重难点19 不等式性质与基本不等式—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（原卷版）

重难点19   不等式性质与基本不等式

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法

(2)作商法

3.不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).

2. 求解一元二次不等式的三个步骤

(1) 解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0得到根；

(2) 结合二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；

(3) 写出一元二次不等式的解集．

[常用结论与微点提醒]

1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.

2.有关分式的性质

(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).

(2)若ab>0，且a>b⇔<.

2023年仍将与集合运算结合重点考查一元二次不等式解法与分段函数不等式的解法，基本不等式的多在解析几何、函数最值中考查，难度为基础题或中档题.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知集合，则

A． B．

C． D．

2．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

3．设，是实数，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．若，且，则下列不等式中，恒成立的是

A． B． C． D．

5．下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

6．已知为非零实数，且，则下列命题成立的是

A． B． C． D．

7．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是（    ）

A．< B．a2>b2

C．> D．a|c|>b|c|

8．若则一定有

A． B． C． D．

9．若实数满足，则的最小值为

A． B．2 C． D．4

10．若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是

A．  B．

C．  D．

11．若，，则

A． B． C． D．

12．设，，则

A． B．

C． D．

二、填空题

13． 设，使不等式成立的的取值范围为__________.

14．若正数x，y满足，则的最小值是______．

15．已知，且，则的最小值为_________．

16．对于实数，若，，则的最大值为___________.

三、解答题

17．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

18．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．