2023届福建省厦门市高三上学期12月第一次质量检测模拟考数学试题（含答案）

厦门市2023届高中毕业班第一次质量检测模拟考

数学试卷

满分150分 考试时间120分钟

考生注意：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则等于（ ）

A. B. C. D.

2.已知函数，则的值为（ ）

A. B. C. D.9

3.现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：

根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）

A.样本中的女生数量多于男生数量 B.样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量

C.样本中的男生偏爱理科 D.样本中的女生偏爱文科

4.如图，是边长为的正方形，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）

A. B. C. D.

5.已知，若，则等于（ ）

A. B. C.0 D.1

6.数列满足，，，，则（ ）

A. B. C. D.

7.过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作准线的垂线，垂足分别为，两点，以线段为直径的圆过点，则圆的方程为（ ）

A. B.

C. D.

8.已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设，为复数，且，下列命题中正确的是（ ）

A.若，则 

B.若，则的实部与的虚部互为相反数

C.若为纯虚数，则为实数 

D.若，则，在复平面内对应的点不可能在同一象限

10.四张外观相同的奖券让甲，乙，丙，丁四人各随机抽取一张，其中只有一张奖券可以中奖，则（ ）

A.四人中间概率与抽取顺序无关 B.在甲未中奖的条件下，乙或丙中奖的概率为

C.事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖互斥 D.事件甲中奖与事件乙中奖互相独立

11.已知函数，则下列结论中正确的是（ ）

A.的对称中心的坐标是

B.的图象是由的图象向右移个单位得到的

C.在上单调递减

D.函数在内共有7个零点

12.在正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）中，点在棱上，满足，点为线段上的动点设直线与平面所成的角为，则下列结论中正确的是（ ）

A.存在某个位置，使得 B.不存在某个位置，使得

C.存在某个位置，使得平面平面D.存在某个位置，使得

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.据统计，夏季期间某旅游景点每天的游客人数服从正态分布，则在此期间的某一天，该旅游景点的人数不超过1300的概率为______.

附：若，则：，，.

14.若，则等于______.

15.已知抛物线的焦点为，，为抛物线上两点，若，为坐标原点，则的面积为______.

16.已 知 数 列与满足，若，且对一切恒成立，则实数的取值范围是______.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）如图，在中，点在边上，，，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若的面积为7，求的长.

18.（本小题满分12分）如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，平面平面，且，，，.

（Ⅰ）设点为棱中点，求证：平面；

（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.

19.（本小题满分12分）已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，，且，，成等差数列.数列的前项和为，满足，且.

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）令，记数列的前项和为，求.

20.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.

（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量：

①求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；

②求的数学期望和方差.

（，其中）

21.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，过点的直线交椭圆于，两点，且，当轴时，.

（Ⅰ）求的标准方程；

（Ⅱ）求四边形面积的最小值.

22.（本小题满分12分）已知函数，.

（Ⅰ）若在上有两个不等实根，求的范围；

（Ⅱ）证明：.

参考答案

一、单选题

二、多选题

三、填空题

13.0.9987 14.253 15. 16.

四、解答题

17.（1）因为，所以，…（2分）

又因为，所以，

所以：，…（6分）

（2）在中，由正弦定理得，

故，…（8分）

，解得，…（10分）

在中，由余弦定理得：

，所以，….（12分）

18. （Ⅰ）证明：∵平面平面，平面平面，，

∴平面，又，∴直线，，两两垂直，

以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，，∴，

∴，.

∵平面，∴为平面的一个法向量，

∵，∴.又平面，∴平面.

（Ⅱ）当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为.

理由如下：∵，，

设平面的法向量为，则.令，得.

假设线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于.

设，∴.

∴.

∴，解得或（舍去）。

∴当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值

19.（1）由已知，得，

即，也即，解得，，

故；，，可得是首项为1，公差为的等差数列，

，，

当时，，

经检验时也符合上式，则，；

（2），

，

设，所以，

两式相减得

，

所以，所以.

20.（1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表为：

计算观测值，

对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；

（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，4，5；

其中；；；

；；；

所以的分布列为：

由于，则；.

21.（1）∵，∴过点∴∴

∵

∴∴∴椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，，

当的斜率不存在或为0时，

当的斜率存在且不为0时，的方程为：

联立得：

设，∴，

∵∴直线的方程为：同理可得：

时，上式取等号，

∴四边形面积的最小值为：综上所述，结论是：.

22.：由题意知方程为在上有两个不等实根，，

令，解得：，令，解得：∴在递增，在递减，

∴，而，，若在上有两个不等实根，则；

证明：（Ⅱ）：要证明，即证，即证明，

设函数，则，∴当时，；

当时，.

故在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为，

设函数，则.∴以当时，；

当时，.故在上单调递增，在上单调递减，

从而在上的最大值为；

∵，所以当时，，

∴，故