2023届甘肃省张掖市某重点校高三上学期第二次检测数学（文）试题含解析

2023届甘肃省张掖市重点校高三上学期第二次检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知p： q：，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据与的互相推出情况判断出属于何种条件.

【详解】当时，，所以，所以充分性满足，

当时，取，此时不满足，所以必要性不满足，

所以是的充分不必要条件，

故选：A.

2．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先分别解一元二次不等式和指数不等式而得集合A，B，然后求A与B的交集即可得解.

【详解】解得，即，

解得，即，

于是有，

所以.

故选：B

3．设函数则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】B

【分析】由内而外依次求解即可.

【详解】由题意，，

故选B．

4．已知函数在定义域上单调，且，则的值为（    ）

A．3 B．1 C．0 D．﹣1

【答案】A

【分析】先求出函数的解析式，将代入计算即可.

【详解】因为函数在定义域上单调，且，

所以为常数，不妨设，则

由得，解得：，

所以，

所以.

故选：A

5．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：因为函数是奇函数，所以选项A不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；函数的图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项C正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在区间上是增函数，所以选项D不正确；故选C．

【解析】1、函数的单调性与奇偶性；2、指数函数与对数函数； 3函数的图象．

6．函数 的图像大致为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】判断函数的奇偶性和对称性，当时，，利用排除法进行判断即可．

【详解】解：，即是奇函数，图象关于原点对称，排除，，

当时，，排除，

故选：．

7．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为.2021年6月22日下午甲市发生里氏3.1级地震，2020年9月2日乙市发生里氏4.3级地震，则乙市地震所散发出来的能量与甲市地震所散发出来的能量的比值为（    ）

A．2 B．10 C．100 D．10000

【答案】C

【分析】根据对数运算结合题意运算求解.

【详解】设乙市地震所散发出来的能量为，甲市地震所散发出来的能量为，

则，，两式作差得，

故，则.

故选：C.

8．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用对数性质比较的大小关系，即得的关系.

【详解】由对数运算公式得，，，

，易知，即，

故.

故选：A.

9．已知f（.x）为定义在R上的奇函数。当x>0时，，设方程f（x）-m=0有四个互不相等的实根，则实数m的取值范围是（       ）

A．[-1，0）（0，1] B．（-1，1）

C．（-4，0）（0，4） D．（-1，0）（0，1）

【答案】D

【分析】方程有4个互不相等的实根可得函数与直线有4个交点，结合图像即可得出结果.

【详解】作出分段函数的图像，如图

方程有4个互不相等的实根，则函数与直线有4个交点，

当时，符合题意，但是R上的奇函数，有，故，

所以m的取值范围是：.

故选：D

10．已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】由奇函数是定义在上的单调函数，，可得，即，所以，化简后利用基本不等式可求得结果

【详解】解：因为，所以，

因为奇函数是定义在上的单调函数，

所以，

所以，即，

所以，即，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值是.

故选：B

11．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先将化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较、、三个数的大小关系，再由函数在区间上的单调性并结合偶函数的性质可得出、、的大小关系.

【详解】，，

即，

由于函数是偶函数，在区间上单调递增，所以在上单调递减，

由于函数为偶函数，则，即，

故选：A.

【点睛】本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，属于中等题.关键是转化为上的单调性再比较.

12．悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形.在工程中有广泛的应用，例如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到了悬链线的原理.当微积分尚未出现的伽利略时期，伽利略猜测这种形状是抛物线.直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是，其中为有关参数.这样，数学上又多了一对与e有关的著名函数——双曲函数：双曲正弦函数和双曲余弦函数.关于双曲函数，下列结论不正确的是（    ）

A．，

B．，

C．

D．

【答案】D

【分析】利用新定义分别求出即可判断A；

利用函数的单调性和奇偶性即可判断B；

对因式分解即可判断C；

利用多项式的乘法法则和同底数幂的乘法法则即可判断D.

【详解】A项，，，正确；

B项，因为函数为增函数，所以，在上递增，又，所以，即，正确；

C项，，正确；

D项，，错误.

故选：D.

二、填空题

13．已知，则a，b，c从小到大的关系是___________.

【答案】

【分析】由题可得，，，且，分别作出函数，，和的图象，数形结合可得结果.

【详解】由，

可得，，，且，

分别作出函数，，和的图象，如图，

由图可知：.

故答案为：

14．已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据分段函数为单调递减函数列出不等式组解即可.

【详解】由题意，函数对任意的，都有成立，

即函数为R上的减函数，

可得，解得.

故答案为：.

15．已知函数在区间上的最小值为，则a的值为___________.

【答案】

【分析】根据二次函数的性质，求出二次函数的对称轴，然后分三种情况讨论：，和，由二次函数的单调性找出最小值即可求解．

【详解】函数的对称轴

当时，函数在区间上单调递增，，成立；

当时，函数在内单调递减，在内单调递增，

，解得（舍去）或，所以；

当时，在区间上单调递减，，解得，不成立.

综上可知，.

