重难点21 空间几何体的结构特征、表面积、体积—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（原卷版）

重难点21   空间几何体的结构特征、表面积、体积

1.三视图画法的基本原则

长对正，高平齐，宽相等；画图时看不到的线画成虚线．

2．由三视图还原几何体的步骤

3.通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题：①求几何体的表面积或侧面积；②求几何体表面上任意两个点的最短表面距离．

4.求空间几何体的体积的常用方法

5．多面体的内切球与外接球常用的结论

(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝

(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝

(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝，内切球半径，外接球半径

主要考查三视图、几何体体积与表面积计算，此类问题属于中档题目；对于球与棱柱、棱锥的切接问题，知识点较整合，难度稍大。仍然是2023年高考考查的热点。

于中档题目.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（ ）

A． B． C． D．

2．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（    ）

A． B． C． D．

3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（    ）

A． B． C． D．

4．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

5．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（    ）

A． B． C． D．

6．在长方体中，如果，，那么点到直线的距离等于（    ）．

A． B． C． D．

7．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.

故选：B.

8．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

9．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（    ）

A． B． C． D．

10．已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（    ）

A． B． C． D．

11．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ）

A． B． C． D．

12．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，则这个球的表面积是           

14．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是_____________．

15．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．

16．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.

三、解答题

17．如图，长方体框架三边的长分别为6、8、3.6，与底面的对角线垂直于E．

(1)证明；

(2)求的长．

18．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．

（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；

（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；

（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．