2022-2023学年浙江省金华十校高二上学期期末模拟数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省金华十校高二上学期期末模拟数学试题

一、单选题

1．中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件，求出，的值，结合双曲线的方程进行求解即可．

【详解】解：设双曲线的方程为．

由已知得：，，

再由，，

双曲线的方程为：．

故选：D．

2．圆与圆的位置关系是(    )

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

【答案】B

【分析】判断圆心距与两圆半径之和、之差的关系即可判断两圆位置关系.

【详解】由得圆心坐标为，半径，

由得圆心坐标为，半径，

∴，，

∴，即两圆相交.

故选：B.

3．设为等差数列的前项和，，，则

A．-6 B．-4 C．-2 D．2

【答案】A

【详解】由已知得

解得．

故选A．

【解析】等差数列的通项公式和前项和公式．

4．平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由点到平面距离的向量法计算．

【详解】，

所以点到平面的距离为．

故选：C．

5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数的单调性选取中间数值1先比较b，c的大小关系，再选取中间数值0比较a和其他两个的大小关系，最后得出结论.

【详解】解：根据指数函数的单调性，函数在定义域内为单调增函数，所以，即,

函数在定义域内为单调减函数，所以，即，所以，

又指数函数的值域为，所以，

根据对数函数的性质，时，，所以，

所以，

故选：B.

6．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知f(m)＜0，则(　　)

A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0

C．f(m＋1)＞0 D．f(m＋1)＜0

【答案】C

【详解】试题分析：，∵，∴，∵，且∴，，∴，即：，∴，故答案为C.

【解析】一元二次不等式的应用.

7．已知函数．若数列的前n项和为，且满足，，则的最大值为（    ）

A．9 B．12 C．20 D．

【答案】C

【分析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，为负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值.

【详解】①，当时，，当时，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，

当是公差为2的等差数列，且时，最小，最大，此时，所以，此时；

当且是公差为2的等差数列时，最大，最大，此时，所以，此时

综上：的最大值为20

故选：C

【点睛】方法点睛：数列相关的最值求解，要结合题干条件，使用不等式放缩，函数单调性或导函数等进行求解.

8．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是等腰直角三角形，平面平面，当棱上一动点到直线的距离最小时，过做截面交于点，则四棱锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取的中点，连接，由题意可得平面建立空间直角坐标系，利用空间向量中点到直线距离公式计算出到直线的距离最小时的具体坐标，再用空间向量的方法计算出点到直线的距离和点到平面的距离即可

【详解】

取的中点，连接

因为是等腰直角三角形且，所以，，，

因为平面平面平面平面平面

所以平面所以以为原点，分别以，，的方向为，，轴的建立空间直角坐标系，则

所以，，

因为动点在棱上，所以设，则

所以，，

，，，，

所以点到直线的距离为，

所以当时，点到直线的最小距离为，此时点是的中点即

因为，平面，平面，所以平面，

因为平面，平面平面，所以，所以，

因为点是的中点，所以点是的中点，所以，

，，

，，，，

所以点到直线的距离为

所以梯形的面积为，

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则，，

所以，

则点到平面的距离，

所以四棱锥的体积为，

故选：B

【点睛】方法点睛：针对于立体几何中角度范围和距离范围的题目，可以建立空间直角坐标系来进行求解，熟练各种距离、各种角度的计算方式

二、多选题

9．已知正方体，，分别为，的中点，则（    ）

A．直线与所成角为

B．直线与所成角为

C．直线与平面所成角为

D．直线与平面所成角的正弦值为

【答案】ABC

【分析】建立空间直角坐标系，求出正方体各顶点坐标，求出相关向量以及相关平面法向量的坐标，根据数量积的计算以及空间角的向量求法，即可判断答案.

【详解】以D为坐标原点，以射线为轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，

则,,

则 ,故，则，

故直线与所成角为，A正确；

,,

又，故，即直线与所成角为，B正确；

,

设平面的法向量为 ，

则 ，令 ，则，

故,因为直线与平面所成角范围为 ，

故直线与平面所成角的正弦值为，

所以直线与平面所成角为，C正确；

,设平面的法向量为，

则 ，令 ，则，

故,

故直线与平面所成角的正弦值为，D错误.

