2023届高考数学重难点专题08极值点偏移问题专练A卷

08极值点偏移问题专练A卷

1.  已知

求曲线在点处的切线方程

若，证明：．

2.  已知函数．
   Ⅰ当时，函数在区间上的最小值为，求的值；
   Ⅱ设，且有两个极值点，．
   求实数的取值范围；
   证明：．

3.  已知函数，为的导函数．

设，讨论函数的单调性；

若有个极值点，满足，证明：．

4.  已知函数．

求证：函数在上单调递增；

设，求证：．

5.  设，证明：
   若函数，，使，证明：．

6.  已知

讨论的单调性

若，且，证明：

7.  已知函数．

求的极值．

若，，证明：．

8.  已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．

求的取值范围；

设的两个极值点分别为，证明：．

答案和解析

1.【答案】解：因为，
所以，
所以，，
切线方程为：即．
令，
则，
令，则，函数单调递减，
令，则，函数单调递增，
所以，
即，
依题，
可知
所以在上单调递增，
因为，所以，
欲证，只需证，只需证，
只需证，
令，
，
令，
所以，
故时，单调递增，，
所以单调递增，所以，得证． 

【解析】本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性证明不等式，考查了转化和化归思想，分析和解决问题的能力，运算能力，属于较难题．
求导，根据导数的几何意义求解即可；
根据题意结合导数可得在单调递增，因为，欲证，只需证，构造函数，求导结合函数的单调性即可得证．
 

2.【答案】解：，
，，，
在上是单调递增的，
，
，符合题意．
，
的定义域为，且．
有两个极值点，，
方程有两个不同实根，，得．
令，．
在上单调递增，在上单调递减．
．
又，当，，当时，．
．
由可知，，
两式相加，得--
两式相减，得--
，得，不妨设，
要证：，只需证
即证，
令，
则只需证
令，
．
在上单调递增．
，，
，． 

【解析】本题考查了利用导数求函数的单调性，通过换元法，利用函数的单调性来求证不等式，属于较难题．
求导确定函数的单调性，从而求出的值；
将有两个极值点，转化为方程有两个不同实根，，令，分析其单调性和最值，便可求出的取值范围；
通过化归与转化思想将不等式的证明转化为函数的最值问题来解答．
 

3.【答案】解：由题意得 的定义域为，
则，，

当时，，所以在上单调递增；

当时，，解得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减；

综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．

证明：有个极值点，则有且仅有两个变号零点，
则由可知时，在上单调递增；
在上单调递减，
设，则，

又因为，所以，

由，得
故，

要证，只需证，即证，

因为，所以，

只需证，

即证，令，，

设，则，

在上单调递增，
，即，

所以，
即原不等式成立，即．

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值点，利用极值点的范围求参数的最值，属于难题．

求导，对进行分类讨论得出的单调性即可；

利用导函数的零点与函数的极值点的关系，得出，找到要证明结论的充分条件，再通过换元，将双变量变为单变量构造函数证明即可．

4.【答案】证明：，

，

函数在上单调递增．

证明：

，

，

令，则．

由知在上单调递增，，

，

．

又，
 

．

【解析】本题考察了利用导数证明函数单调性，利用导数证明不等式，属于中档题．
利用导数法，证明时，即可；

利用作差法得到，然后令，转化为，利用其在上单调性证明．

5.【答案】证明：，所以，
要证   即证明，
令 ，
     
，  

在单调递减，，命题得证．

证明：存在，使，

即，

，

设，则，
在上递增，

则，即，

，

，

即，，  

根据，

可得，．

【解析】本题考查利用导数证明不等式，属于中档题．
利用分析法，即证明，然后利用换元法求导即可得证；
设然后利用导数得在上递增，进而得，结合即可得证，属于中档题．
 

6.【答案】解：的定义域为
，
在上单调递增．
要证，只须证，即证，
由，且函数单调递增，
若，必有，此时，
若，必有，此时，
由上知若，必有，
又当时，，故只需证当时，，
而，故只须证，
令，
则
，
，故，
，
，
故在上为增函数，
，
而，且，
知，，
故，可得，
故原式得证． 

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数中的不等式，属于中档题．
求导，利用导函数的正负与单调性的关系证明即可；
要证，只须证，即证，分情况讨论求解即可．
 

7.【答案】解：由题意可得．
当或时，；当时，，
所以在与上单调递增，在上单调递减．
故的极大值为，的极小值为．
证明：由可知．
设，，
则．
设，则．
因为，所以在上恒成立，即在上单调递增，
因为，所以在上恒成立，即在上单调递增，
因为，所以在上恒成立，
因为，所以，
因为，所以
由可知在上单调递增，且，，
则，即． 

【解析】本题考查导数法研究函数的单调性、极值以及不等式的证明，属于较难题．
求导，得到的单调性，进而得到极值；
由可知，设，，则，进而得到的单调性，即可得证．
 

8.【答案】解：函数的定义域为，求导得：，

依题意，函数在上有两个不同极值点，
于是得有两个不等的正根，

令，，则，当时，，当时，，

于是得在上单调递增，在上单调递减，，

因恒成立，即当时，的值从递减到不能取，又，

有两个不等的正根等价于直线与函数的图象有两个不同的公共点，如图，

因此有，

所以的取值范围是．

由知分别是方程的两个不等的正根，，

即，作差得，则有，

原不等式，

令，则，于是得，

设，则，

因此，在单调递增，则有，即成立，

所以．

【解析】本题考查导数研究函数的单调性与极值，考查导数中的函数不等式，考查计算能力，属于较难题．
问题转化为有两个不等的正根，令，，利用导数结合图象即可求解；
原不等式等价于，令，则，，设，根据函数的单调性证出结论即可．