故答案为：

16．已知函数的周期为2,当时,那么函数的图象与函数的图象的交点共有__________

【答案】10

【详解】依题意可得和的图象如下：

因为，所以由图可知总共有10个交点

三、解答题

17．已知函数， 且.

（1）证明在上单调递增；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由已知条件求得，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，由此可证得结论成立；

（2）分析可知在上恒成立，利用（1）中的结论求出函数在上的最小值，由此可得实数的取值范围.

【详解】（1）由已知可得，解得，所以，，

任取、且，

则

，

因为，则，，

所以，即，则在上单调递增；

（2）若不等式在上恒成立，所以在上恒成立，

由（1）知在上单调递增，所以，

所以.

18．设命题，；命题关于的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零；命题的解集．

（1）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）分别求出当命题为真命题时实数的取值范围，以及当命题为真命题时实数的取值范围，由已知条件可得、一真一假，然后分真假和假真两种情况讨论，综合可得出实数的取值范围；

（2）解不等式，根据已知条件可出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）若命题为真命题，即，，则，解得或.

若命题为真命题，即关于的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零，

则，可得.

因为为真命题，为假命题，则、一真一假.

若真假，则，可得；

若假真，则，可得.

综上所述，实数的取值范围是；

（2）对于命题，，由，可得，

可得或，解得或.

因为是的必要不充分条件，则，

所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.

【点睛】结论点睛：本题考查利用必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则求解：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含．

19．若函数的定义域为，满足，，且在区间上，只有和两个零点，

（1）若，求和的值；

（2）试判断函数的奇偶性，并说明理由；

（3）试求函数在闭区间上的零点个数，并说明理由．

【答案】（1）=2，=-2；（2）奇函数，理由见解析；（3）1011个，理由见解析.

【分析】（1）由题设条件和，可得和，即可求解；

（2）利用函数的奇偶性的定义，即可得到函数为奇函数；

（3）根据题意得到函数是以8为周期的周期函数， 由在区间上，只有和两个零点，得到在内无零点，进而求得函数在闭区间上的个零点.

【详解】（1）由题意，函数满足，，

且，可得，

.

（2）函数为奇函数，

证明如下：

由函数的定义域为，关于原点对称，

任取，则，

可得，

即，所以函数为奇函数.

（3）由，可得

因此函数是以8为周期的周期函数，

因为函数在区间上，只有和两个零点，

所以在内无零点，否则内有其他零点与题目矛盾，

因为函数是奇函数，

所以函数在闭区间上共有个零点.

20．已知函数.

(1)判断的单调性；

(2)若的图象与x轴有两个交点，求实数b的取值范围.

【答案】(1)在区间，上单调递减，在区间，上单调递增

(2)

【分析】（1）分类讨论去绝对值得，先判断每部分的单调性，再取总体的单调性；（2）根据题意结合单调性可得或，运算求解.

【详解】(1)由题意可得：

当时，，

因为图象的对称轴为直线，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.

当时，，

因为图象的对称轴为直线，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.

综上所述，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增.

(2)由题意知：，.

因为的图象与x轴有两个交点，所以或.

即或，得或，

所以实数b的取值范围是.

21．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.

(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

(2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?

【答案】(1)；

(2)0.60元/kw·h.

【分析】(1)根据给定条件列出下调电价后年用电量的表达式，再列出收益函数关系即可作答.

(2)由(1)的结论结合给定的条件列出不等式组，求解即可作答.

【详解】(1)设下调后的电价为x元/kw·h，依题意知，用电量增至()kw·h，

电力部门的收益为：，

所以电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式是：.

(2)依题意，，化简整理得：，

解此不等式组得：，

所以当电价最低定为0.60元/kw·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.

22．已知定义域为的函数是奇函数，且指数函数的图象过点．

（Ⅰ）求的表达式；

（Ⅱ）若方程，恰有个互异的实数根，求实数的取值集合；

（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【分析】（Ⅰ）先利用已知条件得到的值，再利用奇函数得到，进而得到的值，经检验即可得出结果；（Ⅱ）先利用指数函数的单调性判断的单调性，再利用奇偶性和单调性得到，把在恰有个互异的实数根转化为在恰与轴有两个交点，求解即可；（Ⅲ）先利用函数为上的减函数且为奇函数，得到，把问题转化为对任意的恒成立，令，利用二次函数的图像特点求解即可.

【详解】（Ⅰ）由指数函数的图象过点，

得，

所以，

又为上的奇函数，

所以，

得，

经检验，当时，符合，

所以；

（Ⅱ），

因为在定义域内单调递增，

则在定义域内单调递减，

所以在定义域内单调递增减，

由于为上的奇函数，

所以由，

可得，

则在恰有个互异的实数根，

即在恰与轴有两个交点，

则，

所以实数的取值集合为.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数为上的减函数且为奇函数，

由，

得，

所以，

即对任意的恒成立，

令，

由题意，

得，

所以实数的取值范围为：.

【点睛】关键点睛：利用函数的奇偶性求解析式，（Ⅱ）把问题转化为在恰与轴有两个交点的问题；（Ⅲ）把问题转化为对任意的恒成立是解决本题的关键.