2023届高考数学重难点专题12三角恒等变换专练B卷

12三角恒等变换专练B卷

一、单选题

1.  已知，，，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则  (    )

A.  B.  C.  D.

3.  平面直角坐标系中，角的顶点为，始边为轴非负半轴，若点是角终边上的一点，则角的值是(    )

A.  B. ，
C. ， D. ，

4.  已知，，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  关于函数，下列说法中正确的是(    )

A. 其表达式可写成
B. 曲线关于直线对称
C. 在区间上单调递增
D. ，使得恒成立

6.  定义运算，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知，且，，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题

9.  下列说法正确的是(    )

A. 若不等式的解集为，则
B. 若命题：，，则的否定为，
C. 在中，“”是“”的充要条件
D. 若对恒成立，则实数的取值范围为

10.  已知函数，则(    )

A. 的最大值为 B. 是的图象的一条对称轴
C. 在上单调递减 D. 的图象关于对称

11.  已知，，，则．(    )

A.  B.
C.  D.

12.  在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有(    )

A.
B. 存在时，使得
C. 给定正整数，若，，且，则
D. 设方程的三个实数根为，，，并且，则

三、填空题

13.  在中，已知，则的取值范围为          ．

14.  若，，则          ．

15.  已知，且，则          ．

16.  已知，且，则的最大值为           ．

四、解答题

17.  在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，．
求的值；
求的值．

18.  已知函数．

求函数在区间上的最值；

若，，求的值．

19.  已知函数．

若，求的取值集合；

若对任意的恒成立，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
由题根据与的范围得到，，进而利用两角和与差的余弦公式即可解出．

【解答】

解：，，
又，
，且，
，，，
又，
，
，
，
，
故本题选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的化简求值和证明，涉及两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．
由题意，先对进行化简，再将代入计算可得．

【解答】

解：原式，

又，所以原式．
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
由，，可得点在第一象限，由正切函数的定义可得的值，进而即可得解角的值．

【解答】

解：由，，可得点在第一象限，
又，
所以，．
故本题选B．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变换公式和正切函数的性质，属于一般题．

根据，利用二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的正切公式化简为，再利用在上函数值与角的对应特征求解．

【解答】

解：由题意得，

，

因为，

所以，

所以，即，
故选A．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查辅助角公式和正弦型函数的图象与性质，属于中档题．

【解答】

解：，所以A错误，
，所以B错误，
当，，，所以C正确，
若，使恒成立，说明是的一个周期，而与最小正周期为矛盾，所以D错误．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数关系，两角和与差的正弦与余弦公式，二倍角公式，属于中档题．
根据新定义以及，结合正弦函数的两角差公式求出
，再根据两角和与差的余弦公式及二倍角公式化简，从而求出答案．

【解答】

解：由题意
，
由于，所以，
所以，
所以

，
故选D．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了诱导公式，同角三角函数关系式，两角和与差公式，属于中档题．
利用诱导公式将所求分子转化为，再用两角和与差正弦公式展开，进一步将所求式子用正切表示，将条件代入求解．

【解答】

解：原式，
因为，
所以，
式上下同时除以得：原式，
因为，
代入上式有：．
故答案选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了两角和差的三角函数公式，同角三角函数的基本关系，利用基本不等式求最值，属于中档题．
由公式可得，由两角和差的三角函数公式可得结果．

【解答】

解：由，得，
所以，
两边同时除以，得，
所以，
又，且，
所以，且，
所以，
因为，所以，
当且仅当，时取等号，
即．
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是一元二次不等式的解法，含有量词命题的否定，充要条件，不等式恒成立问题．
根据相关知识点逐项判断即可得出答案．

