四川省成都市武侯实验中学2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题(含答案)

这是一份四川省成都市武侯实验中学2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省成都市武侯实验中学2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（共32分）
1．如图所示，几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
2．若四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝4cm，c＝2cm，d＝8cm，则线段a的长为（　　）
A．1cm B．4cm C．8cm D．16cm
3．一个袋子中装有12个球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．其活动小组想估计袋子中红球的个数，分10个组进行摸球试验，每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为3000次．请你估计袋中红球接近（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
4．根据下表：
x
﹣3
﹣2
﹣1
…
4
5
6
x2﹣bx﹣5
13
5
﹣1
…
﹣1
5
13
确定方程x2﹣bx﹣5＝0的解的取值范围是（　　）
A．﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5 B．﹣2＜x＜﹣1或5＜x＜6
C．﹣3＜x＜﹣2或5＜x＜6 D．﹣3＜x＜﹣2或4＜x＜5
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，1）与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°），那么cosα的值是（　　）
A．3 B． C． D．
6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程得（　　）
A．2（x+1）＝121 B．x+x（1+x）＝121
C．1+x+x（1+x）＝121 D．1+（1+x）2＝121

7．如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△CFG：S△DEG等于（　　）

A．9：4 B．2：3 C．4：9 D．3：2
8．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，以下4个结论，其中正确结论的是（　　）

A．abc＞0 B．4a+2b+c＝0
C．a+b＞m（am+b） D．（a+c）2＜b2
二、填空题（共40分）
9．已知二次函数y＝3（x﹣3）（x+2），则该函数对称轴为直线 　 　．
10．若关于x的二次方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　．
11．若点A（x1，13），B（x2，﹣3），C（x3，11）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是 　 　．
12．如图所示，已知∠ABC＝∠ADB，点D是AC的中点，CD＝1，则AB的长为 　 　．




13．如图，OC平分∠AOB，P是边OA上一点，以点P为圆心、大于点P到OB的距离为半径作弧，交OB于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点D．作直线PD分别交OC、OB于点G、Q．若sin∠AOB＝，OP＝4，则△OPG的面积为 　 　．

14．已知一次函数y＝x﹣2的图象与反比例函数y＝的图象相交于点P（a，b），则的值是 　 　．
15．如图，是一块三角形纸板，其中AD＝2DF，BE＝2ED，CF＝2FE，一只蚂蚁在这张纸上自由爬行，则蚂蚁踩到阴影部分的概率为 　 　．

16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，将四边形EFCD沿EF折叠得四边形EFC'D'，点D′在AB上，若四边形EFCD的面积为24，则AD'的长度为 　 　．



17．如图点A，B在反比例函数y＝上，连接AB分别交x，y轴于点D、点C，将△DOA沿OA翻折点D刚好落在y轴上的点F处，AF与x轴交于点E，已知，S△DOB＝2，则k＝　 　．

18．定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．
如图，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，△ABC有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A'C所在直线交l2于点D，则CD＝　 　．

三、解答题（共78分）
19．（1）计算：﹣||+tan60°；
（2）解方程：（x﹣1）2＝2x（x﹣1）．
20．随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为　 　；
（2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
21．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD．东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD．EG＝15里，HG经过点A，则FH等于多少里？

22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为BC的中点，EF⊥CD于点F，点G为CD上一点，连接OG，OE，且OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若AC＝10，BD＝6，∠ABD＝45°，求矩形OEFG的面积．

23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B坐标为（0，m）（m＞0），点A在x轴正半轴上，直线AB经过点A，B，且tan∠ABO＝．
（1）若m＝4，求直线AB的表达式；
（2）反比例函数y＝的图象与直线AB交于第一象限的C、D两点（BD＜BC），当AD＝2DB时，求k1的值（用含m的式子表示）；
（3）在（1）的条件下，设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数y＝的图象于点F．分别连接OE、OF，当△OEF与△OBE相似时，请直接写出满足条件的k2值．

24．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：
[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）]
销售单价x（元）
75
78
82
日销售量y（件）
150
120
80
日销售利润w（元）
5250
a
3360
（1）根据以上信息，求y关于x的函数关系式．
（2）①填空：该产品的成本单价是 　 　元，表中a的值是 　 　．
②求该商品日销售利润的最大值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x+3交抛物线于A、D两点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，连接AP、DP、BD，设点P的横坐标为t，若S△APD＝S△ABD，求t的值．
（3）在（2）的条件下，若点P在第三象限，作直线PC，点E为y轴左侧抛物线上一点，过点作EF⊥PC于F，将△EFC绕点C顺时针旋转a，且tana＝，若点E的对应点E'刚好落在坐标轴上，求点E的坐标．


