平面，

所以平面，    

又平面，平面平面，所以.

（2）因为，，所以，

又，，平面，平面，

所以平面，

因为平面，所以平面平面，

过E作于点O，则O是的中点，

因为平面平面，平面，

所以平面，

以O为原点，与平行的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系，   

设，则，

，

设平面的法向量为，

则，即，取，则，

所以平面的一个法向量，

，

设平面的法向量为，

则，即，取，则，

同理可求得平面的一个法向量为，

所以，解得或，

当时，，

可判断二面角的平面角为锐角且向量夹角与二面角相等，故舍去，

所以，此时，,

所以.

【点睛】本题考查了线面平行的性质，二面角、模长的向量求法，解题的关键点是建立空间直角坐标系，考查了学生的空间想象力和计算能力.

22．已知椭圆的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；

(3)证明：为定值？并求的最大值．

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3)证明见解析，最大值为．

【分析】（1）由存在圆M与两坐标轴都相切确定圆心M坐标，由离心率及点M坐标即可列方程组求参数；

（2）分别联立两切线与圆消元得方程，由判别式为0可得，是该方程的两个不相等的实数根，由韦达定理及点在椭圆C上可得为定值；

（3）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设，，由（2）得，结合，在椭圆C上，可得，，即有，当直线OP，OQ落在坐标轴上时可直接求；最后由均值定理可得的最大值.

【详解】（1）由椭圆的离心率，则，

又存在与两坐标轴都相切，则此时圆心，

代入，解得：，则，

∴椭圆方程：．

（2）因为直线，与圆M相切，

由直线与圆联立，

可得，

同理，

由判别式为0可得，是方程的两个不相等的实数根，∴，

因为点在椭圆C上，所以，所以．

（3）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设，，

因为，所以，

因为，在椭圆C上，所以，整理得，

所以，所以．

当直线落在坐标轴上时，显然有，

综上，，所以，

所以的最大值为．

【点睛】（2）中由判别式为0可得，是方程的两个不相等的实数根，以及点在椭圆上可得方程，即可进一步消元化简.