重难点10 三角函数定义与三角函数恒等变换—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点10  三角函数定义与三角函数恒等变换

1.三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法

(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值．

方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．

(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值．

方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．

(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．

方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．

2.对sin α，cos α，tan α的知一求二问题

(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．

(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．

3.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．

4．三角函数式化简的原则和方向

(1)切化弦，统一名．

(2)用诱导公式，统一角．

(3)用因式分解将式子变形，化为最简．

也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．

5.三角函数式求值的三种题型

(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．

(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．

(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：

①已知正切函数值，选正切函数．

②已知正弦、余弦函数值，若角的范围是，选正弦、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是，选正弦函数．

2023年高考仍将重点考查同角三角函数基本关系及三角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍为选择题或填空题，难度为基础题或中档题.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

.

故选：A.

2．设θ是第二象限的角，则必有（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

θ是第二象限的角，，

即，

，A正确，B错误;

θ是第二象限的角，即

当时，，

可得，D错误；

当时，，

可得，C错误；

故选：A.

3．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由，又，所以，所以，

又，所以或（舍去），

所以.

故选：A．

4．已知，则=（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】===,故选A.

5．函数的最小值为（    ）

A．2 B．0 C． D．6

【答案】B

【解析】因为，设，则，由二次函数性质可得当上单调递减，所以当，取最小值，最小值为0，故当时，函数取最小值，最小值为0，

故选：B.

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得：，

则：，，

从而有：，

即.

故选：B.

7．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（    ）

A．–2 B．–1 C．1 D．2

【答案】D

【解析】，，

令，则，整理得，解得，即.

故选：D.

8．已知为第二象限角，，则.

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为为第二象限，所以，即，

所以，选A.

9．已知，则．

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】.

所以选A.

10．已知是第三象限的角，且，那么的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，

∴，

∵，∴，

∵角是第三象限角即，

∴，∴，

故选A．

11．4cos50°﹣tan40°=（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=

==

===．

故选C

12．已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】找角终边上一点，则，，

所以

故选A.

二、填空题(共0分)

13．如果，，那么=_______．

【答案】

【解析】因，，则，

所以.

故答案为：

14．已知 =，则的值是____.

【答案】

【解析】

故答案为：

15．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.

【答案】

【解析】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），

所以.

16．若，则__________，_________．

【答案】         

【解析】[方法一]：利用辅助角公式处理

∵，∴，即，

即，令，，

则，∴，即，

∴ ，

则.

故答案为：；.

[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程

∵，∴，即，

又，将代入得，解得，

则.

故答案为：；.

三、解答题

17．已知A、B、C是三内角，向量，且．

(1)求角A；

(2)若，求．

【答案】(1)；(2).

【解析】（1）∵，∴，即，

，，

∵，，∴，∴；

（2）由题知：，所以

整理得，

∴，∴，∴或，

而时，，与已知矛盾，舍去，

∴，

∴．

18．已知函数．

(1)求的值；

(2)设，求的值．

【答案】(1)(2)

【解析】（1）由已知，函数，

所以.

（2），

所以，

因为，所以，

所以，

①当时，

而当时，，所以此种情况不成立；

②当时，

.

所以的值为.