26．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，tan∠BAC＝2．点E在射线BC上．连接DE，DE绕点D顺时针旋转，旋转后得到的线段所在的直线与直线AC交于点F，旋转角∠EDF＝∠BAC．射线DE与直线AC交于点P．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：FD2＝FC⋅FP．
（2）当点E在射线BC上，若CE＝2时，求线段DF的长．
（3）如图2，连接EF，当EF垂直于菱形任意一边时，求线段EF的长．


参考答案
一、选择题（共32分）
1．解：这个几何体的俯视图为：
故选：D．

2．解：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴，
∵b＝4cm，c＝2cm，d＝8cm，
∴，
解得：a＝1．
故选：A．
3．解：由题意知，红球的概率为：＝，
∴红球的个数为：12×＝9，
故选：D．
4．解：由表格得：x＝﹣2时，x2﹣bx﹣5＝5，x＝﹣1时，x2﹣bx﹣5＝﹣1；
x＝4时，x2﹣bx﹣5＝﹣1，x＝5时，x2﹣bx﹣5＝5，
可得方程x2﹣bx﹣5＝0的解取值范围是﹣2＜x＜﹣1或4＜x＜5．
故选：A．
5．解：如图过P点作PA⊥x轴于A，

则∠POA＝α，
∵点P的坐标为（3，1），
∴OA＝3，PA＝1，OP＝
∴cosα＝＝，
故选：C．
6．解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x个人被传染，第二轮传染中有x（1+x）个人被传染，
又∵有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，
∴可列出方程1+x+x（1+x）＝121．
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC，
∴CF＝AD，
∵AE∥CF，
∴∠E＝∠GCF，∠EDG＝∠C，
∴△EDG∽△FCG，
∵DE：AD＝1：3，
∴DE＝AD，
∴S△CFG：S△DEG＝（）2＝（）2＝（）2＝，
故选：A．
8．解：由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故A错误；
∵x＝0时，y＞0，
∴由对称知，当x＝2时，函数值大于0，
即y＝4a+2b+c＞0，故B错误；
∵当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≥am2+bm+c，
故a+b≥am2+bm，即a+b≥m（am+b），故C错误；
由图象知，当x＝﹣1时，y＜0，当x＝1时，y＞0，
∴a﹣b+c＜0，a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，
∴（a+c）2＜b2，故D正确．
故选：D．
二、填空题（共40分）
9．解：∵二次函数y＝3（x﹣3）（x+2）与抛物线的交点坐标为（﹣2，0），（3，0），
∴对称轴为直线x＝＝，
故答案为：x＝．
10．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得m＞且m≠1．
故答案为：m＞且m≠1．
11．解：∵反比例函数y＝﹣中，﹣（k2+1）＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵﹣3＜0＜11＜13，
∴A、C两点在第二象限，B点在第四象限，
∴x3＜x1＜x2．
故答案为：x3＜x1＜x2．
12．解：∵∠ABC＝∠ADB，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB，
∴，
∴AB2＝AD•AC＝1×2＝2，
∵AB＞0，
∴AB＝，
故答案为：．
13．解：由作法得PD⊥OB于Q，
∴∠PQO＝90°，
∵sin∠AOB＝，
∴∠AOB＝60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠GOQ＝∠AOB＝×60°＝30°，
在Rt△POQ中，OQ＝OP＝2，
在Rt△GOQ中，
∴GQ＝OQ＝2，
∵OC平分∠AOB，
∴点G到OP边的距离＝GQ＝2，
∴S△OPG＝×OP×GQ＝×4×2＝4，
故答案为：4．
14．解：将P点坐标分别代入一次函数和反比例函数得，
b＝a﹣2，b＝，
∴2b﹣a＝﹣4，ab＝3，
∴＝．
故答案为：﹣．
15．解：设S△DEF＝1，连接BF．
∵AD＝2DF，BE＝2ED，CF＝2FE，
∴S△ADE＝2S△DEF＝2，S△BEF＝2S△DEF＝2，S△CDF＝2S△DEF＝2，
∴S△ABE＝2S△ADE＝4，S△BCF＝2S△BEF＝4，S△ACD＝2S△CDF＝4，
∴S△ABC＝1+2×3+4×3＝19，
∴阴影部分的三角形的面积是△ABC的，
∴蚂蚁踩到阴影部分的概率为．
故答案为：．

