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2023届高考物理二轮复习专题讲义能量与动量——板块模型讲义
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板块模型
本专题主要讲解应用动量守恒定律解决板块模型问题。高考常以结合牛顿运动定律、运动学公式、能量观点的综合题形式出现,考查学生模型建构的能力,灵活选用牛顿运动定律,结合运动学规律、功能关系、动量守恒定律解答力学综合问题的能力。
探究1 滑块与木板模型
典例1:(2022北京联考)如图所示,两形状完全相同的平板A、B置于光滑水平面上,质量均为m,平板B的右端固定一轻质弹簧,处于原长状态,物块C置于平板A的最右端,质量为2m且可视为质点。平板A和物块C以相同速度v0向右运动,与静止平板B发生碰撞,碰撞时间极短,碰撞后平板A、B粘连在一起,物块C滑上平板B,并压缩弹簧,后被弹回并相对于平板B静止在其最左端Q点。弹簧始终在弹性限度内,平板B的上表面粗糙,求:
(1)平板A、B刚碰完时的共同速率v1;
(2)在上述过程中,系统的最大弹性势能EP。
训练1:(2022湖南模拟)如图甲所示,质量为M=1 kg、长度L=1.5 m的木板A静止在光滑水平面上(两表面与地面平行),在其右侧某一位置有一竖直固定挡板P。质量为m=3kg的小物块B(可视为质点)以v=4m/s的初速度从A的最左端水平冲上A,一段时间后A与P发生弹性碰撞。以碰撞瞬间为计时起点,取水平向右为正方向,碰后0.3s内B的速度v随时间t变化的图像如图乙所示。取重力加速度g=10m/s2,求:
(1)B刚冲上A时,挡板P离A板右端的最小距离;
(2)A与P第1次碰撞到第2次碰撞的时间间隔内产生的热量;
(3)A与P碰撞几次,B与A分离?
探究2 滑块与凹槽模型
典例2:(2022安徽模拟)如图所示半径为R的半圆形凹槽放在光滑水平面上,凹槽内侧光滑,其质量为M=2m,A点是凹槽圆弧上与圆心等高的一点,现有一个可视为质点,质量为m的滑板小孩从距离A点高R处由静止开始下落,恰好从A点沿圆弧的切线方向进入凹槽(忽略空气阻力和小孩体内能量的转化),下列说法正确的是( )
A.从滑板小孩开始下落到运动到最低点过程中,滑板小孩机械能守恒
B.从滑板小孩开始下落到运动到最低点过程中,滑板小孩和凹槽组成的系统动量守恒
C.滑板小孩运动到最低点的速度为
D.滑板小孩运动到最高点与静止下落位置等高
训练2:(2022安徽模拟)如图所示,光滑水平面上静止放置质量均为m、半径均为R的四分之一光滑圆弧槽A和B,两圆弧底部距离地面高度均为R,初始时A、B紧靠在一起锁定为一半圆弧槽。现将一质量为2m的小球C由A槽上方2R处静止释放,恰能沿切线方向进入圆弧槽A,当小球C刚滑上B槽时立即解除锁定,重力加速度为g,求:
(1)小球C运动到两槽连接处时速度的大小;
(2)两槽解除锁定后,小球C能上升的最大高度;
(3)已知小球C从开始运动至落地过程,槽B发生的位移为L,那么该过程中小球C的水平位移为多大?
板块模型答案解析
典例1:关键信息:碰撞后平板A、B粘连在一起 → A、B碰撞为完全非弹性碰撞
光滑水平面 → A、B、C组成的系统遵循动量守恒
相对于平板B静止在其左端Q点 → ①末状态三者共速 ②C滑上B至弹簧被压缩最短的过程与C被反弹回至Q点,系统滑动摩擦力做功相等。
最大弹性势能EP → 弹簧被压缩最短,A、B、C共速
解题思路:
(1)AB碰撞瞬间,C的速度来不及改变,可以对AB组成的系统应用动量守恒定律求解平板A、B刚碰完时的共同速率v1
(2)C与AB作用的过程中,对“C和AB相互作用至弹簧压缩到最短的过程”与“C和B相互作用至C被反弹回至其最左端”的这两个过程分别应用动量守恒和系统能量守恒求解。
(1)对A、B,碰撞前后瞬间,A、B组成的系统动量守恒。
有:mv0=(m+m)v1
解得:v1=v0
(2)设C停在Q点时A、B、C共同速度为v2,从A、B碰撞结束瞬时到C停在木板B最左端的过程中,A、B、C组成的系统动量守恒.
