重难点28 直线与圆锥曲线的位置关系—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（原卷版）

重难点28  直线与圆锥曲线的位置关系

1、直线与圆锥曲线问题的特点：

（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉），

（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设，至于坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂

（3）通过联立方程消元，可得到关于（或）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出（所谓“设而不求”）

（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可简化运算的过程

这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（，坚持数形结合，坚持整体代入。直至解决解析几何问题“

2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。

3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：

（1）斜截式：，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去则此形式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件

（2），此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方程后消去时使用，多用于抛物线（消元后的二次方程形式简单）。此直线不能直接体现斜率，当时，斜率

4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或

（1）证明：因为在直线上，所以

   ，代入可得：

同理可证得

（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果为直线与曲线的交点（即为曲线上的弦），则（或）可进行变形：，从而可用方程的韦达定理进行整体代入。

5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方程为例，设直线与椭圆交于两点，则该两点满足椭圆方程，有：

   考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：

  ①

  ②

由等式可知：其中直线的斜率，中点的坐标为，这些要素均在②式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线的斜率与中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由①可得在涉及坐标的平方差问题中也可使用点差法。

直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线位置关系仍然是2023年的高考热点。命题角度：（1）定点、定值问题；（2）最值、范围问题；

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，则

A． B． C． D．

2．已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为

A． B． C． D．

3．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．2

4．设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

5．已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是

A． B． C． D．

6．设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为

A． B． C． D．

7．（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是

A． B．

C． D．

8．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）

A． B．3 C． D．2

9．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

10．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=

A．5 B．6 C．7 D．8

11．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（    ）

A．  B． C． D．

12．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

二、填空题

13．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

14．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．

15．已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．

16．已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．

三、解答题

17．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．

（1）求的方程；

（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．

18．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.