重难点02 常用逻辑用语—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点02  常用逻辑用语

1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

(1)p∨q：“有真则真，全假才假”，即p，q中只要有一个真命题，则p∨q为真命题，只有p，q都是假命题时，p∨q才是假命题．

(2)p∧q：“有假则假，全真才真”，即p，q中只要有一个假命题，则p∧q为假命题，只有p，q都是真命题时，p∧q才是真命题．

(3)p：p与p的真假相反．

2．全称量词命题与存在量词命题的否定

(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；

(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．

3.判断充分条件、必要条件的三个法宝

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题；

(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．

2023年高考预测该知识点仍将与其他知识结合，例如与集合、函数、不等式、立体几何结合等；含有一个量词的命题的否定和充分必要条件的判定是高考的重点；考查考生的推理能力，考查形式以基础题为主，低档难度.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由于，所以命题为真命题；

由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；

所以为真命题，、、为假命题.

故选：A．

2．命题“且的否定形式是（ ）

A．且

B．或

C．且

D．或

【答案】D

【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知命题“且的否定形式是或

故选D.

3．设不是直角三角形，A和B是它的两个内角，那么（    ）

A．“”是“”的充分条件，但不是必要条件

B．“”是“”的必要条件，但不是充分条件

C．“”是“”的充分必要条件

D．“”不是“”的充分条件，也不是必要条件

【答案】D

【解析】因为不是直角三角形，

所以，，

若，满足，但，

若，满足，但，

所以“”是“”的既不充分也不必要条件.

故选：D

4．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【解析】若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；

∴ “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，

故选：A.

5．不等式组的解集为D,有下面四个命题：

， ，

，

其中的真命题是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】画出可行域，如图所示，设，则 ，当直线过点 时，取到最小值， ，故的取值范围为 ，所以正确的命题是，选B．

6．若与都是非零向量，则“”是“”的（    ）

A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

【答案】C

【解析】因为与都是非零向量，所以，

故“”是“”的充要条件.

故选：C.

7．对任意实数，，，给出下列命题：

①“”是“”充要条件；

②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；

③“”是“”的充分条件；

④“”是“”的必要条件．

其中真命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】①中“” “”为真命题，

但当时，“” “”为假命题，

故“”是“”的充分不必要条件，故①为假命题；

②中“是无理数” “是无理数”为真命题，

“是无理数” “是无理数”也为真命题，

故“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故②为真命题；

③中“” “”为假命题，如、满足，但是，

“” “”也为假命题，如、满足，但是，

故“”是“”的即充分也不必要条件，故③为假命题；

④中，故“”是“”的必要条件，故④为真命题．

故真命题的个数为2

故选：B．

8．设命题甲：的一个内角为60°．命题乙：的三内角的度数成等差数列．那么（    ）

A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件 D．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

【答案】C

【解析】的一个内角为60°，则另两内角的和为120°，因此的三内角的度数成等差数列，

反之，的三内角的度数成等差数列，由三角形内角和定理知，必有一个内角为60°，所以甲是乙的充要条件.

故选：C

9．集合，，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，

当时，由可得，此时，

因为“”是“”的充分条件，则或，解得.

故选：D.

10．已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：命题，使成立，故命题为真命题；

当，时，成立，但不成立，故命题为假命题；

故命题，，均为假命题，命题为真命题．

故选：B．

11．“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】“双曲线的方程为”“双曲线的准线方程为”

 但是“” “”，如反例：，所以为充分不必要条件，

故选：A

12．下列命题正确的是（    ）

A．若点为角终边上一点，则

B．同时满足的角有且只有一个

C．当的值恒为正

D．三角方程的解集为

【答案】D

【解析】①若点为角终边上一点，则，则，若,得，若，则,故①错误；

②同时满足，的角，，有无数多个，故②错误；③当时，，所以，故③错误；

④方程，则，即，即方程的解集为，故④正确，

故答案为:D

二、填空题

13．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是     

【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．

【解析】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．

故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．

14．若“”是真命题，则实数的最小值为_____________.

【答案】1

【解析】若“ ”是真命题，则大于或等于函数在的最大值。因为函数在上为增函数，所以，函数在上的最大值为1，所以， ，即实数 的最小值为1.

所以答案应填:1.

15．能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

【答案】y=sinx（答案不唯一）

【解析】令，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.

又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.

16．设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是__________.

①②③④

【答案】①③④

【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；

若与相交，则交点在平面内，

同理，与的交点也在平面内，

所以，，即，命题为真命题；

对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，

命题为假命题；

对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，

命题为假命题；

对于命题，若直线平面，

则垂直于平面内所有直线，

直线平面，直线直线，

命题为真命题.

综上可知，，为真命题，，为假命题，

为真命题，为假命题，

为真命题，为真命题.

故答案为：①③④.