2023届广东省广州市执信中学高三上学期第二次月考数学试题含解析

2023届广东省广州市执信中学高三上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．集合的实部为0}，，，i为虚数单位，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，求出集合，，，求出补集即可得解.

【详解】由的实部为0}

则，，

所以，

故选：A.

2．已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为

A． B．1 C．2 D．4

【答案】C

【详解】试题分析：∵抛物线的准线为，曲线为，圆心为，半径，∵抛物线的准线与曲线相切，∴，即．

【解析】抛物线与圆的几何性质．

3．已知集合的一个必要条件是，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合，根据集合的一个必要条件是，即选一个由成立能推出的选项即选项对应的集合包含A，由此可得答案.

【详解】解不等式，即 ，得 ，

故，

所以的一个必要条件是，

则对于A, ，不一定是的子集，A错误；

对于B，，不是的子集，B错误；

对于C，，是的子集，C正确；

对于D, ,不一定是的子集，比如时，D错误；

故选：C

4．已知各顶点都在球面上的正四棱锥的高度为，椎体体积为6，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得正四棱锥的高，然后利用勾股定理求得球的半径，进而求得球的表面积.

【详解】设正四棱锥底面边长为，则，

底面正方形的对角线长为，

设球的半径为，则，

解得，则球的表面积为.

故选：B

5．小明班的语文老师昨天报了一次听写，语文老师给了小明满分分，但实际上小明有一处写了个错别字，告诉了小王和小丁，错一处扣分，但小明自己不会给老师说，小王有的可能告诉老师，小丁有的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小明的听写本上的得分期望（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分析可知的可能取值为：、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值.

【详解】由题意可知的可能取值为：、，

则，，

因此，.

故选：D.

6．若，则的值为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】用诱导公式将已知的余弦转化为正弦的形式，然后利用辅助角公式化简所求的式子，再用二倍角公式求得所求式子的值.

【详解】依题意，,

，故选D.

【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查辅助角公式以及二倍角公式的应用.诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”，在解题过程中，要注意的是出现相应的形式，要会变，没有相应的形式，也可以转变，如可转化为.余弦的二倍角公式公式有三个，要利用上合适的那个.

7．设正实数、、满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值.

【详解】因为正实数、、满足，则，

则，当且仅当时取等号.

故的最大值为.

故选：C.

8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则实数的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据正弦定理可得，由余弦定理可得，两式结合可得，根据三角函数的性质即可求得答案。

【详解】由，可得，

由余弦定理得： ，

两式结合得：，

即，

即，

则当时，，则，

故由 可得其最小值为 ，

故选：C

二、多选题

9．下列命题中，真命题的是（    ）

A．若回归方程，则变量与正相关

B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好

C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8

D．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次”

【答案】CD

【分析】A选项直接判断；B选项值越大，模型的拟合效果越好；C选项按照公式直接计算；

D选项根据对立事件的概念进行判断.

【详解】对于A：，变量与负相关，A错误；对于B：值越大，模型的拟合效果越好，B错误；

对于C：数据，，…，的方差为，C正确；对于D：事件“至少击中两次”

的对立事件是“至多击中一次”，D正确.

故选：CD.

10．已知m，n是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】ABD

【分析】A：根据线面位置关系，结合面面垂直的性质进行判断即可；B：根据线线位置关系，结合面面垂直的性质进行判断即可；C：根据面面垂直的性质和线面垂直的性质，结合线面位置关系进行判断即可；D：根据面面垂直的性质定理进行判断即可．

【详解】对于A，直线m与平面可能垂直，也可能平行或m在平面内，故A不正确；

对于B，直线m与n平行、异面或相交，故B不正确；

对于C，，则或，又，所以，故C正确；

对于D，缺少条件，故D不正确；

故选：A B D

11．已知双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线上，A、B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为，则的取值可能为（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】CD

【解析】计算得到双曲线方程为，则，，设，，

根据渐近线方程知：，代入计算得到答案.

【详解】根据题意知：，，故，，双曲线方程为，

则，，设，则，，，

，根据渐近线方程知：，

故.

故选：CD.

【点睛】本题考查了双曲线中斜率的计算，确定是解题的关键.

12．若图像上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的值可以是（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】BD

【分析】将分段函数图像上存在两个点关于原点对称这一性质，转化为的图像关于原点对称后与的图像有两个交点；再利用参变分离解决.

【详解】若有两个友情点对，则 在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点.由时，；得其关于原点对称后的解析式为.

问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，

化简得，即与在上有两个交点.

对于，求导，令，解得：，

即：当时，单调递增；

令，解得：，

即：当时，单调递减，为其极大值点，，

又时，；时，；画出其大致图像：

欲使与在时有两个交点，

则，即．

故选：BD

【点睛】重点是将一个函数上的对称点问题转化为两个函数图像交点的问题，再利用参变分离的方法，从而求解.

三、填空题

13．不等式的解集是____________．

【答案】或

【解析】利用分式不等式的解法即可求解.

【详解】，

即或，

解得或，

所以不等式的解集为或.

故答案为：或

【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

14．已知向量满足，，，则等于_______．

【答案】

【分析】计算出，由得，再对平方再开方计算可得答案.

【详解】因为，，，

所以，

所以，可得，

则，

所以.

故答案为：.

15．已知，是曲线上的两点，分别以，为切点作曲线C的切线，，且，切线交y轴于A点，切线交y轴于B点，则线段的长度为___________.

【答案】

【分析】由两切线垂直可知，，两点必分别位于该函数的两段上，故可设出切点坐标，表示出两条切线方程，根据两切线垂直，可得，又两切线分别与轴交于，，则可求出.

【详解】曲线 ，则，

设，两切线斜率分别为，，

由得，则不妨设，

，，，

令，得

，，，

令，得

由，即，得，

则.

