2023届河北省沧州市海兴县高三上学期12月调研数学试题（解析版）

2023届河北省沧州市海兴县高三上学期12月调研数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为或，因此，.

故选：B.

2．已知复数z满足：，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】首先根据复数的除法运算求出，然后根据复数的乘法运算即可求出结果.

【详解】因为，

所以，

因此.

故选：A.

3．某高校甲､乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级（选修课的成绩等级分为1，2，3，4，5，共五个等级）的条形图如图所示，则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是（    ）

A．3，5 B．3，3 C．3.5，5 D．3.5，4

【答案】C

【分析】将甲的所有选修课等级从低到高排列可得甲的中位数，由图可知乙的选修课等级的众数.

【详解】由条形图可得，甲同学共有10门选修课，将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后，第5，6门的成绩等级分别为3，4，故中位数为，乙成绩等级的众数为5.

故选：C.

4．若x，y，z为非零实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解.

【详解】解：因为，，所以,故充分;

当，，时，满足，

但不满足.故不必要，

故选：A.

5．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（    ）

A．若，则函数f(x)的值域为

B．点是函数f（x）图象的一个对称中心

C．函数f（x）在区间上是增函数

D．函数f（x）的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到

【答案】A

【分析】结合五点法求得函数解析式，然后利用正弦函数性质确定单调性、对称中心、函数值域及三角函数图象变换判断即得．

【详解】由题图及五点作图法得，，，

则，，故.

由，得，

故，函数f(x)在区间上不是增函数，故A正确，C错误；

∵当时，，

所以点不是函数f(x)图象的一个对称中心，故B错误；

由，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D错误.

故选：A．

6．已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合向量坐标运算的余弦夹角公式即可求解.

【详解】设与的夹角为，因为，，所以．

故选：B

7．满足，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】满足等价于在恒成立，构造函数，利用导数判断其单调性，进而即可判断结果.

【详解】满足，即，

令，，，，

当时，在恒成立，

在为增函数，则，即，符合题意，

当时，令，，当时，，

当时，，

所以在为增函数，在为减函数，，命题成立只需即可.

令，，当，，

即，即，命题不成立.

综上.

故选：D.

8．已知函数，若时，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将不等式转化为，然后再求最值即可.

【详解】不等式可化为，有，有，当时，（当且仅当时取等号），，故有．

故选：C

二、多选题

9．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则（    ）

A． B．的公差为9

C． D．

【答案】BD

【分析】设的公差为，依题意得到方程组，求出、，即可判断A、B，再根据等差数列的通项公式及前项和公式计算可得；

【详解】解：设的公差为.由，得，又，联立方程组解得，所以A错误，B正确；因为，，所以，故C错误；因为，所以D正确.

故选：BD

10．已知函数的零点为，则（    ）

A．的值为5 B．的值为4

C． D．

【答案】AD

【分析】由函数的零点为，得到，变形为，由为增函数，得到判断AB，再结合零点存在定理判断CD。

【详解】∵，

∴，

∴．

令为增函数，

∴由，

得，

∴．

∴．

由，，

又由，，

有，

则.

故选：AD

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（    ）

A．双曲线的离心率为2

B．若，且，则

C．以线段，为直径的两个圆外切

D．若点P在第二象限，则

【答案】ACD

【分析】通过求得，从而求得双曲线的离心率，由此判断A选项的正确性.结合三角形的面积以及双曲线的定义求得，由此判断B选项的正确性.通过圆心距和两个圆半径间的关系判断C选项的正确性.结合二倍角的正切公式来判断D选项的正确性.

【详解】对于A，设，则，因为，，

所以，由，得，故A正确.

对于B，因为，所以，根据双曲线的定义可得，

又因为，所以，整理得.

由，可得，

即，解得，故B错误，

对于C，设的中点为，O为原点.因为为的中位线，所以，则可知以线段，为直径的两个圆外切，故C正确.

对于D，设，则，.因为，所以，，

则渐近线方程为，所以，.

又，，

所以

，

因为，所以，故D正确.

故选：ACD

【点睛】求解双曲线离心率有关问题，可考虑直接法计算出，从而求得双曲线的离心率；也可以考虑建立或的关系式，通过整体求出或来求得双曲线的离心率.

