2022-2023学年河南省南阳市高三上学期期终质量评估（期末）数学（文）试题（word版）

2022年秋期高中三年级期终质量评估

数学试题（文）

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合，，则（    ）．

A．  B．  C．  D．

2．设复数z满足，则复数z的虚部是（    ）．

A．－5   B．5   C．  D．

3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）．

A．   B．   C．   D．

4．从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是（    ）．

A．   B．   C．   D．

5．《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出：非寄宿制中小学、幼儿园原则上不得在校内设置食品小卖部、超市，已经设置的要逐步退出．为了了解学生对校内开设食品小卖部的意见，某校对100名在校生30天内在该校食品小卖都消费过的天数进行统计，将所得数据按照、、、、、分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论不正确的是（    ）．

A．该校学生每月在食品小卖部消费过的天数不低于20的学生比率估计为20%

B．该校学生每月在食品小卖部消费过的天数低于10的学生比率估计为32%

C．估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的平均值不低于15

D．估计该校学生每月在食品小卖部消费过的天数的中位数介于10至15之间

6．，，条件，条件，则条件p是条件q的（    ）．

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．角A等于（    ）．

A．   B．   C．  D．

8．已知函数f（x）满足f（x）＋f（－x）=0，f（－x－1）=f（－x＋1），当时，，则（    ）．

A．  B．  C．  D．

9．已知，该函数在x=－1时有极值0，则a＋b=（    ）．

A．4   B．7   C．11  D，4或11

10．已知函数在上单调递增，且有恒成立，则的值为（    ）．

A．   B．   C．1  D．2

11．已知过坐标原点O的直线l交双曲线的左右两支分别为A，B两点，设双曲线的右焦点为F，若，则△ABF的面积为（    ）．

A．3   B．   C．6  D．

12．已知，，，则大小关系正确的为（    ）．

A．a>b>c  B．b>a>c  C．b>c>a  D．c>a>b

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量，，则向量在向量方向上的投影是______．

14．已知函数是偶函数，则______．

15，过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，且，则直线AB的斜截式方程为______．

16．在菱形ABCD中，，AB=2，将△ABD沿BD折起，使得AC=3．則得到的四面体ABCD的外接球的表面积为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）

推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取500名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：

（1）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成下面列联表，并判断是否有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？

（2）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人组成一个环保宣传队，求抽取的3人恰好是两男一女的概率，

附：，其中．

临界值表：

18．（本题满分12分）

已知数列是各项均为正数的等差数列，是其前n项和，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的最大项．

19，（本题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PB⊥底面ABCD，PB=AB=AD=BC=1，设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：；

（2）证明：l平面PAB；

（3）求点B到平面PCD的距离．

20．（本题满分12分）

已知椭圆（a>b>0），离心率为，其左右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，且的最小值为1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），若，求直线MN的方程．

21．（本题满分12分）

已知函数．（）

（1）当a=1时，求证：；

（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），

（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C的极坐标方程；

（2）若点A，B为曲线C上的两个点OA⊥OB，求证：为定值．

23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知存在，使得，a，．

（1）求a＋2b的取值范围；（2）求的最小值．

2022年秋期高中三年级期终质量评估

数学试题（文）参考答案

一、1—5 ACBAC  6—10 BBDCA  11—12 BA

12．

，，令，，

易证（当且仅当x=1时等号成立）

∴，即a>b∴a>b>c

二、13．－1  14．  15．或  16．

三、17．解：（1）由题意得列联表如下：

计算得

因为2.771>2.706，所以有90%的把握认为“居民对垃级分类的了解程度”与“性别”有关；

（2）由题意可知，抽到的女性有人，抽到的男性有人，

记抽到的男性为a，b，c，抽到的女性为d，e，则基本事件分别为（a，c，d）、（a，b，d），（a，b，e），（a，c，d）（a，c，e），（a，d，e）（b，c，d），（b，c，e）、（b，d，e）、（c，d，e），共10种，抽取的3人恰好是两男一女共有6种，所以抽取的3人恰好是两男一女的概率是．

18．解：（1）当n=1时，，解得：或，因为，故．

方法一：因为，所以，

又，即可得．

方二：当n=2时，，易得：．

因为数列是等差数列，故．

（2）由（1）知，，故．

∵，当n<7时，；当n=7时，；当n>7时，；

故数列的最大项为．

19，证明：（1）由题意可知，BC平面PAD，AD面PAD，故，平面PAD，

又∵BC面PBC且面PBC面PAD=l，∴．

（2）因为PB⊥底面ABCD，所以PB⊥BC．

又底面ABCD为直角梯形，且，所以AB⊥BC．

且，∴BC⊥面PAB，又，∴l⊥面PAB．

（3）易求得，，，，．

因为，△PDC所以为直角三角形．

设B到平面PCD的距离为h，因为，所以，故可得，．

20．解：（1）由题意知：，即a=2c且a－c=1，可得：a=2，，c=1．

椭圆C：的方程为：．

（2）方法一：不妨设直线MN交x轴于Q点，由，易得，，故．

设直线MN的方程为x=my＋3，，，

显然，，．

由得，，∴ ① ②

又∵，得 ③，由①②③得，．

所以，直线MN的方程为：，即．

方法二：延长交椭圆于点P，根据椭圆的对称性可知，，得．

设，，．显然，．

设直线PM的方程为x=my－1，联立得，，

∴ ①   ②

又∵，得 ③

由①②③得，．

故，则，

因此，直线MN的斜率．

不妨设直线MN交x轴于Q点，由，易得，，故，

所以，直线MN的方程为：．

21．解：（1），

故f（x）在（0，1）上是单调增加的，在上是单调减少的，

所以，即．

（2）当a=0时，，不存在零点，当a≠0，由f（x）=0得，，．

设，则，令，

易知h（x）在上是单调减少的，且h（1）=0．

故g（x）在（0，1）上是单调增加的，在上是单调减少的．

由于，g（1）=1，且当x>1时，g（x）>0，

故若函数f（x）有且只有一个零点，则只须或．

即当时，函数f（x）有且只有一个零点．

22．解：（1）因为，所以面线C的直角坐标方程为．

因为，，所以，曲线C的极坐标方程为：．

（2）由于OA⊥OB，故可设，，，，

所以．即为定值．

23．解：（1）由题知：，

因为存在，使得，所以只需，即a＋2b的取值范是．

（2）方法一：由（1）知，因为a，，不妨设，当时，，

当0<b<2时，有，整理得，，

此时t的最小值为；综上：的最小值为．

方法二：令，不妨设，，因为，所以，

所以：，即的最小值为．