故答案为：.

【关键点点睛】本题的关键是由两切线垂直可知两切点分别位于该分段函数的两段上，进而设出切点，写出斜率、切线方程，得到最终求得.

16．对于集合A，，定义集合. 己知等差数列和正项等比数列满足，，，．设数列和中的所有项分别构成集合A，，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前30项和_________.

【答案】1632

【分析】由得解出q，即可得通项公式，再由可解出d，可得通项公式，根据定义，找出数列和前面相同的项，进而确定前30项，即可求和.

【详解】为正项等比数列，则，解得或（舍），∴；

为等差数列，则，∴，∴.

由，可得当时，，

故数列的前30项包含数列前33项除去数列第2、4、6项，

.

故答案为：1632

四、解答题

17．已知函数过点，且满足.

（1）求函数的解析式；

（2）解关于的不等式：．

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）根据题意，由待定系数法和二次函数的性质，即可求出结果；

（2）根据题意，将不等式化为，计算出，根据的取值情况，对进行分类讨论，即可求出结果．

【详解】（1）因为函数过点，

所以，所以，即，

因为，所以的对称轴为

所以，解得，故.

（2）由（1），

方程的判别式为.

①当，即时，方程无解，

所以不等式的解集为；

②当，即时，方程有两个相等的实数根，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

③当，即或时，方程有两个根为：，不等式的解集为.

综上，时，不等式的解集是；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当或时，不等式的解集为.

18．如图，在中，，，且点在线段上．

(1)若，求的长；

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出的值，求出和，利用正弦定理可求得的长；

（2）由已知可得出，结合三角形的面积公式以及已知条件可求得、的长，利用余弦定理可求得的长，进而可求得的长，再利用三角形的面积公式可求得结果.

【详解】(1)解：，，则，

，解得，，

，，

在中，由正弦定理可知得.

(2)解：由得，所以，

因为，，所以，，

在中，由余弦定理得，

即，得，所以，

.

19．如图，三棱柱中，D是的中点.

（1）证明：面；

（2）若△是边长为2的正三角形，且，，平面平面.求平面与侧面所成二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）连接，记，连接，证明得到答案.

（2）证明，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，计算平面和平面的法向量，利用向量夹角公式得到答案.

【详解】（1）连接，记，连接，故为中点，

D是的中点，所以，又平面，平面.

故平面.

（2）取边中点O，连接，，因为，为等边三角形，，所以，，

又平面平面，且平面平面，

平面，所以，，两两互相垂直.

故以O为原点，建立空间直角坐标系如图所示：

则由题意可知，，.

设平面的法向量，则，即，

令，解得，得.

显然平面的一个法向量为.

∴，

∴二面角的正弦值为.

【点睛】本题考查了线面平行，利用向量求二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

20．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，，其中.

（1）若，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；

（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，则当该考生更希望通过甲大学的笔试时，求的范围.

【答案】（1）考生报考甲、乙两所大学恰好通过一门科目的概率分别为，；

（2）.

【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式和互斥事件概率加法公式即可求解；

（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，根据题意可知，，报考乙大学通过的科目数为，求得随机变量的概率分布，分别求出与的期望，比较即可得解.

【详解】（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件，

则；

该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件，则.

（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为，

根据题意可知，，则，

报将乙大学通过的科目数为，随机变量的可能取值为：0，1，2，3.

，

，

，

，

随机变量的分布列：

，

因为该考生更希望通过甲大学的笔试，∴，则，

所以的范围为：.

21．如图，已知点A是抛物线在第一象限上的点，F为抛物线的焦点，且垂直于x轴．过A作圆的两条切线，与抛物线在第四象限分别交于M，N两点，且直线的斜率为4．

(1)求抛物线的方程及A点坐标；

(2)问：直线是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．

【答案】(1)，

(2)是，

【分析】（1）根据直线AB的斜率可求得p的值，进而求得抛物线方程和A点坐标；

（2）先计算出直线的斜率之间的关系，再设直线的方程为，再根据之间的关系求得m，n之间的关系即得.

【详解】(1)因为，由，所以抛物线方程为，

且．

(2)设的倾斜角依次为，由可知，

再设的斜率分别为，下证．

方法一：由可知且满足，

再由．

方法二：直线的方程为，其中分别对应，

于是，即，

，

即，

由可知．

因为直线的方程为，其中分别对应，

再设直线的方程为，

联立求得其交点均满足，

代入抛物线C的方程，于是有，

将，整理得，

进而得到，．

将代入前式，有，化简得，

再代入的方程得，

所以恒过定点．

22．已知函数(其中…为自然对数的底数).

（1）求证：当时，；

（2）若不等式对成立，求实数a的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）利用导数判断单调性，求出的最小值，再证明其大于；

（2）令，先讨论，与题意不符；

当时：先求出，，，，

分类讨论：①若， ，使得，在上单调递减，与题意不符；

②若， ，使得，在上单调递增，与题意不符；

③若，判断在上单调递减，在上单调递增，恒成立，符合题意.

【详解】解：（1），当时，，，∴，

当时，，，∴，

故当时，，单调递增.

，而，故；

（2）令，即对成立，

若，则，与题意不符；

故只需考虑的情况：，，，，

显然当时，，∴在上单调递增，

①若，则，，故，

使得，在上单调递减，∴，与题意不符，舍；

②若，则，当时，，，故，单调递增，又，故，使得，在上单调递增，

∴，与题意不符，舍；

③若，则，当时，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，

∴恒成立.

综上，.

【点睛】导数的应用主要有：

（1）利用导函数几何意义求切线方程；

（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；

（3）利用导数求参数的取值范围；

（3）利用导数证明不等式.