5.4 正、余弦定理（精练）-【一隅三反】2023年高考数学一轮复习（提升版）（新高考地区专用）

这是一份5.4 正、余弦定理（精练）-【一隅三反】2023年高考数学一轮复习（提升版）（新高考地区专用）
5.4 正、余弦定理（精练）（提升版）题组一 判断三角形额形状1．（2022·四川省峨眉第二中学校）在中，已知，且，则的形状为（       ）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由题意,,则,又，则,由可得，即，所以，由，知，综上可知即的形状是等边三角形.故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（       ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】A【解析】因为，由正弦定理可得：，整理可得：，即，所以或者，所以或，而当时则，所以三角形为直角三角形，所以，则中，这时，分母为0无意义所以，选：A．3．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，则的形状一定是（       ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，整理得：即，又因为,所以,所以，移项得：,所以三角形一定为直角三角形.故选：B4．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））在中，，，，则为（       ）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，即，解得，又，故或，当时，，为直角三角形；当时，，为等腰三角形.故选：B.5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，则下列条件能推导出一定是锐角三角形的是（       ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于，若，由余弦定理可知，即角为锐角，不能推出其他角均为锐角，故错误；对于，因为，可得，可得，设，，，，可得为最大边，为三角形最大角，根据余弦定理得，可得为锐角，可得一定是锐角三角形，故正确；对于，因为，可得，整理可得，由正弦定理可得，可得为直角，故错误；对于，因为由于，整理得，故，由于，故，故，，均为锐角，为锐角三角形，故正确．故选：BD．6．（2022·浙江·高三专题练习）已知内角，，所对的边分别为，，，面积为.若，，则的形状是（       ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】因为，所以，即，由正弦定理可得：，因为，所以，因为，所以，所以，可得，所以，解得，因为，所以，即，所以，可得，所以，所以的形状是正三角形，故选：C.7．（2022·湖南·长沙一中）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（       ）A．若，则B．若，则为钝角三角形C．若，则符合条件的三角形不存在D．若，则一定是等腰三角形【答案】AC【解析】若，则，所以由正弦定理可得，故A正确；若，，，则，即，所以角为锐角，即为锐角三角形，故B错误；若，，，根据正弦定理可得所以符合条件的三角形不存在，即C正确；若，则，即,因为,所以或，即或，所以为等腰或直角三角形，故D错误.故选：AC题组二 最值问题 1．（2021·安徽）已知四边形ABCD是圆内接四边形，，则ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】△ABD中，因AB2+BD2=25=AD2，则，，而四边形ABCD是圆内接四边形，如图：则，，，在中，由余弦定理得，，即，当且仅当时取“＝”，而，所以时，四边形ABCD的周长取最大值，四边形ABCD的面积.故选：A2．（2021·全国·高三专题练习（文））在中，角，，的对边分别是，，，且，，成等差数列，，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，由，，成等差，可得，由，得，．由余弦定理，可得，又，当且仅当时等号成立，即，即，解得 所以的取值范围是．故选：A3．（2022·陕西·武功县普集高级中学）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的面积为2，则当取得最小值时（       ）A． B． C． D．20【答案】C【解析】，，由正弦定理可得，当且仅当，即，时等号成立，此时.故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，为最大角，且，则实数的最小值是（       ）A． B．2 C．3 D．【答案】A【解析】由于为最大角，则的对边最长，则，得出.，得，由于为锐角三角形，则，，则.即，整理得，解得. 则实数的最小值是1.故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）在中，是边上一点，且，，若是的中点，则______；若，则的面积的最大值为_________．【答案】          【解析】若是的中点，则，在中，由余弦定理可得即，整理得，即，所以在中，由余弦定理得即，所以若，，，由上述知作于点E，由，知，作于点F，所以在边上的高为，所以因为，，，所以由余弦定理得即当时，有最大值，即，则所以故答案为：，6（2022·山东）如图，设的内角、、的对边分别为、、，，且.若点是外一点，，，则当______时，四边形的面积的最大值为____________【答案】          【解析】，由正弦定理可得，所以，，，，可得，，，所以，为等边三角形，设，则，由余弦定理可得，，，所以，四边形的面积为，，，所以，当时，即当时，四边形的面积取最大值.故答案为：；.7．（2021·上海市进才中学）在锐角中，，则的取值范围为________.【答案】【解析】，利用余弦定理可得：，即，由正弦定理可得：，，即，即又为锐角三角形，，即，，又，令，则由对勾函数性质知，在上单调递增，又，，故答案为：8．（2022·河南）如图所示，在平面四边形中，已知，则的最大值为_______．【答案】56【解析】中，，中，由得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为56．故答案为：56．9．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A；(2)若△ABC是锐角三角形，且c＝4，求b的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵，∴，，∵，∴，，；(2)∵，∴，∴，∵△ABC是锐角三角形，∴，同理，根据正弦定理得，，﹒10．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若．(1)求；(2)若，求的最小值．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：由，利用正弦定理可得：，，               ∵，∴，∴；(2)由D为的中点，∴，∴，，又∵，∴   ，             ∴，∴，            当且仅当时，取最小值．题组三 三角形解的个数1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（       ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BCD【解析】根据题意，在A条件下，因为，所以角B在和上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于，所以A不满足；在B条件下，，，，根据余弦定理可得，即，解得或（舍），所以只有1个解，满足题意；在C条件下，条件为边角边，所以有唯一解；在D条件下，，因为，所以角A在和上各有一个解，当解在时，角B与角A的和大于，所以只有1个解，满足题意，故选：BCD．2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）中，角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，以下条件中，使得无解的是（       ）A．； B．；C． D．，【答案】ABD【解析】对于A，大边对大角，而a0，解得，所以，则的面积，梯形中，，与等高，且，所以的面积，则梯形的面积；(2)在梯形中，设，而，则，，，，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，两式相除得：，整理得，即解得或，因为，则，即．4．（2022·云南）如图，△ABC中，点D在AB上且满足：，．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在题设中，求△ABC的面积(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【答案】6.【解析】在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，∵，∴，即，则，即是的角平分线；，，，在中，由及正弦定理得，，∴，即.若选①：．在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，cosA＝，∴＝，则，，∴，∴．若选②：．在中，设，由正弦定理得，则，∵是的角平分线，故，在中，由余弦定理得，，解得，，BC＝，故，∴，则．若选③：．设，则，，在中，由余弦定理得，，解得，BC＝，则．5．（2022·山东聊城·一模）如图，在四边形中，.(1)求；(2)若，求四边形的面积.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为,所以，所以可化为，由二倍角公式可得：因为BD