2022-2023学年四川省成都市第七中学高三上学期10月阶段考试数学理word版含答案

成都七中高2023届高三上期10月阶段考试

数学试卷（理科）

一､选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上.）

1. 若复数（是虚数单位），则z的虚部是（）

A.  B. 3 C.  D.

2. 某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图．

下面关于相关系数的比较，正确的是（　　）

A.  B.  C.  D.

3. 设全集，集合，，则（）

A B.

C.  D.

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于（）

A.  B.  C.  D.

5. 函数在上的图象大致为（）

A.  B.

C.  D.

6. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，则（）

A.

B.

C.

D

7. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（）

A.  B. AB与平面所成的角为

C.  D. 与平面所成的角为

8. 已知数列是公比不等于的等比数列，若数列，，的前2023项的和分别为m，，20，则实数m的值（）

A. 只有1个 B. 有2个 C. 无法确定 D. 不存在

9. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（）

A. 由图1和图2面积相等得 B. 由可得

C. 由可得 D. 由可得

10. 已知分别为双曲线的左、右顶点，点P为双曲线C上任意一点，记直线，直线的斜率分别为．若，则双曲线C的离心率为（）

A B.  C. 2 D.

11. 在锐角三角形ABC中，若，且满足关系式，则周长最大值为（）

A.  B.  C.  D.

12. 若，不等式恒成立，则实数m的最大值为（）

A.  B.  C.  D. 1

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.

13. 已知平面向量，，满足，且，则的值为________.

14. 哥德巴赫猜想是指“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，例如，，在不超过40的素数中，随机选取两个数，其和等于40的概率为________.

15. 已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率为_______．

16. 辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为.（其中，，）.已知函数的图像的两相邻零点之间的距离小于，为函数的极大值点，且，则实数的最小值为___________.

三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 已知等差数列满足首项为1，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

18. 如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．

（1）求证：DE⊥平面PCB；

（2）求二面角的余弦值．

19. 某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：

（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；

（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为，求的分布列和期望；

（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，万元，6万元，万元，预测该员工第五年的年薪为多少？

附：线性回归方程中系数计算公式分别为：，其中为样本均值.

20. 已知点是抛物线与椭圆的公共焦点，椭圆上的点到点的最大距离为3.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作的两条切线，记切点分别为，求面积的最大值.

21. 已知函数

（1）当时，求函数在处切线方程；

（2）设，令，若的两根为，，且，求证：.

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；

（2）若直线过点且与直线l平行，直线交曲线C于A，B两点，求的值．

23. 已知函数．

（1）解不等式；

（2）设函数的最小值为，若正数，，满足，证明：．

成都七中高2023届高三上期10月阶段考试

数学试卷（理科）

一､选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上.）

1. 若复数（是虚数单位），则z的虚部是（）

A.  B. 3 C.  D.

【答案】B

2. 某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图．

下面关于相关系数的比较，正确的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

3. 设全集，集合，，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

5. 函数在上的图象大致为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

6. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，则（）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

7. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（）

A.  B. AB与平面所成的角为

C.  D. 与平面所成的角为

【答案】D

8. 已知数列是公比不等于的等比数列，若数列，，的前2023项的和分别为m，，20，则实数m的值（）

A. 只有1个 B. 有2个 C. 无法确定 D. 不存在

【答案】B

9. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（）

A. 由图1和图2面积相等得 B. 由可得

C. 由可得 D. 由可得

【答案】C

10. 已知分别为双曲线的左、右顶点，点P为双曲线C上任意一点，记直线，直线的斜率分别为．若，则双曲线C的离心率为（）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】A

11. 在锐角三角形ABC中，若，且满足关系式，则的周长最大值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

12. 若，不等式恒成立，则实数m的最大值为（）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】A

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.

13. 已知平面向量，，满足，且，则的值为________.

【答案】##

14. 哥德巴赫猜想是指“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，例如，，在不超过40的素数中，随机选取两个数，其和等于40的概率为________.

【答案】

15. 已知双曲线右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率为_______．

【答案】

16. 辅助角公式是我国清代数学家李善兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为.（其中，，）.已知函数的图像的两相邻零点之间的距离小于，为函数的极大值点，且，则实数的最小值为___________.

【答案】

三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 已知等差数列满足首项为1，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）首先根据已知条件列方程求出，再根据等差数列通项公式求即可；（2）根据题意得到，再利用裂项相消法求和即可.

【小问1详解】

根据题意得，

∵，数列是等差数列，设公差为d，则由，

得，解得，

所以.

【小问2详解】

由（1）可得，

所以

.

