重难点08 导数在研究函数图像与性质中的综合应用—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点08  导数在研究函数图像与性质中的应用

一.导数的计算

二.切线方程的求法

(1)已知切点A(x0，f(x0))求切线方程，可先求该点处的导数值f′(x0)，再根据y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)求解．

(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．

3.求切点坐标

已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．

三.求参数的值(范围)

1．利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．

2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点

(1)注意曲线上横坐标的取值范围．

(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．

四.解决两曲线的公切线问题的方法

(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；

(2)是设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝.

    2023年高考仍然重点考查利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度可以基础题，也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．

【答案】A

【解析】设切点为，，由题知：，

所以，解得：或（舍去）.

故选：A

2．已知曲线在点处的切线方程为，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

，

将代入得，故选D．

3．函数的图像在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故选：B.

4．曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（　　）

A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15

【答案】C

【解析】y′＝3x2，则y′|x＝1＝3，所以曲线在P点处的切线方程为y－12＝3(x－1)．

即y＝3x＋9，它在y轴上的截距为9.

5．曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，

∴曲线在点处的切线的斜率，则倾斜角为，

故选：B．

6．已知f(x)＝xlnx，若，则x0＝（    ）

A．e2 B．e C． D．ln2

【答案】B

【解析】因为f(x)＝xlnx，所以，

由，解得.

故选：B.

7．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ）

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

【答案】D

【解析】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

故选：D.

8．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，

所以，曲线在点处的切线方程为，即，

由题意可知，点在直线上，可得，

令，则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，

由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，

当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.

9．曲线在点处的切线的斜率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵y=-

∴y’==

y’|x==|x==

故选B．

10．已知函数，若，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可作出函数的图像，和函数的图像.

由图像可知：函数的图像是过原点的直线，

当直线介于与轴之间符合题意，

直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为

，

求其导数可得，因为，故，

故直线的斜率为，

故只需直线的斜率.

故选：D

11．设曲线在点处的切线与直线垂直，则

A．2 B． C． D．

【答案】D

【解析】,直线的斜率为-a.所以a=-2, 故选D

12．曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为

A． B． C． D．1

【答案】A

【解析】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为

故选：A

二、填空题

13．曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】由题，当时，，故点在曲线上．

求导得：，所以．

故切线方程为．

故答案为：．

14．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．

【答案】

【解析】∵，∴，

设切点为,则,切线斜率,

切线方程为：,

∵切线过原点，∴,

整理得：,

∵切线有两条，∴,解得或,

∴的取值范围是,

故答案为：

15．曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为，则________.

【答案】

【解析】，

，

，

曲线在点处的切线方程为，

即，令，得，

切线与轴，直线所围成的三角形的面积为，解得．

故答案为：．

16．过原点作曲线的切线，则切点的坐标为______，切线的斜率为______．

【答案】（1,） e

【解析】设切点为，因为y=ex，所以，所以切线方程为：，因为切线方程过原点，把原点坐标代入，得，所以切点坐标为，切线的斜率为．

三、解答题

17．设函数的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点（1，－11）．

(1)求a、b的值．

(2)讨论函数f（x）的单调性．

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】（1）由，

因为函数的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点（1，－11），

所以有，解得；

（2）由（1）可知，所以，

当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增，

所以当时，单调递增；当时，单调递减；

当时，单调递增.

18．已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.

【解析】（Ⅰ）因为，所以.

又因为，所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）设，则.

当时，，

所以在区间上单调递减.

所以对任意有，即.

所以函数在区间上单调递减.

因此在区间上的最大值为，最小值为.