16．解：如图，连接DF，D'F，

∵四边形EFCD的面积为24，
∴×6×（DE+CF）＝24，
∴DE+CF＝8，
设DE＝x，AD'＝y，则CF＝8﹣x，D'B＝6﹣y，
∴BF＝9﹣（8﹣x）＝1+x，AE＝9﹣x，
∵将四边形EFCD沿EF折叠得四边形EFC'D'，
∴DF'＝DF，D'E＝DE＝x，
∵D'F2＝BF2+D'B2，D'E2＝AE2+D'A2，
∴36+（8﹣x）2＝（x+1）2+（6﹣y）2，x2＝y2+（9﹣x）2，
解得：y＝3，x＝5，
∴AD'＝3，
故答案为：3．
17．解：过点B作BM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，
∵将△DOA沿OA翻折点D刚好落在y轴上的点F处，
∴△AOD≌△AOF（轴对称的性质）．
∴∠AOD＝∠AOF，OD＝OF．
∵∠DOC＝∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠AOC＝45°．
∵AN⊥OE，
∴ON＝AN．
设ON＝AN＝n，则A（n，﹣n）．
∵A在y＝上，
∴y＝﹣．
∵，
∴OF＝OD＝2n．
∵OC⊥OE，AN⊥OE，
∴△DOC∽△DNA．
∴＝．
∴OC＝n．
∵BM∥OC，
∴△BMD∽△COD．
∴＝．
∵S△DOB＝2，
∴×OD×MB＝2．
∴MB＝．
∴．
∴MD＝．
∴OM＝OD+MD＝2n+．
∴B（﹣2n﹣，）．
∵B在双曲线y＝﹣上，
∴（﹣2n﹣）＝﹣n2．
解得：n2＝6或n2＝﹣2（舍去）．
∴k＝﹣n2＝﹣6．
故答案为：﹣6．

18．解：①当AB＝BC时，
Ⅰ．如图1，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，

∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，AB＝BC，
∴BC＝AE＝2，AB＝2，
∴BE＝2，即EC＝4，
∴AC＝2，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴∠DCF＝45°，
设DF＝CF＝x，
∵l1∥l2，
∴∠ACE＝∠DAF，
∴＝，即AF＝2x，
∴AC＝3x＝2，
∴x＝，CD＝x＝．
Ⅱ．如图4，此时△ABC等腰直角三角形，

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AC＝2．
②当AC＝BC时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴A'C⊥l1，
∴CD＝AB＝BC＝2；
Ⅱ．如图6，作AE⊥BC于E，则AE＝BC，

∴AC＝BC＝AE，
∴∠ACE＝45°，
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A'B'C时，点A'在直线l1上，
∴A'C∥l2，即直线A'C与l2无交点，
综上所述，CD的值为或2或2．
三、解答题（共78分）
19．解：（1）原式＝1+9+﹣2+
＝8+2；
（2）（x﹣1）2＝2x（x﹣1），
（x﹣1）2﹣2x（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣1﹣2x）＝0，
x﹣1＝0或x﹣1﹣2x＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣1．
20．解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝＝．
21．解：∵四边形ABCD是矩形，EG⊥AB，FH⊥AD，
∴∠HFA＝∠DAB＝∠AEG＝90°，
∴FA∥EG．
∴∠HAF＝∠G．
∴△HFA∽△AEG，
∴＝，即＝，
解得FH＝1.05．
答：FH等于1.05里．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵点E为BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
又∵EF⊥CD，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OB＝OD＝3，
∴∠ODG＝∠ABD＝45°，
由（1）可知，四边形OEFG为矩形，
∴∠OGF＝90°，
∴∠OGD＝90°，
∴△ODG是等腰直角三角形，
∴DG＝OG，
∵OD2＝OG2+DG2，
∴DG＝OG＝3，
∵GC2+GO2＝OC2，
GC2+9＝25，
∴GC＝4，
∴DC＝DG+GC＝3+4＝7，
∴OE＝＝，
∴S矩形OEFG＝OG•OE＝3×＝，
故答案为：．

23．解：（1）∵m＝4，
∴B（0，4），
∵tan∠ABO＝，
∴OB＝4，OA＝2，A（2，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
代入A（2，0）、B（0，4）得：，
解得：b＝4，k＝﹣2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4；
（2）如图1，∵点B坐标为（0，m），
∴OB＝m，
∵tan∠BAO＝2．
∴OA＝m，
∵AD＝2DB，
∴＝，
作DE∥OA，
∴＝＝，
∴DE＝OA＝m，
∴D的横坐标为m，
∴BE＝2DE＝m，
∴OE＝OB﹣BE＝m，
∴D（m，m），
∴k1＝m×m＝m2；
（3）如图2，∵A（2，0），B（0，4），
∴E（1，2），AB＝＝2，
∵OE是Rt△OAB斜边上的中线，
∴OE＝AB＝，BE＝，
∵EM⊥x轴，
∴F的横坐标为1，
当△OEF∽△OBE，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝，
∴FM＝2﹣＝，
∴F（1，），
∴k2＝1×＝，
如图3，当△OEF∽△EOB时，
∴＝，
∴EF＝OB＝4，
∴F（1，﹣2），
∴k2＝﹣2×1＝﹣2．
综上所述，满足条件的k2值为或﹣2．

