2023届高考数学重难点专题12三角恒等变换专练A卷

12三角恒等变换专练A卷

一、单选题

1.  已知向量，，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  公元前世纪，毕达哥拉斯学派利用顶角为的等腰三角形研究黄金分割，如图，在中，，，的角平分线交于，依此图形可求得

A.  B.  C.  D.

5.  若，则可以为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  圭表如图甲是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺称为“圭”当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角即大约为，夏至正午时太阳高度角即大约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离即的长为，则表高即的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题

7.  若，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  已知函数，则下列结论正确的是(    )

A. 是周期函数 B. 的图象是轴对称图形
C. 的图象关于点对称 D.

10.  函数的定义域为，值域为，则的值可能是．(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题

11.  公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为，若，则          ．

12.  若，则          ．

13.  若，则的值是          ．

14.  设，都是锐角，且，则          ．

15.  已知函数，则的最小值为          ，图象的一条对称轴方程可以是          ．

四、解答题

16.  已知函数．

若，且，求的值；

若对任意的，不等式恒成立，求实数的最小值．

17.  已知向量，，若函数的最小正周期为．

求函数的解析式；

已知函数，其中实数，若的最大值记为，求的最值．

18.  已知函数，．
求的最小正周期；
当方程在闭区间上有两个不同的根时，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式和利用同角三角函数的基本关系化简．
先由得出，再按照齐次分式化简求值即可．

【解答】

解：由得，
．

故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”化“切”是关键，属于基础题．
将所求的关系式的分母“”化为，再将“弦”化“切”即可得到答案．

【解答】

解：，



．
故选A．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属基础题．
依题意，利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系求解即可．

【解答】

解：，

，即，

，，即，

又，，

，

故选A．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角形相似和二倍角公式，属于基础题．
设，，利用相似三角形的性质和二倍角公式即可求解．

【解答】

解：，
故，，
设，，
由∽，
，
．
故答案为：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用三角函数关系式的恒等变换和辅助角公式的应用求出结果．

【解答】

解：整理得：，转换为
，
，
．
．
故选D．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的应用，属于基础题．

【解答】

解：．

在中，，在中，．

由，得，

故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．

【解答】

解：因为，所以，
所以，即满足．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查倍角公式的应用，和差角公式，属于基础题．
直接利用和角公式和差角公式及倍角公式的应用判断、、、的结论．

【解答】

解：对于：，故A正确；
对于：，故B错误；
对于：，故C错误；
对于：，故D正确．
故选AD．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的周期性、奇偶性、对称性等，属于中档题．
由即可判断，判断奇偶性即可判断，计算即可判断，取特例即可判断．

【解答】

解：由于，
所以是周期函数，故A正确
B.定义域为，关于原点对称，
由，从而为偶函数，其图象关于轴对称，故B正确
C.由于
从而当为奇数时，的图象不一定关于点对称，故C不正确
D.当时，，令，则此时，故D不正确．
故选AB．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查由正弦型函数的值域求参，考查正弦型函数的图象与性质，属于中档题．
定义域为，值域为，为周期函数，可选择一个周期内图像进行分析即可．

【解答】

解：
 

根据周期性分析，不妨为的子集，
此时

 

故选BC．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．
根据同角三角函数关系表示，结合两角和与差的三角函数公式进行化简即可．

【解答】

解：，
由，得，
则．
故答案为：

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数化简求值．
由已知求得，再利用二倍角公式即可求解．

【解答】

解：，
则
则．
故答案为：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．
由的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，利用二倍角的余弦函数公式求出的值，原式中角度变形后利用诱导公式化简即可求出值．

【解答】

解：，
，
，
则．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．

【解答】

解：、为锐角，
，
，，
，，
．
故答案为：．

15.【答案】 

答案不唯一

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数得最值和对称轴的求解，属于中档题．
化简函数，根据三角函数的性质，求出函数的对称轴和最值，从而求出答案．

【解答】

解：


，
故的最小值为，
由，
可得的对称轴为，，
当时，．
故答案为：答案不唯一．

16.【答案】解：
由题意得，
由得，解得，   
由得，              
所以，解得，即的值为 
由得，       
则，从而 ，      
要使不等式恒成立，只需， 
 解得，                                  
故实数的最小值为． 

【解析】本题考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，不等式恒成立问题，属于中档题．
利用三角恒等变换化简函数的解析式为，由，解方程，即可得到答案．
由，可得，从而求得函数的值域．要使恒成立，只要函数的最大值，由此求得实数的取值范围．
 

17.【答案】解：
，
的最小正周期为，，则；

，令，
则有，可变形为；
分类讨论：，即时，
当时，；
当时，；
综上，
所以有最小值，无最大值． 

【解析】本题考查函数的图象与性质，属于中档题．
由向量的数量积公式，结合三角恒等变换公式化简得，由函数的周期算出的值，即可得到函数的表达式；
，令，则有，可变形为，讨论，根据二次函数的性质可求得最值．
 

18.【答案】解：由已知函数
，
故函数的最小正周期为．
当方程在闭区间上有两个不同的根时，
等价于函数的图象和直线在闭区间上有两个不同的交点，
当时，，
由正弦函数单调性得：
当，即时，函数单调递减；
当，即时，函数单调递增，
而，，，
故，且，求得． 

【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化的数学思想，属于较难题．
由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得的最小正周期．
由题意，函数的图象和直线在闭区间上有两个不同的交点，由于在上是减函数，在上是增函数，而，，，可得，且，求得的范围．