重难点09 函数与导数的综合应用—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点09  函数与导数的综合应用

1.函数的单调性与导数的关系

提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．

2.函数的极值与导数

提醒：(1)函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点)．

(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．

3.函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

     2023年高考在导数综合应用方面，仍将以选填压轴题或解答题压轴题形式考查不等式恒（能）成立问题与探索性问题、利用导数解证不等式、利用导数研究零点或方程解问题，重点考查分类整合思想、分析解决问题能力.

（建议用时：40分钟）

一、单选题(共0分)

1．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．

考点：利用导数研究函数的单调性.

2．设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

A．函数有极大值 和极小值

B．函数有极大值 和极小值

C．函数有极大值 和极小值

D．函数有极大值 和极小值

【答案】D

【解析】则函数增；

则函数减；

则函数减；

则函数增；选D.

3．函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，解得，

再根据二次函数性质得在上，

在上，所以函数在单调递增，

在单调递减，所以，

，，

所以.

所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是.

故选：B.

4．设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（    ）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增；

当时，,函数单调递减；

当时，,函数单调递增.

只有C选项的图象符合.

故选:C.

5．若函数在是增函数，则a的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】试题分析：由条件知在上恒成立，即在上恒成立．

∵函数在上为减函数，∴,

∴．

故选D．

6．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵，即，

（1）当时，，

当时，，

故当时，在上恒成立；

若在上恒成立，即在上恒成立，

令，则，

当函数单增，当函数单减，

故，所以．当时，在上恒成立；

综上可知，的取值范围是，

故选C．

7．已知函数有唯一零点，则

A． B． C． D．1

【答案】C

【解析】因为，设，则

，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.

8．是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】解：令，，

所以在上为常函数或递减,

若在上为单调递减，所以，

即①，②

①②两式相乘得：

所以，

若在上为常函数，且，则，

即③，④，

③④两式相乘得：

所以，

综上所述，

故选：A

二、多选题

9．已知函数，则（    ）

A．有两个极值点 B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线

【答案】AC

【解析】由题，，令得或，

令得，

所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；

因，，，

所以，函数在上有一个零点，

当时，，即函数在上无零点，

综上所述，函数有一个零点，故B错误；

令，该函数的定义域为，，

则是奇函数，是的对称中心，

将的图象向上移动一个单位得到的图象，

所以点是曲线的对称中心，故C正确；

令，可得，又，

当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.

故选：AC.

10．设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（   ）

 A.    B.    C.    D.

【答案】ACD

【解析】令，求导得，当时，，所以单调递增，且至少存在一个数使，至少存在一个数使，所以必有一个零点，即方程仅有一根，故D正确；当时，若，则，易知，在上单调递增，在上单调递减，所以，

，要使方程仅有一根，则或者

，解得或，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是ACD.

11．已知函数，给出下列四个结论中正确的是（    ）

A.若，恰 有2个零点；

B.存在负数，使得恰有1个零点；

C.存在负数，使得恰有3个零点；

D.存在正数，使得恰有3个零点．

【答案】ABD

【解析】对于A，当时，由，可得或，A正确；

对于B，考查直线与曲线相切于点，

对函数求导得，由题意可得，解得，

所以，存在，使得只有一个零点，B正确；

对于C，当直线过点时，，解得，

所以，当时，直线与曲线有两个交点，

若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，

直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，

因此，不存在，使得函数有三个零点，C错误；

对于D，考查直线与曲线相切于点，

对函数求导得，由题意可得，解得，

所以，当时，函数有三个零点，D正确.

故答案为：ABD.

12．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究

对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；

对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；

若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.

故选：BC.

[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.

由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.

故选：BC.

[方法三]：

因为，均为偶函数，

所以即，，

所以，，则，故C正确；

函数，的图象分别关于直线对称，

又，且函数可导，

所以，

所以，所以，

所以，，故B正确，D错误；

若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.

故选：BC.

三、填空题(共0分)

13．函数的单调递增区间是_____________

【答案】

【解析】由题意有

令得,所以单调递增区间为.

故答案为：

14．函数在区间的最小值是_________.

【答案】

【解析】由，得，

令，解得，

又，，

所以函数的最小值为，

故答案为：.

15．设函数，若对于任意的，都有成立，则实数的值为________．

【答案】

【解析】当时，恒成立，；

当时，由得：，

令，则，

在上单调递增，，；

当时，由得：，

由得：，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，；

综上所述：实数的值为.

故答案为：.

16．已知函数，对于上的任意，有如下条件：

①； ②； ③．

其中能使恒成立的条件序号是           ．

【答案】②

【解析】函数显然是偶函数，其导数y’=2x+sinx在0<x<时，显然大于0，是增函数，因此当时，函数也是递增的.

②：.

当时，①③均不成立．

故答案为：②

四、解答题

17．设函数

(1)求的单调区间

(2)若，k为整数，且当时，求k的最大值

【答案】(1)答案见解析  (2)2

【解析】（1）函数的定义域是，，当时，，所以函数在上单调递增，

当时，时， ，当，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）由于，所以，故当， ，等价于

令，①

则，由(1)可知，当时，函数在上单调递增，而，所以在存在唯一零点，故在存在唯一零点，设此零点为，则有，当时，，当时，，

所以在上的最小时为，又由，可得，所以 ，由于①等价于，故整数的最大值为2.

18．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值

（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围.

【答案】（1），单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2）或

【解析】（1），，

在与时都取得极值，

，解得，

，

令可解得或；令可解得，

的单调递增区间为和 ，单调递减区间为；

（2），

由（1）可得当时，为极大值，而，

所以，

要使对恒成立，则，解得或.