24．解：（1）设y＝kx+b，把（75，150），（78，120）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣10x+900；
（2）①设该产品的成本单价是n元，
根据题意，得5250＝150×（75﹣n），
解得n＝40，
a＝120×（78﹣40）＝4560，
故答案为：40，4560；
②根据题意，得w＝（x﹣40）（﹣10x+900）＝﹣10x2+1300x﹣36000＝﹣10（x﹣65）2+6250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝65时，w最大，最大值为6250，
答：该商品日销售利润的最大值为6250元．
25．解：（1）直线y＝x+3与x轴的交点A（﹣3，0），
将点A代入y＝x2+bx﹣3，
∴9﹣3b﹣3＝0，
解得b＝2，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴B（1，0），
当x2+2x﹣3＝x+3时，解得x＝2或x＝﹣3，
∴D（2，5）
∴S△ABD＝4×5＝10，
∵S△APD＝S△ABD，
∴S△APD＝10，
过点P作PG∥y轴交AD于点G，
∵点P的横坐标为t，
∴P（t，t2+2t﹣3），G（t，t+3），
∴PG＝|t2+2t﹣3﹣t﹣3|＝|t2+t﹣6|，
∴|t2+t﹣6|×5＝10，
解得t＝﹣2或t＝1（舍）或t＝或t＝，
∴t的值为﹣2或或；
（3）∵P点在第三象限，
∴P（﹣2，﹣3），
∴CP∥x轴，
设E（m，m2+2m﹣3），则F（m，﹣3），
∴EF＝m2+2m，FC＝﹣m，
当E'点在x轴上时，过点F'作MN⊥x轴交于点M，交CF于点N，
∵∠FCF'＝α，∠E'F'C＝90°，
∴∠MF'E'＝α，
∵tana＝，
∴MF'＝E'F'，NF'＝CF'，
∴（m2+2m）+（﹣m）＝3，
解得m＝或m＝（舍）；
∴E（，）；
当E'在y轴上时，过点E作EK⊥y轴交于点K，
由旋转可知∠ECE'＝α，
∴＝，
∴＝，
解得m＝﹣或m＝0（舍），
∴E（﹣，）；
综上所述：E点坐标为（，）或（﹣，）．


26．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠ACD，
∵∠DFP＝∠DAC，
∴△FDP∽△FCD，
∴，
∴FD2＝FC⋅FP；
（2）解：如图1，

当点E在BC上时，
连接BD，作DG⊥BC，交BC的延长线于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠DBG，
∵tan∠BAC＝2，
∴sin∠ABD＝，cos∠ABD＝，
∴OA＝4•sin∠ABD＝4×＝4，BO＝4×＝8，
∴BD＝2BO＝16，
∴DG＝BD•sin∠DBG＝16×＝，
BG＝BD•cos∠DBG＝，
∴EG＝BG﹣BE＝﹣2＝，
∵∠EDF＝∠BAC＝∠ACB，
∴点F、E、C、D共圆，
∴∠DFC＝∠DEC，
∵∠DOF＝∠DGE＝90°，
∴△DOF∽△DGE，
∴，
∴，
∴OF＝11，
∴DF＝＝＝，
如图2，

当点E在BC的延长线上时，
由上可知，
△DOF∽DGE，
∵EG＝BG﹣BE＝﹣6＝，
∴＝，
∴OF＝1，
∴DF＝＝，
综上所述：DF＝或；
（3）解：如图3，

当EF⊥BC时，
∴∠FEC＝90°，
∴∠FEP+∠PEC＝90°，
由上知，
点F、E、C、D共圆，
∴∠FED＝∠ACD，∠FDE＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ACD，
∴∠FED＝∠ACB，
∵∠ACB+∠PEC＝90°，
∴∠EPC＝90°，
∴ED⊥AC，
∵DB⊥AC，
∴点E和B重合，
∵BF＝BC•tan∠ACB＝4tan∠BAC＝8，
∴DF＝BF＝8，
如图4，

当EF⊥CD时，
由上可知，
DF＝EF，tan∠DCG＝＝＝，
设OE＝4x，OC＝3x，
∵tan∠DEO＝tan∠ACD＝tan∠BAC＝2，
∴OD＝2OE＝8x，
由OD+OC＝CD得，
8x+3x＝4，
∴x＝，
∴OE＝，OD＝，
设DF＝EF＝a，
∴OF＝EF﹣OE＝a﹣，
由DF2﹣OF2＝OD2得，
a2﹣（a﹣）2＝（）2，
∴a＝，
∴EF＝，
综上所述：EF＝8或．