12．已知正方体的棱长为2，P，Q分别为棱，的中点，M为线段BD上的动点，则（    ）

A．

B．

C．三棱锥的体积为定值

D．M为BD的中点时，则二面角的平面角为60°

【答案】BC

【分析】由题可得与不平行可判断A，利用线面垂直的判断定理及性质定理判断B，利用棱锥的体积公式可判断C，利用坐标法可判断D.

【详解】由正方体的性质可知，与不平行，故A错误；

由正方体的性质可知，又，

∴平面，又平面，

∴，故B正确；

由题可知M到平面的距离为定值d=2，三角形的面积为定值，所以为定值，故C正确；

如图建立空间直角坐标系，则

∴，

设平面PQM的法向量为，则

，令，则，

平面的法向量可取，

设二面角的平面角为，则

，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．若的展开式中的系数为224，则正实数的值为______．

【答案】2

【分析】根据二项式展开式的通项公式求得的系数和的系数，由此可得答案.

【详解】展开式中通项，所以时，得到的系数为，

时，得到的系数为，从而的展开式中的系数为，解得或，所以正实数的值为2．

故答案为：2.

【点睛】易错点点睛：(1)本题主要考查二项式展开式的通项和指定项的求法，考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 二项式通项公式： （）①它表示的是二项式的展开式的第项，而不是第项；②其中叫二项式展开式第项的二项式系数，而二项式展开式第项的系数是字母幂前的常数；③注意．

14．2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有______种.（用数字作答）

【答案】36

【分析】先将4名同学按2,1,1分成3组，再将这3组分配到3个比赛场馆可得答案.

【详解】将4名同学按2,1,1分成3组有种方法.

再将这3组分配到3个比赛场馆，共有种

则所有分配方案共有种

故答案为：36

15．已知点M的坐标为（2，0），AB是圆O：的一条直径，则______．

【答案】3

【分析】设出，则可得，根据数量积的坐标运算可得到的表达式，结合可得答案.

【详解】设 ，则,且，

则，

故答案为：3

16．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为___.（用含n的式子表示）

【答案】（，n为奇数）

【分析】可得为奇数时，即数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，即可求解.

【详解】当为奇数时，为偶数，为奇数，

则，

故数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列，

（，n为奇数），

故解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为（，n为奇数）.

故答案为：（，n为奇数）.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出数列的奇数项形成以1为首项，4为公比的等比数列.

四、解答题

17．已知等差数列的首项为2，且，，成等比数列.数列的前n项和为，且.

(1)求与的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的公差，由此求得.利用来求得.

（2）利用错位相减求和法求得.

【详解】（1）设的公差为d，因为，

所以，解得，

所以.

数列的前n项和为，且，①

当时，，②

①-②，得.

当时，，满足，所以.

（2）因为，

所以.③

，④

③-④，得，

所以.

18．设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，．

(1)求角A的大小；

(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．

①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值．

②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值．

【答案】(1)；

(2)①；②.

【分析】（1）利用正余弦定理即求；

（2）选①利用基本不等式及面积公式即求；选②利用余弦定理可得，然后利用基本不等式及面积公式即求.

【详解】（1）∵且,

∴，即，

∴，又，

∴；

（2）选①∵AD平分∠BAC，

∴，

∵，

∴，

即，

∴

由基本不等式可得：

，

∴，当且仅当时取“=”，

∴，

即的面积的最小值为；

②因为AD是BC边上的中线，

在中由余弦定理得，

在中由余弦定理得，

∵，

∴，

在中，，由余弦定理得，

∴

∴，

解得，当且仅当时取“=”，

所以，

即的面积的最大值为.

19．某统计部门依据《中国统计年鉴——2017》提供的数据，对我国1997-2016年的国内生产总值（GDP）进行统计研究，作出了两张散点图：图1表示1997-2016年我国的国内生产总值（GDP），图2表示2007-2016年我国的国内生产总值（GDP）．

(1)用表示第i张图中的年份与GDP的线性相关系数，，依据散点图的特征分别写出的结果；

(2)分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——相关指数的数值，部分结果如下表所示：

①将上表中的数据补充完整（结果保留3位小数，直接写在答题卡上）；

②若估计2017年的GDP，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来估计，2020年的GDP能否突破100万亿元？事实上，2020年的GDP刚好突破了100万亿元，估计与事实是否吻合？结合散点图解释说明.

