2023届高考数学重难点专题11三角函数的图象与性质专练C卷

11三角函数的图象与性质专练C卷

一、单选题

1.  已知函数为偶函数，在单调递减，且在该区间上没有零点，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知向量，，函数，且，，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是(    )

A.    B. C.  D.

3.  已知函数，对任意，都有，
若在上的值域为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  设函数，若对于任意实数，在区间上至少有个零点，至多有个零点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  关于函数，有下述四个结论：

是偶函数                                                   
在区间单调递增
在有个零点                                  
的最大值为

其中所有正确结论的编号是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知函数，点和是函数图像的相邻的两个对称中心，且函数在区间内单调递减，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题

8.  已知函数的图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，则(    )

A.
B. 图象的对称中心为
C.
D. 为图象的一条对称轴

9.  已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的取值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  年月钱塘江多处发现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股涌潮是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮若波状涌潮的图象近似函数的图象，而破碎的涌潮的图象近似是函数的导函数的图象已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为，则(    )

A.  B.
C. 是偶函数 D. 在区间上单调

11.  如图，已知函数其中，，的图象与轴交于点，与轴交于点，，，则下列说法正确的有(    )

A. 的最小正周期为 B.
C. 的最大值为 D. 在区间上单调递增

三、填空题

12.  已知函数，有三个不同的零点，，，且，则的范围是          ．

13.  已知函数的图象关于点对称，且，若在上没有最大值，则实数的取值范围是          ．

14.  函数，已知，且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为          ．

四、解答题

15.  已知向量，，函数．
求函数的值域
函数在上有个零点，求的取值范围．

16.  已知函数．

若，求的值；

求函数的最大值和单调增区间．

17. 设函数．

求单调递增区间；

在锐角三角形中，内角所对边分别为，已知，，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象与性质，属于中档题．
根据题意先求出的值并将函数化简，进而根据函数在单调递减，且在该区间上没有零点，列出关于的不等式，最后解得答案．

【解答】

解：由题意，函数为偶函数，所以，
所以，
即
所以，
所以，，
所以，
所以，
因为函数在单调递减，且在该区间上没有零点，
，
又，所以，
则的取值范围为．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积和三角函数的图象和性质及辅助角公式．

由题意可得求得，由  的任何一条对称轴与轴的交点的横坐标都不属于区间 ，解得，将代入检验，从而得出结论． 

【解答】

解：，

又，，，

所以，

由  的任何一条对称轴与轴的交点的横坐标都不属于区间 ，
则得，

当时，，显然不符合题意；

当时，，符合题意；

当时，，符合题意；

当，，显然不符合题意，

综上，的取值范围是 ，

故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的图象与性质，两角和与差的三角函数以及运算能力与逻辑思维能力．
解法一：利用两角和与差的三角函数公式化简，再由函数最大值为，可求出函数解析式，由在上的值域为，可得，解之即可；
解法二：同解法一求出函数解析式后通过分析临界值求出答案．

【解答】

解法一：，
由题意知，
因为，所以舍去负根，
．
由，，
得，
又在上的值域为，
，
．
故选A．
解法二：，
由题意知，
因为，所以舍去负根，
．
若在上的值域为，
由可知或为两个临界值，
由此可解得及，结合图象可知，
故选A．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数性质以及函数零点问题，属于中档题．
根据题意可知函数，则，令，，
在长度为的区间中至少有两个零点，在长度为的区间中至多有三个零点，则，即可求解．

【解答】

解：函数，则，
令，则，
不妨令，，则相邻的值分别为，
故在长度为的区间中至少有两个零点，在长度为的区间中至多有三个零点，
当，
则，
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的图象和性质，属于拔高题．
根据题意，得出函数是偶函数，判断；得出在区间为减函数，判断；
研究函数在上的零点个数，来判断；求出的最大值来判断；即可得解．

【解答】

解：，且的定义域为，
则函数是偶函数，故正确；
当时，，，
则当时，，则在区间为减函数，故错误；
画出函数的图象，
当时，，
由，得，即或，
由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在有个零点，故错误；
当且时，取得最大值，故正确，
故正确的是，
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，属于拔高题．
根据正切函数的图象与性质，求出，的值，再求出是否满足题意即可．

【解答】

解：正切函数相邻两个对称中心的距离，

函数的周期为，即，．
函数在区间内单调递减，
，
，
由题意可知，得，．
，
当时，当时，．

当时，，
由，，

得，，
即函数的单调递减区间为，．

当时，函数的单调递减区间为，满足条件；

当时，．

由，，
得，，

即函数的单调递减区间为，，

当，时，函数单调递减区间分别为，，

不符合题意，故舍去综上所述，．

故选 A．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是函数的图象变换、三角函数的单调性，属于较难题．
由题意可得为最大或最小值，从而求得的值，利用，求出的一个特殊值，进而求得的单调递增区间．