有:2mv0+(m+m)v1=4mv2
解得:v2=v0
根据功能关系有;Wf=(2m)v02+(2m)v12-(4m)v22
设弹簧压缩到最短时A、B、C共同速度为v3,此时系统的弹性势能EP最大,
对于A、B、C组成的系统,从弹簧压缩到最短至C被反弹回至木板B最左端的过程中,
根据动量守恒定律有:4mv2=4mv3
C压缩弹簧至最大弹性势能处与弹簧将C反弹至B的最左端的两个过程中,BC的相对位移大小相等,系统滑动摩擦力做功相等,根据功能关系有:
Wf=Ep+(4m)v22-(4m)v32,
解得:Ep=mv02。
训练1:
(1)由题图乙得:A第1次与P碰前瞬间B的速度为vB0=3m/s,设此时A的速度vA0,对A、B系统由动量守恒定律有mv=MvA0+mvB0
代入数据解得vA0=3m/s
由题图乙得:0~0.3s,B的加速度大小aB==5m/s2
由牛顿第二定律有:μmg=maB 解得μ=0.5
A第1次与P碰撞前A一直向右加速,设A与P的距离最短为xAm
对A由动能定理有:μmgxAm= 代入数据得:xAm=0.3 m
故挡板P离A板右端的最小距离为0.3m;
(2)在A、B不分离时,A每次与P碰后到下次与P再次碰撞前,最后两者共速。
设A与P第2次碰撞前的速度为v1。以水平向右为正方向,对A、B系统由动量守恒定律可得:mvB0-MvA0=(M+m)v1
解得:v1=1.5 m/s
A与P第1次碰撞到第2次碰撞的时间间隔内的热量为:Q=+-(M+m)=13.5J,故A与P第1次碰撞到第2次碰撞的时间间隔内产生的热量为13.5J;
(3)A第1次与P碰前,B在木板A上的滑动距离为x相对1,对A、B组成的系统,由能量守恒有:mv2=++μmgx相对1
代入数据得:x相对1=0.4 m
A第1次与挡板P碰后到共速的过程中,对A、B系统,由功能关系:
Q=μmgx相对2
解得x相对2=0.9 m
假设第3次碰撞前,A与B仍不分离,A第2次与挡板P相碰后到共速的过程中,以水平向右为正方向,由动量守恒有:mv1-Mv1=(M+m)v2
解得:v2=0.75 m/s
由能量守恒有:+=(M+m)+μmgx相对3
解得:x相对3=0.225 m
由于x相对=x相对1+x相对2+x相对3=1.525 m>L=1.5 m,故不能发生第3次碰撞。
所以A与P碰撞2次,B与A分离。
答:(1)挡板P离A板右端的最小距离为0.3m;
(2)A与P第1次碰撞到第2次碰撞的时间间隔内产生的热量为13.5J;
(3)A与P碰撞2次,B与A分离。
典例2:关键信息:光滑水平面上, 恰好从A点沿圆弧的切线方向进入凹槽 → 水平方向动量守恒,初态系统水平方向动量为零
凹槽内侧光滑 → 系统机械能守恒
解题思路:根据机械能守恒的条件判断单个物体、系统的机械能是否守恒。
根据动量守恒的条件判断动量是否守恒。
A.滑板小孩开始下落到运动到最低点过程中,滑板小孩机械能有一部分转化为凹槽的动能,故滑板小孩机械能不守恒,故A错误;
B.滑板小孩和凹槽组成的系统,在水平方向上动量守恒,竖直方向上合力不为零,动量不守恒,故B错误;
C,滑板小孩运动到最低点的过程中,设最低点小孩的速度大小为v1,凹槽的速度大小为v2,系统水平方向动量守恒,有:
系统能量守恒,则
代入数据解得
故C错误;
D.滑板小孩运动到凹槽右侧与A点齐平的A′点时,滑板小孩相对凹槽水平方向静止,根据动量守恒可知凹槽水平速度也为0,根据能量守恒可知,滑板小孩可以运动到与开始下落等高的位置,故D正确。
故选D。
训练2:
(1)以向右为正方向,对A与B、C系统,由开始至C运动到连接处过程,水平方向动量守恒,
则有:2mv1+2mv2=0
系统机械能守恒:×+×=2mg·3R
解得:v1=-v2=
(2)C从连接处运动至最高点过程,C在最高点时,B、C具有相同的速度v3,对B、C系统,水平方向动量守恒,取向右为正方向,则有:2mv1+mv2=3mv3
系统机械能守恒:×+=2mgh+×
解得:h=2R
(3)C从连接处运动至最高点过程再返回至连接处,对B、C系统,水平方向动量守恒,
则有:2mv1+mv2=2mv1′+mv2′
系统机械能守恒:×+=×+
解得:v1′=,v2′=
C离开B平抛至落地过程:R=gt2
平抛过程C相对于B的水平位移大小为:Δx=(v2′-v1′)t=
如图所示,小球C从开始运动至落地过程的水平位移向右,C的水平位移为:xC=L-+R=L+(1-)R
答:(1)小球C运动到两槽连接处时速度的大小为gR;
(2)两槽解除锁定后,小球C能上升的最大高度为2R;
(3)该过程中小球C的水平位移为L+(1-)R。
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