2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第三次综合测试数学（文）试题（解析版）

2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第三次综合测试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合A={ }，B={ }，则A∩B=（　　）

A．{x|＜x＜2} B．{x|＜x＜3}

C．{x|＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}

【答案】A

【分析】分别求得 ，B={}，求交集即可得解.

【详解】由可得或，

所以，

由，可得，

所以B={}，

所以A∩B=，

故选：A

2．已知，则复数z+5的实部与虚部的和为（　　）

A．10 B． C．0 D．

【答案】A

【分析】首先根据复数的运算可得，由即可得解.

【详解】由可得，

，

所以的实部与虚部的和为，

故选：A

3．图二的程序框图所示的算法来自《九章算术》.若输入的值为16， 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【详解】由程序框图，得当输入，则，，输出的值为8；故选C.

4．已知数据是某市个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（    ）

A．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变；

B．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大；

C．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变；

D．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变.

【答案】B

【分析】根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入xn+1后，数据的变化特征，易得年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，方差会变大．

【详解】因为数据x1，x2，x3，…，xn是普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，

而xn+1为世界首富的年收入

则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，

故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，

中位数可能不变，也可能稍微变大，

由于数据的集中程度也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.

故选：B．

5．设，，，则，，的大小关系是（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，进行大小比较，从而得出相应答案．

【详解】根据指数函数的单调性可得：，即， ，即，

由于，根据对数函数的单调性可得：，即，

所以，

故答案选B．

【点睛】本题主要考查学生对于对手函数的单调性及其应用这一知识点的掌握程度，指数函数以及对数函数的单调性，取决于底数与1的大小．

6．将一根绳子对折，然后用剪刀在对折过的绳子上任意一处剪断，则得到的三条绳子的长度可以作为三角形的三边形的概率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：三边要能成为三角形，那么两边之和大于第三边，所以应在对折过的绳子的中点处和对折点之间的任意位置剪短，所以能构成三角形的概率,故选D.

【解析】几何概型

7．函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.

【详解】当x＝1时，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A、C；

当x→＋∞时，y→＋∞，排除B.

故选：D.

【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.

8．设等差数列满足，且为其前n项和，则数列的最大项为(　 　)

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设等差数列的公差为，由，利用通项公式化为，由可得，，利用二次函数的单调性即可得出答案

【详解】设等差数列的公差为，，

即

，则

等差数列单调递减

当时，数列取得最大值

故选

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其前项和公式，二次函数的单调性，考查了推理能力与运算能力，属于中档题．

9．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意和正三棱锥的性质，得到正三棱锥的底面面积和高，直接列棱锥的体积公式即可计算得到答案.

【详解】

由已知得，正三棱锥的底面是正三角形，且底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以，该底面的正三角形的外接圆的半径就是球的半径，且该正三棱锥的高也是球的半径，所以，，如图，，且，底面的面积为，故

故选：D

10．已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先由函数的图像关于对称，求出，再对化简即可求出.

【详解】函数变为，（令）.

因为函数的图像关于对称，所以,

解得：.

所以.

所以函数，其中,

其对称轴方程,所以.

因为，所以，所以.

当时， 符合题意.

对照四个选项，D正确.

故选：D.

11．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动， 且总是平行于轴， 则的周长的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.

【详解】抛物线，则焦点，准线方程为，

根据抛物线定义可得，

圆，圆心为，半径为，

点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.

点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由圆心和半径可知，

则的周长为，

所以，

故选：B.

【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.

12．函数与函数的图像至少有两个公共点，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据导数的几何意义得出的取值范围，再求出的最大值，进而得出实数的取值范围.

【详解】令，

设直线的方程为，且与切于，，

则，显然，则，

因为，所以，解得，

由对称性可知，与相切的直线的斜率，

因为函数与函数的图像至少有两个公共点，所以，

不等式等价为，

令，即函数在上单调递减，即，即.

故选：A

二、填空题

13．已知向量，则它们的夹角是______ ；

【答案】

【分析】根据向量的夹角公式求得正确答案.

【详解】，

则为锐角，所以.

故答案为：

14．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的2倍，则的离心率为_____________．

【答案】

【详解】设双曲线的标准方程为，由题意，得，即，

，所以双曲线的离心率为.

点睛：处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为，过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为.

15．已知数列中，，为数列的前项和，，且当时，有成立，则________.

【答案】

【分析】根据时满足，结合所给条件可证明为等差数列.再由等差数列定义即可求得数列前项和的通项公式，即可代入求解.

【详解】当时，，代入，

化简可得，

所以，又，

所以是以2为首项，1为公差的等差数列，

所以，故，

则.

故答案为：.

【点睛】本题考查了等差数列中的简单应用，等差数列通项公式的求法，属于基础题.

16．如图所示，正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，过直线的平面分别与棱、交于、，设，，给出以下四个命题：

①平面平面；

②当且仅当时，四边形的面积最小；

③四边形周长，是单调函数；

④四棱锥的体积为常函数；

以上命题中真命题的序号为___________.

【答案】①②④

【分析】对于①根据平面以及，即可由线面垂直证明面面垂直；对于②，四边形是菱形即可作出判断；对于③，根据勾股定理可算菱形的边长，进而根据函数特征即可判断；对于④，根据四棱锥分割成两个三棱锥，而三棱锥的底面积和高都是定值即可判断.

