重难点23 空间向量及其应用—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（原卷版）

重难点23   空间向量及其应用

1.向量法求两条异面直线所成角的基本步骤：

（1）建立合适的空间直角坐标系

（2）求出各点的坐标，得出两直线的方向向量

（3）利用向量夹角公式计算

（4）判断所得夹角是两条直线所成角还是补角，并得出结论

2.利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为：

①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量；③求平面的法向量；

④计算：设线面角为θ，则；⑤作答.

3.利用法向量求二面角大小的一般步骤：

1）建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；

2）求出平面的法向量，平面的法向量

3）进行向量运算求出法向量的夹角；

4）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：

重点考查有关空间的线线角、线面角、二面角与空间的距离的计算问题，2023年仍会是高考的热点，题型多为解答题的第2问.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．正三棱柱中，若，则与所成的角的大小为（    ）

A．60° B．90° C．45° D．120°

2．如图，是直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

3．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

5．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．

6．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为

A． B． C． D．

二、填空题

7．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．

8．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是______．

9．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是____________ .

10．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为   .

三、解答题

11．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

12．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

13．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．

（1）求；

（2）求二面角的正弦值．

14．如图，在三棱锥中，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．

15．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值．

16．在四棱锥中，底面是正方形，若．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

17．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面，是的中点．

（1）证明：直线平面；

（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．

18．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．

(1)求A到平面的距离；

(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．