人教版九年级上册数学全书知识点总结

第二十一章 一元二次方程
1.一元二次方程
定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程
一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项
特殊形式
（只要满足a≠0，b，c可以为任意实数）
三种形式
二次项系数
一次项系数
常数项
ax2=0(a≠0)
a
0
0
ax2+c=0(a≠0)
a
0
c

ax2+bx=0(a≠0)

a

b

0
一元二次方程的根
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.


2.解一元二次方程的方法
直接开平方法
定义
利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的方法叫做直接开平方法


总结
一般的，对于可化为 x2=p的方程
①当 p > 0 时，方程有两个不相等的实数根x1=p，x2=−p ；
②当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1=x2 =0；
③当 p < 0 时，方程无实数根.








配方法
定义
通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。即把方程化为 (x+n)2=p的形式



总结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p
①当 p > 0 时，方程有两个不等的实数根
x1=−n−p，x2=−n+p
②当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根
x1=x2=−n
③当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 (x + n)2≥0，所以方程无实数根.


方法步骤
一移常数项，并将二次项系数化为 1；
二配完全平方,等号两边同时加上一次项系数一半的平方。（常数项等于一次项系数一半的平方）x2+px+(p2)2=(x+p2)2
三写成(x+n)2=p；
四直接开平方法解方程.


配方步骤
ax2+bx+c=0（前提先化为一般式）
移项得：ax2+bx=−c ........移常数项
系数化为1：x2+bax=−ca ........二次项系数化为1
配方：x2+bax+(b2a)2=−ca+(b2a)2 .....配常数项，等号两边同时加上一次项系数一半的平方
(x+b2a)2=b2−4ac4a2
开方：x+b2a=±b2−4ac2a
x=−b±b2−4ac2a








公式法
根的判别式
定义：一般地，式子△=b2−4ac叫做一元二次方程根的判别式


求根公式的定义
当 Δ=b2−4ac≥0 时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为x=−b±b2−4ac2a 的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.




判别式△=b2−4ac的根的情况
判别式的情况
根的情况
根
△=b2−4ac>0
两个不相等的实数根
x1=−b+b2−4ac2a， x2=−b−b2−4ac2a
△=b2−4ac=0
两个相等的实数根
x1=x2 =−b2a；
△=b2−4ac0
a0)
y=ax2+k(a0
k0
k 0 时，向上平移 k 个单位➡y=ax2+k当 k < 0 时，向下平移 k 个单位➡y=ax2−k
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减

4.二次函数y=a(x−h)2(a≠0)的图像和性质
y=a(x−h)2
y=a(x−h)2(a>0)
y=a(x−h)2(a0
h0
h 0)：
y=ax2向左平移h个单位➡y=a(x+h)2向右平移h个单位➡y=a(x−h)2
左右平移规律：
自变量左加右减，括号外不变。







5.二次函数y=a(x−h)2+k(a≠0)的图像和性质（顶点式）
y=a(x−h)2+k(a≠0)
y=a(x−h)2+k(a>0)
y=a(x−h)2+k(a0，k>0
h0
h>0，k>0
h0





图像




h