2022-2023学年四川省叙永第一中学校高二上学期第四学月教学质量检测数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省叙永第一中学校高二上学期第四学月教学质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．下列推断正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则

【答案】C

【分析】根据特殊值判断ABD，结合的单调性判断C.

【详解】对于A，当，，满足，但不满足，故错误；；

对于B，当，时，满足，，不满足，故错误；

对于C，由在上单调递增可知C正确；

对于D，当，，时，满足，，但不满足.

故选：C.

2．双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令，可求出双曲线的渐近线方程

【详解】令，解得：.

故选：A.

【点睛】此题考查由双曲线方程求其渐近线方程，属于基础题

3．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若53号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（    ）

A．7号学生 B．202号学生

C．515号学生 D．813号学生

【答案】D

【分析】由等距抽样的性质可得被抽到的学生编号为且，结合各选项的学生编号即可确定能被抽取到的学生.

【详解】由题设，每隔10人抽取一个学生，所以被抽到的学生编号为且，

所以，只有D选项中813号学生可被抽到，此时，即.

故选：D

4．若方程表示圆，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合求得的取值范围.

【详解】依题意，

即，

解得或，

所以的取值范围是.

故选：C

5．已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到轴的距离为2，则的值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】求得点的坐标，由此求得.

【详解】抛物线的焦点为，准线为，

抛物线上一点到轴的距离为2，不妨设，

则，所以

.

同理可得时，.

故选：B

6．如图矩形由六个相同的小正方形组合而成，其中阴影部分形如一个逗号．若在该矩形中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由几何概型公式可知，所求概率为阴影部分面积与矩形面积之比.

【详解】如图所示，两个图形中阴影部分面积相等，设小正方形边长为1，

则阴影部分为半径为1的半圆加上半径为2的圆的，再减去一个小正方形，

阴影部分面积为，矩形的面积为6，

由几何概型公式可知，若在该矩形中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为，

故选：C

7．焦点为，离心率为的椭圆的标准方程为（    ）

A． B．．

C． D．

【答案】B

【分析】设椭圆的方程为，解方程求出椭圆的即得解.

【详解】设椭圆的方程为，

由题得，

所以.

所以椭圆的标准方程为.

故选：B

8．已知实数、满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用代数式的几何意义以及数形结合可求得的最大值.

【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

目标函数的几何意义为可行域内的点与定点连线的斜率，

由图可知，当点在可行域内运动时，直线的倾斜角均为锐角，

联立可得，即点，

当点与点重合时，直线的倾斜角最大，此时取最大值，即.

故选：C.

9．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据基本不等式，结合不等式有解的性质进行求解即可.

【详解】不等式有解，，且，，当且仅当，即时取“="，，故，即，解得或实数的取值范围是.

故选：B.

【点睛】关键点睛：利用的等式，结合基本不等式是解题的关键.

10．已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为．则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得经过两点的直线的方程，再运用点到直线的距离公式整理求得，由椭圆的离心率公式计算可得选项.

【详解】解：因为经过两点的直线的方程为，又原点到直线的距离为，

所以，整理得，所以，

所以．又，所以，

故选：D.

11．已知在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用余弦定理和正弦定理可求得外接圆半径，由此可得三棱锥的外接球半径，由球的表面积公式可求得结果.

【详解】

在中，由余弦定理得：，

，

外接圆半径，又平面，

三棱锥的外接球半径，

则三棱锥的外接球的表面积.

故选：A.

12．如图，双曲线是圆的一条直径，若双曲线过两点，且离心率为2，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合点差法求得直线的方程.

【详解】圆的圆心为，

依题意，

设，

则，

两式相减并化简得，

即，

所以直线的方程为.

故选：A

二、填空题

13．已知焦点在轴的双曲线的渐近线为，半焦距为5，则双曲线的标准方程为__________．

【答案】

【分析】根据已知条件求得，由此求得双曲线的标准方程.

【详解】依题意可知，

所以双曲线的标准方程为.

故答案为：

14．在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为__________.

【答案】2

【分析】根据茎叶图进行数据分析求出极差，再由极差与中位数之和为61，列方程即可求解.

【详解】根据茎叶图进行数据分析可得：极差为48-20=28.

因为极差与中位数之和为61，所以中位数为33.

设被污染的数字为a，则，解得：a=2.

故答案为：2

15．如图（俯视图），学校决定投资12000元在风雨操场建一长方体状体育器材仓库，利用围墙靠墙角（直角）而建节省成本（长方体一条长和一条宽靠墙角而建），由于要求器材仓库高度恒定，不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米100元（不计高度，按长度计算），顶部材料每平方米造价300元.在预算允许的范围内，仓库占地面积最大能达到______平方米.

【答案】

【分析】设仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，且 ，由题意可列不等式，然后利用基本不等式化简，即可求解．

【详解】设仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，且，

则由题意可得 ，整理得 ，

∵， 故，

解得∶ ，即 ，当且仅当时等号成立，

所以仓库占地面积最大能达到36平方米，

故答案为：36．

16．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，抛物线的准线与轴交于点于点，则四边形的面积为______.

