高中物理人教版 (2019)必修 第二册1 圆周运动导学案

7．生活中的圆周运动

[学习目标]　1.知道具体问题中的向心力来源．(难点)　2.掌握分析、处理生产和生活中实例的方法．(重点、难点)　3.掌握物体在变速圆周运动中特殊点的向心力、向心加速度的求法．(重点、难点)

一、铁路的弯道

1．火车在弯道上的运动特点

火车在弯道上运动时实际上在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力．

2．向心力的来源

(1)若转弯时内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样，铁轨和车轮极易受损．

(2)若内外轨有高度差，依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力提供．

二、拱形桥

凸形桥和凹形桥的比较

三、航天器中的失重现象和离心运动

1．航天器在近地轨道的运动

(1)对航天器，在近地轨道可认为地球的万有引力等于其重力，重力充当向心力，满足的关系为Mg＝.

(2)对航天员，由重力和座椅的支持力提供向心力，满足的关系为mg－FN＝，由以上两式可得FN＝0，航天员处于完全失重状态，对座椅压力为零．

(3)航天器内的任何物体之间均没有压力．

2．对失重现象的认识

航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受地球引力．正因为受到地球引力的作用，才使航天器连同其中的乘员做匀速圆周运动．

3．离心运动

(1)定义：物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动．

(2)原因：向心力突然消失或外力不足以提供所需向心力．

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小． (×)

(2)火车转弯时的向心力是车轨与车轮间的挤压提供的． (×)

(3)汽车驶过凹形桥低点时，对桥的压力一定大于重力． (√)

(4)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员及所有物体均处于完全失重状态． (√)

(5)做离心运动的物体沿半径方向远离圆心． (×)

2．关于离心运动，下列说法不正确的是(　　)

A．做匀速圆周运动的物体，向心力的数值发生变化可能将做离心运动

B．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力突然变大时将做近心运动

C．物体不受外力，可能做匀速圆周运动

D．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的力消失或变小将做离心运动

C　[当合力大于需要的向心力时，物体要做向心运动，合力小于所需要的向心力时，物体要做离心运动，所以向心力的数值发生变化也可能做向心运动或离心运动，故A、B正确；物体不受外力时，将处于平衡状态，处于匀速或静止状态，不可能做匀速圆周运动，故C错误；做匀速圆周运动的物体，在外界提供的力消失或变小时物体就要远离圆心，此时物体做的就是离心运动，故D正确．]

3.如图所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是(　　)

A．f甲小于f乙

B．f甲等于f乙

C．f甲大于f乙

D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关

A　[汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即f＝F向＝m，由于r甲＞r乙，则f甲＜f乙，选项A正确．]

1．转弯轨道特点

(1)火车转弯时重心高度不变，轨道是圆弧，轨道圆面在水平面内．

(2)转弯轨道外高内低，这样设计是使火车受到的支持力向内侧发生倾斜，以提供做圆周运动的向心力．

2．转弯轨道受力与火车速度的关系

(1)若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力充当向心力，则mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈)，v0为转弯处的规定速度．

此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用．

(2)若火车行驶速度v0＞，外轨对轮缘有侧压力．

(3)若火车行驶速度v0＜，内轨对轮缘有侧压力．

【例1】　有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m．(g取10 m/s2)

(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；

(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．

思路点拨：①(1)问中，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力．

②(2)问中，重力和铁轨对火车的支持力的合力提供火车转弯的向心力．

[解析]　(1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：

FN＝m＝ N＝1×105 N

由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N.

(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝m

由此可得tan θ＝＝0.1.

[答案]　(1)105 N　(2)0.1

上例中，要提高火车的速度为108 km/h，则火车要想安全通过弯道需要如何改进铁轨？

提示：速率变为原来的倍，则由mgtan θ＝m，可知：

若只改变轨道半径，则R′变为900 m，

若只改变路基倾角，则tan θ′＝0.225.

火车转弯问题的两点注意

(1)合外力的方向：火车转弯时，火车所受合外力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下．因为，火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合外力应沿水平面指向圆心．

(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用．速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力．

1．(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是(　　)

A．v一定时，r越小则要求h越大

B．v一定时，r越大则要求h越大

C．r一定时，v越小则要求h越大

D．r一定时，v越大则要求h越大

AD　[设轨道平面与水平方向的夹角为θ，由mgtan θ＝m，得tan θ＝，又因为tan θ≈sin θ＝，所以＝.可见v一定时，r越大，h越小，故A正确，B错误；当r一定时，v越大，h越大，故C错误，D正确．]

1．汽车过凸形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力．如图甲所示．

由牛顿第二定律得：G－FN＝m，则FN＝G－m.

汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即FN′＝FN＝G－m，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小．

(1)当0≤v<时，0<FN≤G.

(2)当v＝时，FN＝0.

