2022-2023学年甘肃省兰州市第一中学高三上学期期中考试理科数学试题（word版）

兰州市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试

数学（理）

一､选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.设全集，集合，则下面图中阴影部分表示的集合是（    ）

A.    B.    C.    D.

2.在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

3.雨滴在下落过程中，受到的阻力随速度增大而增大，当速度增大到一定程度时，阻力与重力达到平衡，雨滴开始匀速下落，此时雨滴的下落速度称为“末速度”.某学习小组通过实验，得到了雨滴的末速度（单位：）与直径（单位：）的一组数据，并绘制成如图所示的散点图，则在该实验条件下，下面四个回归方程类型中最适宜作为雨滴的末速度与直径的回归方程类型的是（    ）

A.    B.

C.    D.

4.若满足约束条件则的最小值为（    ）

A.3    B.1    C.    D.

5.对任意，用表示不超过的最大整数，设函数，则（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知，其中是互相垂直的单位向量，则（    ）

A.    B.    C.28    D.24

7.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ）

A.8种    B.14种    C.20种    D.116种

8.已知服从正态分布，则“”是“关于的二项式的展开式的常数项为3”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.既不充分又不必要条件    D.充要条件

9.如图，圆锥的轴截面为正三角形，其面积为为弧的中点，为母线的中点，则异而直线所成角的余弦值为（    ）

A.    B.    C.    D.

10.已知函数的一条对称轴方程为，把函数的图象上所有的点向左平移个单位，可得到函数的图象，若函数为奇函数，则的值为（    ）

A.    B.    C.    D.

11.足球场上有句顺口溜：冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，射点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为标准对称的足球场示意图，设球场长，宽，球门长.在某场比赛中有一位左边锋球员欲在边线上点处射门，为使得张角最大，则（    ）

A.    B.

C.    D.

12.对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ）

A.    B.

C.    D.

二､填空题：（共4小题，每小题5分，共20分.）

13.抛物线的准线方程为__________.

14.__________.

15.已知双曲线的左右两个焦点分别为为其左､右两个顶点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且，则该双曲线的离心率为__________.

16.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是共中是的内角的对边.若，且成等差数列，则面积的最大值为__________.

三､解答题：（共70分，解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.）

17.（12分）如图所示，在直四棱柱中，底面是等腰梯形，，四边形是正方形.

（1）指出棱与平面的交点的位置（无需证明），并在图中将平面截该四棱柱所得的截面补充完整；

（2）求二面角的余弦值.

18.（12分）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知甲､乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为，其中.

（1）若，分别求出该考生报考甲､乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；

（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求的范围.

19.（12分）记为数列的前项和，已知，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列满足__________，记为数列的前项和，证明：.

从①②两个条件中任选一个，补充在第②问中的横线上并作答.

20.（12分）已知函数是的导函数.

（1）求函数在处的切线方程；

（2）证明：函数只有一个极值点.

21.（12分）已知椭圆的离心率为的四个顶点围成的四边形面积为.

（1）求的方程；

（2）已知点，若不过点的动直线与交于两点，且，证明：过定点.

[选修：坐标系与参数方程]

22.（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）若直线的极坐标方程是，射线与曲线的交点为，与直线的交点为，求线段的长.

[选修：不等式选讲]

23.（10分）已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若时，函数的图像与直线所围成图形的面积为，求实数的值.

2022-2023学年高三上学期期中考试

数学（理）参考答案

一､选择题

1-12CDACAABABDCB

11.设，

则，

所以，

因为，当且仅当，即等号成立，

所以时，有最大值，由正切函数单调性知，此时张角

最大.

二､填空题

13.    14.    15.    16.

三､解答题

17.（1）为的中点.

作图如下：如图，取的中点，连接.

（2）设在平面内的射影为，点在上，且.

以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.

设，则，

所以，

所以.

设平面的法向量为，

则，取.

设平面的法向量为，

则，取.

所以，

由图可知二面角为锐角，故其余弦值为.

18.（1）设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件A，则

该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，则

.

（2）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为，

依题意，，则，

该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为，随机变量的可能取值为：.

，

，

随机变量的分布列：

因为该考生更希望进入甲大学的面试，则，即，解得，

所以的范围为：.

19.（1）①，

当时，；当时，②

①-②得，即

又，

数列是从第2项起的等比数列，即当时，.

.

（2）若选择①：

，

.

若选择②，则③，④

③-④得，

.

20.（1）

（2）函数的定义域为，且.

当时，；

当时，令，则，

在上单调递增.

又，使得，

即，

当，时，；当时，，

函数在上单调递减，在上单调递增，

只有一个极小值点，无极大值点.

21.（1）由离心率为，得，①

的四个顶点围成的四边形面积为.②

由①②可得，

故的方程为.

（2）由，得.

因为不在上，所以都不是零向量，故，

由题意可知的斜率一定存在.

设的方程为.

联立方程组得，消去并整理得，

由，得.

所以.

因为，

即

，

整理得，

因为，所以.

当时，满足，此时直线1的方程为，

所以直线1过定点.

22.（1）曲线的普通方程为，

极坐标方程为

（2）设，则有解得

设，则有解得

所以.

23.（1）解：当时，

或或

即或或，

所以原不等式的解集为

（2）解：

所以，的图像如图所示，

故令得，即，令得，即，

因为，

所以的面积为.

解得：