【答案】

【分析】设,则 ,则可推出 再求得梯形的高，利用梯形的面积公式，即可求得四边形的面积.

【详解】由题意知抛物线，则 ，

过B作于N，过B作于K，设交x轴于H，,

设，则，,

 则，故在中， ,

由于,，,

,

∴ , ,

又四边形为直角梯形，

则四边形的面积为 ，

故答案为：

三、解答题

17．设函数，

（1）解关于的不等式；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

【答案】（1）见解析    （2）

【详解】试题分析：（1）利用分类讨论思想分 和三种情况，并结合二次函数的图像进行求解，即可求得时，解集为或，时，解集为

时，解集为或；（2）由题意得：恒成立 恒成立

试题解析：（1） 时，不等式的解集为或

时，不等式的解集为

时，不等式的解集为或

（2）由题意得：恒成立，

恒成立.

易知  ，

  的取值范围为：

18．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取2000名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将数据分成7组：，绘制出如下的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数；

(2)先从得分在的学生中利用分层抽样选出6名学生，再从这6名学生中选出2人参加有关航天知识演讲活动，求选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率.

【答案】(1)75

(2)

【分析】（1）在频率分布直方图中，频率最大的那组数据的中间值为众数；

（2）确定应抽取2人，设为应抽取4人，设为，用列举法写出任取2人的基本事件，并得出竞赛得分都不低于70分的基本事件，计数后由概率公式计算概率．

【详解】（1）由频率分布直方图可得众数为：75，

（2）因为人数之比为，

所以应抽取2人，设为应抽取4人，设为，

这6人中再任选2人，共15种不同选法，如下：

，

其中，选出的2人竞赛得分都不低于70分的个数有6种；

所以所求事件的概率为.

19．近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随机调查了某市2015-2021年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：年份代码1-7分别对应2015-2021年）.经计算得，.

(1)用一元线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01），并说明y与t相关性的强弱；

(2)建立y关于t的回归直线方程；

(3)若2023年该市某家庭总支出为10万元，预测2023年该家庭的教育支出.

附：①相关系数；

②在回归直线方程中，.

【答案】(1)，相关性很强；

(2)；

(3)万元.

【分析】（1）由公式计算相关系数并判断相关性即可；

（2）由公式算，再由算即可；

（3）2023年对应的年份代码，代入回归方程即可得到教育支出占比，即可预测2023年该家庭的教育支出

【详解】（1）由题意得，，

则，故，

故，

∵，

∴y与t高度相关，即y与t的相关性很强．

（2）根据题意，得，

，

∴y关于t的回归直线方程为．

（3）2023年对应的年份代码，当时，，

故预测2023年该家庭的教育支出为（万元）．

20．如图，四面体中，，E为 的中点．

(1)证明：平面 ⊥平面 ；

(2)设 ，，点F在上且 ，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析.

(2).

【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）由题意求得相关线段的长，求出根据,即可求得答案.

【详解】（1）因为， ,

所以 ，所以 ，

又因为E是中点，所以 ，

又因为 ，所以 ，平面,

所以平面，又因为平面 ，

所以平面⊥平面.

（2）点F在上且,因为 ，，

所以，,而，

所以 ，

则,所以 ，

  ，

因为平面 ，所以 ,

因为，所以, 故

所以.

21．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，当以为始边，为终边的角时，.

(1)求的方程

(2)过点的直线交于两点，以为直径的圆平行于轴的直线相切于点，线段交于点，求的面积与的面积的比值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据抛物线的定义，得到，求得，即可求得抛物线的方程；

（2）设直线的方程为，联立方程组求得，得到，由抛物线的定义得到，根据，求得，设，得到，进而求得，因为为的中点，求得，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，抛物线，可得其准线方程，

如图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，

因为时，，可得，

又由抛物线的定义，可得，解得，

所以抛物线的方程为.

（2）解：由抛物线，可得，设，

因为直线的直线过点，设直线的方程为

联立方程组，整理得，

可得，则，

因为为的中点，所以，

由抛物线的定义得，

设圆与直线相切于点，

因为交于点，所以且，

所以，即，解得，

设，则，且，可得，

因为，所以点为的中点，所以，

又因为为的中点，可得，

所以，即的面积与的面积的比值为.

22．已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)如图1，椭圆的长轴两个端点为，垂直于轴的直线与椭圆相交于两点（在的上方），记，求证：为定值，并求的最小值；

(3)如图2，已知过的动直线与椭圆相交于两点，求证：直线的交点在一条定直线上运动．

【答案】(1)

(2)证明见解析；3

(3)证明见解析

【分析】（1）根据已知得到方程组，解方程组即得解；

（2）不妨设，则，求出的值即得解，再利用基本不等式求解；

（3）不妨设直线求出直线，直线，化简即得解.

【详解】（1）解：椭圆和双曲线的焦距相同，．

将代入椭圆方程：可得．

或（舍），故所求椭圆方程为：

（2）解：如图1，不妨设，则．

，易知，

，当且仅当，即时等号成立．

（3）解：不妨设直线联立可得

，可知直线．

同理可得：可知直线．

可知：．

，解得.