2022-2023学年四川省泸县第五中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省泸县第五中学高二上学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．设命题，则为

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.

2．已知直线与垂直，则为（    ）

A．2 B． C．-2 D．

【答案】A

【分析】利用一般式中垂直的系数关系列式计算即可.

【详解】由已知得，解得

故选：A.

3．已知双曲线：的离心率是，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据以及计算即可.

【详解】由已知得，解得，负值舍去．

故选：B.

4．双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由双曲线标准方程对应的渐近线方程即可知的渐近线方程

【详解】根据双曲线的渐近线方程：，知：

的渐近线方程为

故选：D

【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，根据双曲线标准方程对应渐近线方程求题设给定双曲线的渐近线方程

5．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数为

A．101 B．808 C．1212 D．2012

【答案】B

【详解】试题分析：由分层抽样的定义可得，解得，答案选B．

【解析】分层抽样

6．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.

【详解】由，可得，即；

由，可得或，即；

∴是的真子集，

故“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A

7．我国古代数学名著《九章算术》里有一个这样的问题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价几何？”为了解决这个问题，某人设计了如图所示的程序框图，运行该程序框图，则输出的，分别为

A．30，8900 B．31，9200 C．32，9500 D．33，9800

【答案】D

【解析】根据算法的功能，可知输出的，是方程组的解，解方程即可.

【详解】解：根据算法的功能，可知输出的，是方程组的解，解此方程可得

故选：

【点睛】本题考查程序框图，考查运算求解能力，属于基础题.

8．圆的圆心到直线的距离为1，则

A． B． C． D．2

【答案】A

【详解】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.

【解析】 圆的方程，点到直线的距离公式

【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离. 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．

9．已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是（    ）

A．2 B．4

C．6 D．8

【答案】B

【解析】由基本不等式求出的最小值，只需最小值大于等于18，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.

【详解】，

因为不等式恒成立，

所以，即，

解得，所以.

故选:B.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由三视图可知：该几何体为三棱锥，其底面ABC 为等边三角形，平面SAB⊥平面ABC，.

AB=，SA=SB=，

在△SAB中， 设其外接圆半径为r，易得：，解得：，

△ABC的外接圆半径为1，

取过SC且垂直ＡＢ的截面ＳＦＣ，ＳＱ＝，ＯＱ＝，

∴外接球半径为Ｒ＝

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.

11．椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为2π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】由S△ABF2＝·4a·r＝·2c·|y1－y2|，即可得解.

【详解】若△ABF2的内切圆周长为2π，则半径r=1.

由S△ABF2＝·4a·r＝·2c·|y1－y2|，

所以|y1－y2|=．

故选：B.

【点睛】本题考查焦点三角形内切圆面积的求法和椭圆定义的运用，解题的关键一是采取“算两次”的方法，根据三角形面积的唯一性得到等式后求解，二是合理运用椭圆的定义进行计算．考查转化能力和计算能力，属于基础题．

12．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：

①曲线围成的图形的面积是；

②曲线上的任意两点间的距离不超过；

③若是曲线上任意一点，则的最小值是．

其中正确结论的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合已知条件写出曲线的解析式，进而作出图像，对于①，通过图像可知，所求面积为四个半圆和一个正方形面积之和，结合数据求解即可；对于②，根据图像求出曲线上的任意两点间的距离的最大值即可判断；对于③，将问题转化为点到直线的距离，然后利用圆上一点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可求解.

【详解】当且时，曲线的方程可化为：；

当且时，曲线的方程可化为：；

当且时，曲线的方程可化为：；

当且时，曲线的方程可化为：，

曲线的图像如下图所示：

由上图可知，曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，

从而曲线所围成的面积，故①正确；

由曲线的图像可知，曲线上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即，故②错误；

因为到直线的距离为，

所以，

当最小时，易知在曲线的第一象限内的图像上，

因为曲线的第一象限内的图像是圆心为，半径为的半圆，

所以圆心到的距离，

从而，即，故③正确，

故选：C.

二、填空题

13．设x，y满足约束条件则z＝2x－3y的最大值是_______．

【答案】12

【详解】不等式组表示的平面区域如图所示,当直线z＝2x－3y经过点A时,在y轴上的截距最小,由解得A(3,-2),代入得z＝2x－3y的最大值是12,故填12.

点睛: 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

14．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是__________.

【答案】

【详解】抛物线的焦点，双曲线的渐近线，

所求距离

故答案为1

15．已知直线恒过定点A，若点A在直线上，则 的最小值为________________.

【答案】

【分析】直线方程整理后得定点的坐标，再代入另一直线方程得的关系，然后由基本不等式求得最小值．

【详解】∵直线方程可整理为

∴定点为

∵点A在直线上

∴

∴，当且仅当时取等号

故答案为：

16．过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过拋物线的焦点，那么的最小值为_________．

【答案】16

【分析】设，写出以为切点的切线方程，由判别式求出切线斜率，得到以为切点的切线方程，同理求出以为切点的切线方程，结合在两条切线上得直线的方程，联立直线与抛物线方程，根据根与系数的关系，结合抛物线定义得出结果．

【详解】设，，以为切点的切线斜率为，

则以为切点的切线方程为，

与抛物线联立，得，

由，即，

则，即，解得，

则以为切点的切线方程为，即，，整理得；

同理，设，，则以为切点的切线斜率为，

以为切点的切线方程为，

又因为在切线和，

所以，，

所以直线的方程，

又因为直线经过抛物线的焦点，

所以令得，即，，

所以抛物线方程为，直线的方程，

联立，消去得，

∴，

∴，

，

∵，∴，

所以，

则当时，取最小值16．

故答案为：16．

三、解答题

17．已知圆C的圆心为，且圆C经过点．

(1)求圆C的一般方程；

(2)若圆与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆C的一般方程为．由圆C的圆心和圆C经过点求解；

（2）根据圆与圆C恰有两条公切线，由圆O与圆C相交求解.