故选：ABC.

10．已知数列满足：，，，3，4，…，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．对任意，恒成立

C．不存在正整数，，使，，成等差数列

D．数列为等差数列

【答案】ABD

【分析】首先判断D，根据数列的递推关系，通过D构造等差数列的定义，即可判断；根据等差数列的通项公式，得到数列的通项公式，再通过代入的方法，判断ABC.

【详解】因为，（）,所以,（）,

即，因为，

所以，

得，，

所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，即，

得，故D正确；

A.，故A正确；

B.，所以，故B正确；

C. 若存在正整数，，使，，成等差数列，则，

即，得，令，满足等式，所以C错误；

故选：ABD

11．直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，连接点A和坐标原点O的直线交抛物线准线于点D，则（    ）．

A．F坐标为 B．最小值为4

C．一定平行于x轴 D．可能为直角三角形

【答案】BC

【分析】对A选项直接由抛物线方程求出焦点坐标即可判定，对于B选项设线，设点得到，利用基本不等式即可得到其最小值，对于C选项利用B选项中得到的结论，即可证明即可证明平行，对于D选项，对三个内角进行判定其向量点乘是否为0或是斜率乘积是否为即可.

【详解】对A选项，，，，即，故A错误,

对B选项，设直线方程为，联立抛物线得，则，，两式相乘得，，当且仅当时等号成立，故，故B正确；

对C选项，,令，则，故,因为,故一定平行于轴，故C正确，

对D选项，因为,故不为直角,

两式作差得，故，即，

,故不为直角,同理故不为直角，故D错误，

故选：BC.

12．已知和都是定义在R上的函数，则（    ）．

A．若，则的图象关于点中心对称

B．函数与的图象关于关于直线对称

C．若是不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有，则

D．若方程有实数解，则不可能是

【答案】ACD

【分析】根据奇函数的定义和性质判断A，分析函数与的图象关系与和的图象关系，由此判断B，由函数关系取特殊值结合偶函数性质求函数值判断C，证明方程有实数解等价于方程有解，由此判断D.

【详解】因为，所以，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以的图象关于点中心对称；A正确；因为函数的图象是的图象向右平移1个单位得到的，因为，所以的图象是的图象向右平移1个单位得到的；又因为与的图象是关于轴（直线）对称，所以函数与的图象关于直线对称，B错误

因为函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，所以

在中

令，可得，即

令，可得，即，

令，可得，即，

令，可得，即，

又，所以，则

所以，所以，C正确，

设是方程的一个根，则，故

再令，则，即方程有解；又方程无解，所以不可能是.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知直线和互相平行，则实数的值为___________.

【答案】

【分析】根据直线平行的充要条件即可求出实数的值.

【详解】由直线和互相平行，

得 ，即.

故答案为：.

14．已知等差数列的公差为1，且是和的等比中项，则前10项的和为___________.

【答案】

【分析】利用等比中项及等差数列通项公式求出首项，再利用等差数列的前项和公式求出前10项的和.

【详解】设等差数列的首项为，

由已知条件得，即，

，解得，

则.

故答案为：.

15．如图，把正方形纸片沿对角线折成直二面角，则折纸后异面直线，所成的角为___________.

【答案】##60°

【分析】过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，进而（或其补角）是所求角，算出答案即可.

【详解】过点E作CE∥AB，且使得CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，设所求角为，于是.

设原正方形ABCD边长为2，取AC的中点O，连接DO,BO，则且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，则.易得，，，而则

于是，,.

在中，，取DE的中点F，则，所以，所以，

于是.

故答案为：.

四、双空题

16．2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程

若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为___________.

【答案】         

【分析】由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再按照等比数列通项公式可得解；

由图形之间的面积关系及累加法，结合等比数列求和可得解.

【详解】记第个图形为，三角形边长为，边数，周长为，面积为

有条边，边长；有条边，边长；有条边，边长；

分析可知，即；，即

当第1个图中的三角形的周长为1时，即，

所以

由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，即

即，，，

利用累加法可得

数列是以为公比的等比数列，数列是以为公比的等比数列，故是以为公比的等比数列，

当第1个图中的三角形的面积为1时，，即，此时，，有条边，

则

所以， 所以

故答案为：，

【点睛】关键点睛：本题考查数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.