【答案】(1)，

(2)①0.996，②不吻合，理由见解析.

【分析】（1）观察两图，根据的范围，我们只需要确定哪个图像关联系数更高，即选择较大的那个相关系数；

（2）第一小问可根据第（1）问中确定的的值，通过来计算；第二小问可通过计算出来的数据跟已有的数据对比，选出最适合模拟最近的年份的回归模型，并且按照这个回归模型来模拟，预测2020年是否能够突破100万亿，并且根据回归模型的增长趋势来判断.

【详解】（1）由散点图可知，图2拟合效果更好、相关系数较大，所以，．

（2）①0.996

②由图2中的线性回归模型得到的相关指数为0.996，是所有回归模型的相关指数中数值最大的，而且2017年是最近的年份，因此选择图2中的线性回归模型来估计2017年的GDP，是比较精准的．

按照图2中的线性回归模型来估计（延长回归直线可发现），2020年不能突破100万亿元．

估计与事实不吻合．综合两张图来考虑，我国的GDP随年份的增长整体上呈现指数增长的趋势，而且2020年比2016年又多发展了4年，指数回归趋于明显，因此，按照线性回归模型得到的估计值与实际数据有偏差、不吻合，属于正常现象．

20．如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．

(1)求证：；

(2)若二面角的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)存在；CK的长度为2

【分析】（1）由已知条件可得平面ADE，再由线面垂直的性质可证得结论，

（2）方法一：由已知可得是二面角A－EF－D的平面角，即，过A作，垂足为G，则由面面垂直的性质可得平面CDEF，连结KG，则为AK与平面CDEF所成的角，然后在，和中计算即可，

方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量求解即可

【详解】（1）因为，，，

所以平面ADE．

因为平面ADE，所以．

（2）方法一：

因为，，所以是二面角A－EF－D的平面角，即．

因为平面ADE，所以平面平面ADE．

过A作，垂足为G，因为平面平面，

所以平面CDEF．

连结KG，则为AK与平面CDEF所成的角，即．

在中，因为，，所以．

在中，因为，所以．

设，过K作于H，则．

在中，由，得，

解之得或（舍），所以，即．

方法二：因为，，所以是二面角A－EF－D的平面角，即．

建立如图所示的空间直角坐标系，设，则

A（2，0，0），，

设直线AK与平面CDEF所成角为，则，从而．

设平面CDEF法向量为，直线AK的方向向量与平面CDEF法向量所成的角为，则．

因为，

所以，令，则

所以，解得．

此时，点K为点F，CK的长度为2．

21．已知椭圆：（），、分别为椭圆的左、右顶点.点，为坐标原点，椭圆长轴长等于，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过作垂直于轴的直线，为上的一个动点，与椭圆交与点，与椭圆交与点.求证：直线过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据条件：椭圆长轴长等于，离心率为等到方程即可求解；

（2）设方程为，将其与椭圆联立，再根据椭圆上的点得到关系式，从而求出直线过定点，另一方面还要注意到时这一特殊情况.

【详解】（1）由题意可知，∴，又，∴，.

∴椭圆方程为.

（2）由题，，设，，.

若，设方程为，由题可知，

：，∴，

：，∴，

消去得.

又，∴，∴，

即  ①

，，

，.

代入①式得，

∴，解得（舍去）或.

∴：，即直线过点，

时，则直线方程为，过点.

综上可知直线过定点.

22．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数有两个极值点、，且（为自然对数底数，且），求的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）由已知可得出，，可得出，设，，其中，利用导数求出函数在上的值域，即可得解.

【详解】（1）解：由题知，函数的定义域为，，

当时，对任意的，且不恒为零，故在上单调递增；

当时，，且不恒为零，故在上单调递增；

当时，令，解得，，则，

当时，；当时，；当时，.

此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.

综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，的单调递增区间为、，单调递减区间为.

（2）解：由（1）知，当时，有两极值点、，且，，

所以

，

设，，其中，

所以，，

又因为，可知，所以在上单调递减．

∴，即，所以的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题第二小问考查的取值范围，要注意、所满足的关系式（即韦达定理），在化简时，要注意将参数与变量统一为同一变量，通过构造函数，利用求解函数值域的方法来求解.