2023届甘肃省张掖市重点校高三上学期第九次检测数学（文）试题含解析

2023届甘肃省张掖市重点校高三上学期第九次检测数学（文）试题

一、单选题

1．设i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】先化简复数，再利用复数的相关概念求解.

【详解】复数，

因为复数是纯虚数，

所以，解得，

故选：C

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的值域得集合M，解不等式得集合N，再利用交集的定义求解作答.

【详解】函数的值域是，即，解不等式得，即，

所以.

故选：A

3．已知向量与的夹角为，则（    ）

A．6 B． C．3 D．

【答案】A

【分析】由数量积公式结合得出答案.

【详解】解：因为向量与的夹角为，

所以

所以

故选：A

4．已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）

A． B． C．6061 D．6065

【答案】B

【分析】根据等差数列的前n项和公式及通项公式，列出方程组求出公差，从而即可求解.

【详解】解：设等差数列的公差为d，根据已知可得，

解得，

所以.

故选：B.

5．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画

出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是

A．36 B．40 C．48 D．50

【答案】C

【详解】

解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375．

6．数列满足，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据数列的递推公式代入计算，计算出，即可得答案.

【详解】由，，所以，，.

故选：B

7．已知是奇函数，当时，，若，则(    )

A． B． C．2 D．1

【答案】C

【分析】根据f(x)是奇函数求出f(4)＝－f(－4)，根据x＞0时f(x)的解析式即可求a的值．

【详解】由题可知，

∴．

故选：C．

8．已知l、m、n为空间中的三条直线，为平面．现有以下三个命题：①若l、m、n两两相交，则l、m、n共面；②若，，则；③若，，则．其中的真命题是（    ）

A．①②③ B．①③ C．①② D．③

【答案】D

【分析】由直线与直线、直线与平面的位置关系判断即可.

【详解】对于①：当l、m、n两两垂直且相交于一点时，l、m、n不共面；

对于②：若，，则与平行或异面；

对于③：由线面垂直的性质可知，③正确；

即③为真命题

故选：D

9．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f（x）的解析式，再利用y=的图象变换规律，得出结论．

【详解】由函数f（x）=的部分图象，

可得A=2，∵，∴T=π，ω=2，f（x）=2sin（2x+φ），

将代入得，∵﹣π＜φ＜0，

∴．

故可将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到的图象，即为的图象，

故选B．

【点睛】由的图象变换出 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.

10．已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到关系，然后得到关系，再求解双曲线的离心率．

【详解】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：，

圆的圆心，半径为，

因为双曲线的一条渐近线与圆相切，

所以，，整理得，

因为由，

所以

所以.

故选：C.

11．已知定义在上的函数对任意的都满足，当时，若函数恰有6个不同零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，得到与恰有6个不同的交点，再由题意，得到的周期，在同一坐标系下画出函数和的图象，分别讨论和两种情况，结合图形，即可得出结果.

【详解】由条件可知函数恰有6个不同的零点，

转化为与恰有6个不同的交点，

，的周期，

且时，，是偶函数，图象关于轴对称，

如图，在同一坐标系下画出函数和的图象，

①当时，的图象如图所示，

轴左侧有4个交点，右侧有2个交点，

此时应满足，解得；

②当时，与在轴左侧有2个交点，

右侧有4个交点，

此时应满足，解得：；

综上可知，的取值范围是.

【点睛】本题主要考查由函数零点个数求参数，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型.

二、多选题

12．热搜是指网站从搜索引擎带来最多流量的几个或者是几十个关键词及其内容，热搜分为短期热搜关键词和长期热搜关键词两类.“搜索指数”是网友通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.如图是年月到年月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图（纵轴单位：人次）.

根据该走势图，下列结论不正确的是（    ）

A．网友对该关键词相关的信息关注度不断减弱

B．网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化，有规律可循

C．年月份的方差小于年月份的方差

D．年月份的平均值大于年月份的平均值

【答案】ABC

【分析】根据走势图依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，走势图存在上下波动的情况，故关注度并非不断减弱，A错误；

对于B，走势图变化趋势并没有呈现出周期性，B错误；

对于C，走势图中，年月份的波动程度超过年月份的波动程度，故月份的方差大于月份的方差，C错误；

对于D，走势图中，年月份的数值明显高于年月份的数值，故年月份的平均值大于年月份的平均值，D正确.

故选：ABC.

三、填空题

13．若满足约束条件则的最小值是_______．

【答案】；

【分析】画出可行域和目标函数，根据图像得到答案.

【详解】画出可行域和目标函数，如图所示：

，则，表示直线在轴的截距，

根据图像知：当时，目标函数有最小值为.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

14．已知，且，则的值为__________.

【答案】

【分析】结合条件和平方关系求出平方的值，再判断其正负，开方即得.

【详解】因为，所以，

又，所以，所以，

故答案为：.

15．已知等差数列的前项和为，若，则__________.

【答案】63

【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式化简条件，根据等差数列前项和公式结合等差数列性质可求.

【详解】等差数列的首项为，公差为

所以，，

所以，

所以，即，

所以..

故答案为：63.