五、解答题

17．已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由成等比数列得首项，从而得到通项公式；

（2）利用裂项相消求和可得答案.

【详解】（1）设数列的公差为，

∵成等比数列，∴，

即，

∴，由题意

故，得，

即.

（2），

∴

．

18．已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M满足直线AM与BM的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求.

【答案】(1)，曲线是一个双曲线，除去左右顶点

(2)

【分析】（1）设，则的斜率分别为，，根据题意列出方程，化简后即得C的方程，根据方程可以判定曲线类型，注意特殊点的去除；

（2）联立方程，利用韦达定理和弦长公式计算可得.

【详解】（1）解：设，则的斜率分别为，，

由已知得，

化简得，

即曲线C的方程为，

曲线是一个双曲线，除去左右顶点.

（2）解：联立消去整理得，

设，，则，

.

19．为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．

(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；

(2)某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？

【答案】(1)；

(2)会驶入安全预警区，行驶时长为半小时

【分析】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；

（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.

【详解】（1）由题意得，∴；

（2）设圆的方程为，

因为该圆经过三点，∴，得到.

所以该圆的方程为：，

化成标准方程为：.

设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，

圆心（6，8）到直线的距离，

所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.

直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时.

即在安全警示区内行驶时长为半小时.

20．如图，在三棱柱中，，点为的中点.

(1)求的长；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据线线垂直可证明平面,进而线面垂直得线线垂直，在直角三角形中，即可由勾股定理进行求解.

（2）建立空间直角坐标系，根据向量运算求解平面法向量和直线方向向量，根据向量的夹角求线面角.

【详解】（1）取中点，连.

因为，所以，

又平面,

所以平面,

因为，所以，

所以.

（2）以为原点，所在的直线为轴，如图建立直角坐标系，

则，

因为轴，故可设

根据且可得

因为，所以，

因为，所以，故所以,

设平面的法向量，

所以所以，取，则，

所以平面的法向量，

设直线与平面所成角为，

则

21．已知等差数列中，公差，，是与的等比中项，设数列的前项和为，满足.

(1)求数列与的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）对于等差数列直接列方程求解，数列根据求解；

（2）利用错位相减法可得，根据题意讨论得：当是奇数时，；当是偶数时，，再通过定义证明数列的单调性，进入确定相应情况的最值．

【详解】（1）∵

则，解得或（舍去）

∴.

又∵，

当时，，则，

当时，，则，即，

则数列是以首项，公比为的等比数列，

∴.

（2），

，

两式相减得：

∴

∵对任意的恒成立，即对任意的恒成立

①当是奇数时，任意的'恒成立

∴对任意的恒成立

②当是偶数时，对任意的恒成立

∴对任意的恒成立

令，对任意的恒成立

∴为递增数列

①当是奇数时，则，即

②当是偶数时，则

∴.

22．已知椭圆的离心率为，且过点.点P到抛物线的准线的距离为.

(1)求椭圆和抛物线的方程；

(2)如图过抛物线的焦点F作斜率为的直线交抛物线于A，B两点（点A在x轴下方），直线交椭圆于另一点Q.记，的面积分别记为，当恰好平分时，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由椭圆离心率和经过点可得答案；

（2）设，，，设直线的斜率为，且A，F，B共线得，从而，，，可求出直线的斜率为.当平分时，利用，求出，从而的值，由此直线，由于，联立直线和椭圆方程可得，再利用，可得答案.

【详解】（1）由于椭圆的离心率为，则，

所以，故设，由于椭圆经过点，

从而，故椭圆的方程为.

由于点P到抛物线的准线的距离为，

则，故，

从而抛物线.

（2）由于，设，，，

设直线的斜率为，由于，

则，，

由于，，且A，F，B共线得，

故，从而，，

从而，，

由于，则直线的斜率为，当平分时，

则，即，即

即，从而或，

从而或，由于，故，

由此直线.由于，

考虑到，从而，

从而，联立，

即，从而，则，

从而，

由此，，

从而，从而.