【解答】

解：对于，不等式的解集为，则，且方程的两根为，，即，且解得，，所以，故A正确；
对于，全称量词命题的否定是存在量词命题，量词任意改成存在，结论进行否定，命题：，，则的否定为，，故B正确；
对于，                ，又，，所以或，显然不是充要条件，故C错误；
对于，令，则，对恒成立，则解得，故D正确．
故选ABD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数恒等变换，考查正弦函数的图像与性质，属于中档题．
利用三角函数恒等变换，将函数化简为，借助正弦函数的图象和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论 

【解答】

解：已知函数


，
所以的最大值为，故A正确；
当时，，
所以是的图象的一条对称轴，故B正确；
当时，，由于函数在上单调递增，
所以在上单调递增，故 C错误；
当，，所以的图象不关于对称，故D错误．
故选AB．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式，是中档题．
，，利用两角和的正弦公式将条件展开，然后两边同除得到，所满足的等式，结合基本不等式确定出和的取值范围；
，根据两角和的正弦和余弦公式化简选项，从而可计算出的值并进行判断；
，根据两角和的正切公式以及的取值范围化简并计算出的取值范围．

【解答】

解：由得，
同除得，
因为、，所以，，
所以，
即，当且仅当时取等号，
，故A，B正确；
，

，显然不成立，故C错误；
，
由知，，，故D正确．
故选ABD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的知识，以及函数的零点定理，以及对累加的理解与应用，需要学生很强的综合知识，属于难题．
结合两角和公式，以及二倍角公式，即可对选项判断，令，，结合原式可得，即可对选项判断，根据已知条件，以及结合不等式即可求解，结合已知条件，以及零点存在定理，即可求解．

【解答】

解：，


，故A选项正确，
令，，，
，故B选项错误，
令，其中，，
，
，即，
，
，
 ，
，
，
，
，故C选项正确，
令，，，
，
，即，
，
，
或或，
设，
，，，，
由函数的零点定理，可得的根都在上，
，
，
，
，故D选项正确，
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，正弦型三角函数的值域问题，属于中档题，
先通过同角三角函数基本关系，三角恒等变换得到，进而得到，进而求出值域即可．

【解答】

解：，
又，
，
由，可得，
，
，
因为，
可得，
所以，
可得
故答案为

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式，利用同角三角函数基本关系化简求值，属于中档题．
利用二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求值即可得解．

【解答】

解：因为，，所以，，
所以



．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变换，属于中档题．
由三角恒等变换公式化简后求解．

【解答】

解：
，

因为，所以，则，

所以．

故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的恒等变换，考查利用基本不等式求最值，属中档题．
根据同角三角函数关系与两角和与差的三角公式化简条件得，代入 

，利用基本不等式求解即可．

【解答】

解：，所以，
由，
得
，
即，
又，，
所以，

故




，
当且仅当时取等号，
即的最大值为，
故答案为．

17.【答案】解：，
，
，
，
；
，
，
，，
． 

【解析】本题考查了三角恒等变换和正余弦定理，属于基础题．
根据正弦定理可得，再根据余弦定理即可求出；
利用二倍角公式和两角差的正弦公式即可求出．
 

18.【答案】解：由题意得．
因为，所以，，所以，即函数在区间上的最大值为，  最小值为．

因为，，  所以，所以，，所以 
 ．

【解析】本题考查三角函数的最值和三角恒等变换，是中档题先由三角恒等变换化简，再由三角函数性质可得最值；先由二倍角公式得出和的值，再代入计算即可．
 

19.【答案】解：

，

因为，所以，即，

所以或，

解得或．

故的取值集合为或．

由可得，

即因为，所以，所以，

则对任意的成立，即即可．

设，因为，所以，

则，当且仅当，即时，等号成立，故，即的取值范围是．

【解析】本题主要考查函数的图象与性质，三角恒等变换及不等式恒成立问题，考查了运算求解能力，属于中档题．
根据两角和正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简可得，令，即可求得的取值集合．

根据化简可得，则原题等价于，即可，利用二倍角公式，对化简变形，结合对勾函数的性质，即可求得答案．