16．已知四棱锥的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，，点E在棱PB上，且，过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是___________.

【答案】

【分析】将四棱锥补形为长方体，再根据长方体里面的三角形关系求得，再根据当OE⊥截面时，截面积最小求解即可

【详解】如图，将四棱锥补形为长方体，易知该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，∵PC为长方体的体对角线，∴球心O在PC的中点上，∴外接球半径，设平面为过E的球O的截面，则当OE⊥平面时，截面积最小，由图可知，设截面半径为r，则，所以截面圆的面积为，即所得截面面积的最小值为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了球的截面问题，重要思路是当OE⊥截面时，截面积最小，同时也考查了立体几何中的线段求解，需要利用直角三角形求解，属于中档题

四、解答题

17．在中，内角的对边分别为．若．

(1)求角的大小；

(2)设是的中点，且，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合和正弦和角公式得，进而求得答案；

（2）根据题意得，进而得，解方程得，再求面积即可.

【详解】(1)解：因为，

所以，由正弦定理边角互化得，

因为，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以，

(2)解：因为是的中点，

所以，，

所以，，

因为，

所以，，即，解得，（舍），

所以，.

18．在①，②是和的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

问题：已知公差d不为0的等差数列的前n项和为，．

(1)______，求数列的通项公式；

(2)若数列，，求数列的前n项和．

【答案】(1)答案见详解；

(2)

【分析】（1）选①根据等差数列求和公式化简求出公差，即可求通项；选②根据等比中项公式化简求出公差，从而求出通项；

（2）利用分组求和法即可求解结果．

【详解】(1)选①：由于，

所以，又，所以，故

所以；

选②：是和的等比中项，则，

所以，又，解得，（舍去）

所以；

(2)，，则

19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点.

（1）若，求证：平面；

（2）若平面平面，且，点在线段上，且，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由等腰三角形和菱形的性质可得，，再由线面垂直的判定定理可得证；

（2）由面面垂直的性质可证得平面，再由线面垂直的判定可得平面，根据等体积法可得答案.

【详解】（1）证明：∵，∴，

又∵底面为菱形，，

连结，则为正三角形，∴，       

又，平面，                

∴平面；              

（2）解：∵平面平面，平面平面， ，∴平面，

∵平面，∴，             

又，，∴平面，又，

∴.

【点睛】本题考查空间中的线面、面面垂直的性质和判定，以及等体积法的运用求三棱锥的体积，属于中档题.

20．某公司通过甲､乙两个团队销售一种产品，并在销售的过程中对该产品的单价进行调整．现将两个团近100天的日均销售情况统计如下表所示：

(1)是否有的把握认为产品的日均销售量是否超过3000件与团队的选择有关；

(2)现对近5个月的月销售单价，和月销售量的数据进行了统计，得到如下数表，求关于的回归直线方程．

(3)对日均销售量的多少，利用分层抽样的方法随机抽取5天调查，再从这5天中抽取2天进行分析销售情况，求抽取的2天中日均销售量均超过3000件的概率．

参考公式：回归直线方程，其中参考公式数据：

【答案】(1)有

(2)；

(3)．

【分析】（1）根据列联表，计算的值，结合附表，即可得到结论；

（2）根据表格中的熟记，分别求得，利用公式求得，即可得到回归直线方程.

（3）根据分层抽样得日均销售量超过3000的有天，日均销售量不超过3000的有天，再根据古典概率列举求解即可.

【详解】(1)解：依题意，

所以，有的把握认为产品的日均销售量是否超过件与团队的选择有关.

(2)解：因为，，

所以，

，

所以，关于的回归直线方程为.

(3)解：由表中数据可知，甲乙两个团队日均销售量超过3000件的有80天，不超过3000件的有120天，

所以，根据分层抽样的方法，抽取的5天中，日均销售量超过3000的有天，分别记为；日均销售量不超过3000的有天，分别记为，

所以，从这5天中抽取2天，可能的情况有：，共10种，

其中抽取的2天中日均销售量均超过3000件的只有一种情况，

所以，抽取的2天中日均销售量均超过3000件的概率为

21．已知函数，为自然对数的底数．

(1)求在处的切线方程；

(2)当时，，求实数a的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可，

（2）由题意得，当时，上式成立，当时，，构造函数，利用导数求出其最小值即可

【详解】(1)由，得，则

，，

所以在处的切线方程为，

(2)由，得，

即，

当时，上式成立，

当时，由，得，

令，

则，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以当时，，

所以，

所以实数a的最大值为

22．在直角坐标系中，直线的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)直线与曲线交于两点，点，求的值.

【答案】(1)直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；

(2).

【分析】（1）由参数方程消去参数可得直线的普通方程，由，，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程，代入圆的普通方程整理，根据参数的几何意义，把整理为，利用韦达定理代入数据整理可得答案.

【详解】(1)将直线的参数方程消去参数得，

所以直线的普通方程为，

因为曲线的极坐标方程是，又，，，所以曲线的直角坐标方程为；

(2)将直线的参数方程（t为参数），代入曲线的直角坐标方程中，并整理得，

设两点对应的参数分别为，由韦达定理得，，

.