【详解】①连接、，在正方体中，因为且，

、分别是棱、的中点，则且，

所以四边形是平行四边形，故，

因为四边形为正方形，则，则，

因为平面，平面，所以，故，

因为，、平面，则平面，

又因为平面，所以平面平面，所以①正确；

②连接，因为平面平面，平面平面，

平面平面，所以，，同理可得，

所以，四边形是平行四边形，

由平面，平面，所以，

故四边形为菱形，且对角线是定值，

要使四边形面积最小，只需的长最小即可，在棱取，

所以，

故当时，最小，因此当为棱的中点时，

即当且仅当时，四边形的面积最小，所以②正确；

③因为，所以四边形是菱形，

在正方形中，，

当时，的长度由大变小，当时，的长度由小变大，

所以周长，不是单调函数，所以③错误；

④连接、、，把四棱锥分割成两个小三棱锥，

它们以为底，、为顶点，

，平面，平面，则平面，

因为，则到平面的距离为定值，同理，到平面的距离也为定值，

所以四棱锥的体积为常函数，所以④正确.

命题中真命题的序号为①②④．

故答案为：①②④．

三、解答题

17．如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=，cosB=，∠ADB=．

(1)求AD的长；

(2)求△ADE的面积．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）首先利用同角三角函数可得，求得，在中利用正弦定理即可得解；

（2）在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcos∠ADC，解得， 代入即可得解.

【详解】（1）在△ABD中，∵，，

∴，

∴，

由正弦定理，知．

（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，

在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcos∠ADC，

即，

∴DC2-2DC-5=0，解得（负值舍去）．

∴，

从而．

18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．

(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；

(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；

（附：，）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型， 从6组数据中选取2组数据共有=15种情况，抽到相邻两个月的数据的情况有5种，代入公式即可得解；

（2）先由数据求得，再由求，再由由求得，即可.

【详解】（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A，

试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有=15种情况，

每种情况都是等可能出现的，其中满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，

∴P（A）=，

（2）由数据求得，

由公式求得，

所以，

∴y关于x的线性回归方程为.

19．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB=2CD=，ACBD=F，且△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD中点，G为△PAD的重心.

(1)求证：GF∥平面PDC；

(2)求三棱锥G-PCD的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设PD的中点为，连接AH，CH．证明GF∥CH，然后证明GF∥平面PDC．

（2）通过VG﹣PCD＝VF﹣PCD＝VP﹣CDF，转化求解即可．

【详解】（1）

设PD的中点为H，连接AH，CH．

∵AB∥CD，AB＝2DC＝，

∴，

又∵G为△PAD的重心G，

∴，∴GF∥CH，

又∵GF⊄面PDC，CH⊂面PDC，

∴GF∥平面PDC，

（2）由（1）知GF∥平面PDC，则VG﹣PCD＝VF﹣PCD＝VP﹣CDF，

AB=2CD=，则CD=，△PAD与△ABD均为正三角形，且AB=，则AD=AB=，故PE=3，△ABD的高为3，

∵，∴，

∴.

20．已知椭圆的焦距为，离心率为．

（1）求椭圆方程；

（2）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且，，成等比数列，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由焦距为，离心率为结合性质  ，列出关于的方程组，求出从而求出椭圆方程；

（2）设出直线方程，代入椭圆方程，求出点D、E的坐标，然后利用|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，即可求解．

【详解】（1）由已知，，解得，

所以

椭圆的方程为

（2）由（1）得过点的直线为，

由，得，

所以，所以，

依题意，．

因为，，成等比数列，所以，

所以，即，

当时，，无解，

当时，，解得，

所以，解得，

所以，当，，成等比数列时，

【点睛】方法点睛（1）求椭圆方程的常用方法：①待定系数法；②定义法；③相关点法．

（2）直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于（或）的一元二次方程，设出交点坐标），利用韦达定理得出坐标的关系,同时注意判别式大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解．如本题及，联立即可求解．注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用．属于中档题.

21．已知关于的函数

(1)当时，求函数的极值；

(2)若函数没有零点，求实数取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值；

(2)

【分析】（1）由，求导可得，再根据导数的应用即可得解；

（2）根据零点存在性定理分和两种情况讨论即可得解.

【详解】（1），.    

当时，，的情况如下表：

所以，当时，函数的极小值为，无极大值；

（2）.

 ①当时，的情况如下表：

因为，  若使函数没有零点，需且仅需，

解得，所以此时；

②当时，的情况如下表：

因为，且，

所以此时函数总存在零点.              

 综上所述，所求实数的取值范围是.

22．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为：(为参数)，点的极坐标为，设直线与曲线相交于两点．

(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

(2)求的值．

【答案】（1），（2）1

【分析】（Ⅰ） 利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；

（Ⅱ） 点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．

【详解】Ⅰ曲线C的直角坐标方程为：，即

，直线l的普通方程为                  

Ⅱ点A的直角坐标为，设点P，Q对应的参数分别为，，点P，Q的极坐标分别为，将为参数与联立得：，

由韦达定理得：，          

将直线的极坐标方程与圆的极坐标方程联立得：

，由韦达定理得：，即 

所以，

【点睛】本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力．

23．（1）已知函数，解不等式；

（2）已知函数，解不等式．

【答案】（1）{x|x＞1或x＜0}；（2）（-∞，]

【分析】（1）分和两种情况讨论即可；

（2）分三种情况讨论即可得解.

【详解】（1）∵已知函数f（x）=|x-1|，故不等式f（x）+x2-1＞0，

若，|x-1|＞1-x2，∴x-1＞1-x2①，

若，x-1＜-（1-x2）②．

解①求得x＞1，解②求得 x＜0，

综上可得，原不等式的解集为 {x|x＞1或 x＜0}．

（2）已知函数f（x）=|x+2|-|x-1|，由不等式f（x）≥5x可得

①，②，③．

解①求得x＜-2，解②求得-2≤x≤，解③求得x∈∅．

综上可得，不等式的解集为（-∞，].