18. 如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．

（1）求证：DE⊥平面PCB；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）根据条件先证BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DEPC，即可证明DE⊥平面PCB.

（2）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.

【小问1详解】

证明:PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥BC，

又∵正方形ABCD中，CDBC，PDCD＝D，

∴BC⊥平面PCD，

又∵DE平面PCD，

∴BC⊥DE，

∵PD＝CD，E是PC的中点，DEPC，PCBC＝C，

且面，面

∴DE⊥平面PCB

【小问2详解】

以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意知：

则，

设平面BDE的法向量为，

则，

令，得到，

又，则，且AC⊥平面PDB，

∴平面PDB的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

则，

所以二面角的余弦值为．

19. 某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：

（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；

（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为，求的分布列和期望；

（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，万元，6万元，万元，预测该员工第五年的年薪为多少？

附：线性回归方程中系数计算公式分别为：，其中为样本均值.

【答案】（1）平均值为11万元，中位数为7万元

（2）见解析（3）9.5万元

【解析】

【分析】（1）根据收入表，即可求出员工年薪的平均数和中位数.

（2）运用组合公式，计算出取值为0，1，2时的概率，即可求出的分布列和期望．

（3）根据线性回归方程的计算公式得到线性回归方程：.再代入具体的x值即可.

【小问1详解】

平均值为万元;

中位数为万元.

【小问2详解】

年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；取值为0，1，2.

，，，

所以的分布列为：

数学期望为.

【小问3详解】

设分别表示工作年限及相应年薪，则，

，

，

，，

得线性回归方程：.

可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元.

20. 已知点是抛物线与椭圆的公共焦点，椭圆上的点到点的最大距离为3.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作的两条切线，记切点分别为，求面积的最大值.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由抛物线焦点可求，由到点的最大距离，可求.

（2）利用导数表示出直线和直线的方程，联立即得直线的方程，再与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出面积，利用函数知识即可求解.

【小问1详解】

抛物线的焦点为，即，

椭圆上的点到点的最大距离为，所以，，

所以椭圆方程为.

【小问2详解】

抛物线的方程为，即，

对该函数求导得，

设点，，，

直线的方程为，

即，即，

同理可知，直线的方程为，

由于点为这两条直线的公共点，则，

所以点，的坐标满足方程，

所以直线的方程为，

联立，可得，

由韦达定理可得，，

所以，

点到直线的距离为，

所以，

因为，

由已知可得，

所以当时，面积的最大值为.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21. 已知函数

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）设，令，若的两根为，，且，求证：.

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据导数的几何意义求曲线的斜率，利用点斜式求切线方程；(2)由条件证明，，由此可得等价于，利用导数研究函数的单调性，由此完成证明.

【小问1详解】

若，则，

，

则函数在处的切线的斜率，又，

所以曲线在点处的切线方程是，即；

【小问2详解】

因为，所以，

又，

所以函数，其定义域为，

则，

因为的两根为，且，

所以，即，其中，，

所以，且，，

因为，所以，

所以，，

要证，只需证明，只需证明，只需证明，

又，

，令

则，

所以在上单调递增，且，

故，即，所以.

【点睛】本题第二小问解决的关键在于由条件确定的关系，将多变元的问题转化为单变元的问题，再利用导数证明转化后的不等式即可.

22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；

（2）若直线过点且与直线l平行，直线交曲线C于A，B两点，求的值．

【答案】（1），

（2）2

【解析】

【分析】（1）利用三角消参即可求出曲线C的普通方程；由即可求出直线l的直角坐标方程；（2）利用直线参方形式中的“t的几何意义”即可求解

【小问1详解】

因为曲线C的参数方程为，（θ为参数），

所以曲线C的普通方程为．

由，得，即，

因为，，所以直线l的直角坐标方程为．

【小问2详解】

因为直线l的斜率为，所以l的倾斜角为，

所以过点且与直线l平行的直线的方程可设为（t为参数）．

设点A，B对应的参数分别为，，将代入，可得，整理得，则，，，

所以．

23. 已知函数．

（1）解不等式；

（2）设函数的最小值为，若正数，，满足，证明：．

【答案】（1）；

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）分，，三种情况讨论解不等式，最后再取并集即可；

（2）先由绝对值三角不等式求出，再由结合基本不等式求解即可.

【小问1详解】

当时，，由可得，则；

当时，，由可得显然成立，则；

当时，，由可得，则；

综上：不等式的解集为；

【小问2详解】

，当且仅当即时取等，，则，

又，，均为正数，则

，当且仅当，即时等号成立，则.