【解答】

解：若对恒成立，
则为函数的最大值或最小值，
即，，
则，，
又，即，
，
，只能取奇数，
不妨令，此时，满足条件，
令，，
解得：．
则的单调递增区间是．
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查由函数的部分图像确定的解析式，属于中档题．
根据图象求出的解析式，利用函数的图象变换规律，  再根据三角函数图象的对称性，对选项做出判断得出结论．

【解答】

解：由，
，，
由，，，得，
，选项A正确；
由， ，得， ，
图象的对称中心为，选项B正确； 
而，选项C错误；
由，，得，，
为图象的一条对称轴，选项D正确．
故选ABD．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查余弦型函数的图象与性质及函数图象变换，属于中档题．
由已知求出，由图象变换法则得出平移后的曲线的函数解析式，然后由余弦型函数的性质求解即可．

【解答】

解：曲线的一条对称轴方程为，
，，，，
取，，满足，
曲线：．
把曲线向左平移个单位长度，得到曲线：，
曲线的一个对称中心的坐标为，
，，
解得，，
当时，；时，；时，．
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查根据函数求解析式，考查余弦型函数性质的应用以及导数问题，以及运算能力和转换能力及思维能力，题目较难．

【解答】

解：由题意得，则，
即，故，
因为，，所以，
所以，，则A错误
因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，
即，所以，所以，
则，故B正确
因为，所以，所以，则C正确
由，得，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上不单调，则D错误．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查由函数的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象和性质，属于较难题．
由函数的图象以及，，，，求出，，坐标，代入解析式，求出，，的值，再利用正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【解答】

解：由题意可得：，
，，
，，，．
，，
，，
把代入上式可得：，．
解得，，可得周期，故A正确；
，，解得，故B错误；
，，解得，
函数，故C正确；
时，，，可得：函数在单调递增，故D正确．
故选ACD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦型函数的零点问题，考查了数形结合的思想，属于中档题．
令，将函数，的零点问题转化为函数，的图象与直线的交点的横坐标问题进行研究，根据正弦函数的图象的对称性，得到的值，并结合图象和正弦函数的最大值，得到的取值范围，可得的范围．

【解答】

解：函数，有三个不同的零点，，，且，
令，则，
将函数，的零点问题转化为函数，的图象与直线的交点的横坐标问题进行研究．
如图所示，
由的图象对称性可知，，且，，
所以，，
又，
，
由图象可知，，所以，，
所以，，
故答案为
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数图象与性质的应用、最值，属于较难题目．
由已知函数的图象关于点对称，且，确定出函数的解析式，再根据当时，，函数没有最大值，则，即可解答．

【解答】

解：函数的图象关于点对称，
则，，所以，，
又，即，即，
所以，，即，，
由知：，，
所以，
当时，，
若在上没有最大值，则，解得．
故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

 本题考查正弦函数的图象与性质，属于较难题．

【解答】

，，
，，
又对于任意的都有，
，，
，又，
或，
当时，，且，
当时，，若，则，
在上不单调，
当时，，且，
当时，，若，则，
在上不单调，
当时，，若，则，
在上单调．
所以．

15.【答案】解：

，
因为，所以，
则函数的值域为；
，即，
，则，函数在上有个零点，
即，解得，
的取值范围为． 

【解析】本题考查了向量数量积的坐标运算、三角恒等变换及三角函数的图象与性质，属于中档题．
代入向量运算，运用倍角公式及两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，，可求值域；
令，即，由，则，即，求解即可．
 

16.【答案】解：，．

又，，

，  即，

．

由题意知，

 ，

当时，  ．

由，，得 ，

的最大值为，单调增区间为，．

【解析】本题考查判断正弦型函数的单调性或求解单调区间，三角函数的化简求值，是中档题．
借助题设条件建立方程，再运用同角三角函数的关系分析求解；
依据题设条件运用三角变换的公式及正弦函数的图像与性质分析求解．
 

17.【答案】解：由题得，

令，

所以．

所以函数单调递增区间为．

因为，所以，

因为，

由正弦定理得

所以

，

因为三角形是锐角三角形，
所以．

所以．

所以的取值范围为．

【解析】本题主要考查了三角函数解析式的化简，也考查了余弦型函数的单调性问题，也考查了利用正弦定理解决范围与最值问题，属于拔高题．
化简得，再解不等式，即得解；

求出，再利用正弦定理得到，化简得，再利用三角函数的图象和性质求解．