(3)当v>时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．

2．汽车过凹形桥

如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则FN－G＝m，故FN＝G＋m.由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力FN′＝G＋m，大于汽车的重力．

【例2】　俗话说，养兵千日，用兵一时．近年来我国军队进行了多种形式的军事演习．如图所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，则战车对路面的压力最大和最小的位置分别是(　　)

A．A点，B点　　 B．B点，C点

C．B点，A点  D．D点，C点

C　[战车在B点时由FN－mg＝m知FN＝mg＋m，则FN>mg，故对路面的压力最大，在C和A点时由mg－FN＝m知FN＝mg－m，则FN<mg且RC>RA，故FNC>FNA，故在A点对路面压力最小，故选C.]

2．如图所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球，当汽车以某一速度在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L1；当汽车以同一速度匀速通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列答案中正确的是(　　)

A．L1＞L2 B．L1＝L2

C．L1＜L2 D．前三种情况均有可能

A　[当汽车在水平面上做匀速直线运动时，设弹簧原长为L0，劲度系数为k，根据平衡得：mg＝k(L1－L0)，解得L1＝＋L0①；当汽车以同一速度匀速通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，由牛顿第二定律得mg－k(L2－L0)＝m，解得L2＝＋L0－②，①②两式比较可得L1＞L2，A正确．]

1．离心运动的实质

离心现象的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来．

2．离心运动的条件

做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力．

3．离心运动、近心运动的判断

如图所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn与所需向心力的大小关系决定．

(1)若Fn＝mrω2(或m)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动．

(2)若Fn＞mrω2(或m)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．

(3)若Fn＜mrω2(或m)即“提供”不足，物体做离心运动．

【例3】　如图所示是摩托车比赛转弯时的情形．转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是(　　)

A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用

B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力

C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去

D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去

B　[摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，选项A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，选项B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，选项C、D错误．]

分析离心运动需注意的问题

(1)物体做离心运动时并不存在“离心力”，“离心力”的说法是因为有的同学把惯性当成了力．

(2)离心运动并不是沿半径方向向外远离圆心的运动．

(3)摩托车或汽车在水平路面上转弯，当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即Fmax＜m，做离心运动．

3．下列事例利用了离心现象的是(　　)

A．自行车赛道倾斜 B．汽车减速转弯

C．汽车上坡前加速 D．拖把利用旋转脱水

D　[自行车赛道倾斜，就是应用了支持力与重力的合力提供向心力，防止产生离心运动，故A错误；因为Fn＝m，所以速度越快所需的向心力就越大，汽车转弯时要限制速度，来减小汽车所需的向心力，防止离心运动，故B错误；汽车上坡前加速，与离心运动无关，故C错误；拖把利用旋转脱水，就是利用离心运动，故D正确．]

1．关于离心运动，下列说法中正确的是(　　)

A．物体突然受到离心力的作用，将做离心运动

B．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然变大时将做离心运动

C．做匀速圆周运动的物体，只要提供向心力的合外力的数值发生变化，就将做离心运动

D．做匀速圆周运动的物体，当提供向心力的合外力突然消失或变小时将做离心运动

D　[物体做什么运动取决于物体所受合外力与物体所需向心力的关系，只有当提供的向心力小于所需要的向心力时，物体才做离心运动，所以做离心运动的物体并没有受到所谓的离心力的作用，离心力没有施力物体，所以离心力不存在．由以上分析可知D正确．]

2.(多选)火车在铁轨上转弯可以看作是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损．为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是(　　)

A．减小弯道半径

B．增大弯道半径

C．适当减小内外轨道的高度差

D．适当增加内外轨道的高度差

BD　[当火车速度增大时，可适当增大转弯半径或适当增大轨道倾角，以减小外轨所受压力．]

3.(多选)2013年6月11日至26日，“ 神舟十号” 飞船圆满完成了太空之行，期间还成功进行了人类历史上第二次太空授课，女航天员王亚平做了大量失重状态下的精美物理实验．如图所示为处于完全失重状态下的水珠，下列说法正确的是(　　)

A．水珠仍受重力的作用

B．水珠受力平衡

C．水珠所受重力等于所需的向心力

D．水珠不受重力的作用

AC　[做匀速圆周运动的空间站中的物体，所受重力全部提供其做圆周运动的向心力，处于完全失重状态，并非不受重力作用，A、C正确，B、D错误．]

4.城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥．如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，在A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则(　　)

A．小汽车通过桥顶时处于失重状态

B．小汽车通过桥顶时处于超重状态

C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg－m

D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于

A　[由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mg－FN＝m，解得FN＝mg－m＜mg，故其处于失重状态，A正确，B错误；FN＝mg－m只在小汽车通过桥顶时成立，而其上桥过程中的受力情况较为复杂，C错误；由mg－FN＝m，FN≥0解得v1≤，D错误．]