【详解】（1）解：设圆C的一般方程为．

∵圆C的圆心，

∴即

又圆C经过点，

∴．

解得．

经检验得圆C的一般方程为；

（2）由（1）知圆C的圆心为，半径为5．

∵圆与圆C恰有两条公切线，

∴圆O与圆C相交．

∴．

∵，

∴．

∴m的取值范围是．

18．从某学校 的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介

于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组［155，160），第二组［160，165）……

第八组［190，195］．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数

相同，第六组的人数为4人．

（Ⅰ）求第七组的频率；

（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数；

（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为cm，cm，事件，事件，求概率．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）．

【分析】（Ⅰ）先计算第六组的频率，再利用频率之和等于可得第七组的频率；（Ⅱ）先判断中位数所在的范围，再利用频率之和等于可得该校的800名男生的身高的中位数，最后计算身高在180cm以上（含180cm）的频率，进而可得该校的800名男生的身高在180cm以上（含180cm）的人数；（Ⅲ）先用列举法写出从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生的所有基本事件，并从中找出事件和事件的基本事件，利用利用古典概型公式求出概率．

【详解】（Ⅰ）第六组的频率为

∴ 第七组的频率为1－0．08－5×（0．008×2+0．016+0．04×2+0．06）=0．06

（Ⅱ）身高在第一、第二、第三组的频率之和为

0．008×5+0．016×5+0．04×5=0．32＜0．5，

身高在前四组的频率为

0．32+0．04×5=0．52＞0．5，

估计这所学校800名男生的身高的中位数为m，则170＜m＜175，

由0．04+0．08+0．2+（m－170）×0．04=0．5，解得m=174．5，

由直方图得后三组频率为0．06+0．08+0．008×5=0．18，所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为0．18×800=144人

（Ⅲ）第六组的人数为4，设为a、b、c、d，第八组的人数为2人，设为A、B则有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15个样本点.

因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共个样本点，故P（E）=

由，所以事件是不可能事件，

∴ P（F）=0

由于事件E和事件F是互斥事件

所以

19．已知函数，且的解集为.

(1)求的值；

(2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，；

(2)实数的取值范围为.

【分析】（1）依题意为方程的两根，根据根与系数关系列方程组，解方程即可；

（2）依题意，求出函数的最小值可求出参数的取值范围.

【详解】（1）因为的解集为，且，

所以，且为方程的两根，所以，，

所以，；

（2）由(1)可得，不等式可化为，所以

因为对于任意的，不等式恒成立，

所以对于任意的，不等式恒成立，

即，其中，

因为，其中，

所以当时，取最小值，最小值为，

所以，故实数的取值范围为.

20．如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，过作平面与直线平行，交于.

(1)求证：为的中点；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）连交于，利用线面平行的性质证得即可推理作答.

（2）作出二面角的平面角，在直角三角形中即可计算作答.

【详解】（1）在四棱锥中，连接，令，连接，如图，

因平面，平面，且平面平面，则，

又四边形为菱形，则为的中点，

所以为的中点.

（2）由（1）知，而底面，则底面，又底面，即有，

菱形中，，，平面，平面，

平面，则，在平面内过点作于，连接，

而，平面，于是得平面，又平面，则，

因此为二面角的平面角，菱形中，，则，

而，中，，由得，

中，，则，，

所以二面角的余弦值为.

21．已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为，且．

(1)求抛物线的方程；

(2)经过焦点作互相垂直的两条直线，，与抛物线相交于，两点，与抛物线相交于，两点．若，分别是线段，的中点，求的最小值．

【答案】(1)；

(2)8.

【分析】(1)写出抛物线E的准线，利用抛物线定义求出p即可作答.

(2)由(1)求出焦点坐标，设出直线的方程，并与抛物线E的方程联立，由此求出C点坐标，同理可得D点坐标，列式计算作答.

【详解】（1）抛物线：的准线方程为：，

由抛物线定义得：，解得，

所以抛物线的方程为：.

（2）由(1)知，点，显然直线，的斜率都存在且不为0，设直线斜率为，则的斜率为，

直线的方程为：，由消去y并整理得，

设，则，于是得线段PQ中点，同理得，

则，

当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值是8.

【点睛】结论点睛：抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离， 等于焦点到抛物线顶点的距离．

22．已知椭圆Γ：的右焦点坐标为，且长轴长为短轴长的倍，直线l交Γ椭圆于不同的两点和，

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）若直线l经过点，且的面积为，求直线l的方程；

（3）若直线l的方程为，点关于x轴的对称点为，直线，分别与x轴相交于P､Q两点，求证：为定值.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】（1）根据题意，结合的关系即可求得椭圆的方程；（2）设出直线l的方程为，与椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及面积计算公式，表示出的面积并等于，求解的值，即可得直线l的方程；（3）由已知得的坐标，联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，并求出直线的方程，令，求出，即可得，并根据直线方程求出，然后相乘代入化简即可.

【详解】解：（1）由题意得，，

解得，，所以椭圆Γ的方程为.

（2）设点，的坐标为､，由题意可知，直线l的斜率存在

设直线l的方程为.

由方程组，得

所以，

解得.∴直线l的方程为

（3）由题意知点的坐标为

将，代入

得：，

∴，

对于直线，令得∴

对于直线：，令

得

，∴

.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．