重难点24 直线与圆—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点24 直线与圆

1.斜率取值范围的两种求法

2.求直线方程的两种方法

3.处理直线方程综合应用的两大策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．

4.判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系．

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．

5.弦长的两种求法

①代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．

②几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长

l＝2.

6.圆的切线方程的两种求法

①代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.

②几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.

7.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．

直线方程、圆的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基．

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知直线的图像如图所示，则角是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】D

【解析】结合图像易知，，，

则角是第四象限角，

故选：D.

2．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】圆的圆心为点，又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率．由点斜式得直线，化简得，故选D．

3．已知直线：与：平行，则的值是（   ）.

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】C

【解析】由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为 y=-1 和 y=3/2，显然两直线平行．当k-3≠0时，由，可得 k=5．综上，k的值是 3或5，

故选 C．

4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为，则圆的半径为，

圆的标准方程为.

由题意可得，

可得，解得或，

所以圆心的坐标为或，

圆心到直线的距离均为；

圆心到直线的距离均为

圆心到直线的距离均为；

所以，圆心到直线的距离为.

故选：B.

5．已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则    

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题可得圆心为，半径为2，

则圆心到直线的距离，

则弦长为，

则当时，弦长取得最小值为，解得.

故选：C.

6．点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【解析】由可知直线过定点，设，

当直线与垂直时，点到直线距离最大，

即为.

故选：B.

7．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】在圆上任取一点,则此点关于直线的对称点在圆上,所以有，即,所以答案为,故选B.

8．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】D

【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点，设反射光线所在直线的斜率为，则反射光线所在直线方程为：，即：.

又因为光线与圆相切，所以，,

整理：，解得：，或,故选D．

9．在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】试题分析：设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A.

10．已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3，

∴若与关于x轴对称，则，即，

由图易知，当三点共线时取得最小值，

∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，

∴.

故选：A.

11．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直线分别与轴，轴交于，两点

,则

点P在圆上

圆心为（2，0），则圆心到直线距离

故点P到直线的距离的范围为

则

故答案选A.

12．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】为单位圆上一点，而直线过点，

所以的最大值为，选C.

二、填空题

13．过四点中的三点的一个圆的方程为____________．

【答案】或或或．

【解析】[方法一]：圆的一般方程

依题意设圆的方程为，

（1）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（2）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（3）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；

故答案为：或 或 或．

[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）

设

（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，

则，所以圆的方程为；

（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；

（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；

（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．

故答案为：或 或 或．

14．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．

【答案】

【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，

所以所在直线即为直线，所以直线为，即；

圆，圆心，半径，

依题意圆心到直线的距离，

即，解得，即；

故答案为：

15．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．

【答案】

【解析】设直线的方程为，则点，

由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，

则，解得或，所以，

因为，故.

故答案为：.

16．写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．

【答案】或或

【解析】[方法一]：

显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，

于是，

故①，于是或，

再结合①解得或或，

所以直线方程有三条，分别为，，

填一条即可

[方法二]：

设圆的圆心，半径为，

圆的圆心，半径，

则，因此两圆外切，

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；

又由方程和相减可得方程，

即为过两圆公共切点的切线方程，

又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，

直线OC与直线的交点为，

设过该点的直线为，则，解得，

从而该切线的方程为填一条即可

[方法三]：

圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

当切线为l时，因为，所以，设方程为

O到l的距离，解得，所以l的方程为，

当切线为m时，设直线方程为，其中，，

由题意，解得，

当切线为n时，易知切线方程为，

故答案为：或或.

三、解答题

17．在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的直角坐标方程；

（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.

【答案】(1) ；(2) .

【解析】（1）由，，，代入得，，即的直角坐标方程为．

（2）［方法一］：【最优解】分类讨论

由（1）知是圆心为，半径为的圆．

而是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．

综上，所求的方程为．

［方法二］：解方程组法

联立，化简可得，，

当时，，因为与有且仅有三个公共点，所以该方程必然有实根，而，设方程的两实根为，由可知，方程有两个相异或相等正根．

当时，，因为与有且仅有三个公共点，所以该方程必然有实根，而，设方程的两实根为，由可知，方程有两个相异或相等负根．

当方程组有两个相异正根，两相等负根时，，解得：；

当方程组有两个相等正根，两相异负根时，，解得：．

综上，所求的方程为．

18．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

【答案】（1）；（2）2．

【解析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，

设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．

由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．

故由，解得：．

故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点．

（2）设M；N，

由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程，

可得，

∴，

∴，

由，解得 k=1，

故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2