重难点30 计数原理、排列组合—2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（解析版）

重难点30  两个计数原理、排列组合

1.利用两个基本计数原理解决问题的步骤

2.求解排列应用问题的六种常用方法

3.组合问题的常见类型与处理方法

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．

分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配

(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：

①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；

②部分均匀分组，应注意不要重复；

③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．

(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：

①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；

②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；

③有限制条件的分配问题，采用分类求解．

两个计数原理是解决排列、组合问题的基本方法，同时又能独立地解决一些简单的计数问题，在高考中占有一席之地，通常会有一道小题。

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（    ）

A．2种 B．3种 C．6种 D．8种

【答案】C

【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法

所以，不同的安排方法共有种

故选：C

2．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

【答案】B

【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，

故选：B

3．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有

A．60种 B．63种 C．65种 D．66种

【答案】D

【解析】要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得个偶数时，有种结果，当取得个奇数时，有种结果，当取得奇偶时有种结果,共有种结果.故答案为D.

4．已知的二项展开式中，第三项与第项的二项式系数和为84，则第四项的系数为（    ）

A．280 B．448 C．692 D．960

【答案】B

【解析】由题，，

因为第三项与第项的二项式系数和为84，所以，即，

所以，解得，

所以第四项的系数为，

故选：B

5．现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（    ）

A．12 B．120 C．1440 D．17280

【答案】C

【解析】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，

再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.

所以共有种不同安排方法.

故选：C

6．若，则（    ）

A．40 B．41 C． D．

【答案】B

【解析】令，则，

令，则，

故，

故选：B.

7．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

【答案】C

【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，

故选：C.

8．将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，

每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】A

【解析】试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有种选法；第二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选名教师和名学生，有种选法，故不同的安排方案共有种，故选A．

9．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

【答案】D

【解析】4项工作分成3组,可得：=6，

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

可得：种．

故选D.

10．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有

A．144个 B．120个 C．96个 D．72个

【答案】B

【解析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；

分两种情况讨论：

①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，

②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，

共有72+48=120个．

故选B

11．的展开式中，的系数为

A．10 B．20

C．30 D．60

【答案】C

【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.

考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.

12．现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张.从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张.不同取法的种数为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：3张卡片不能是同一种颜色，有两种情形：三种颜色或者两种颜色，如果是三种颜色，取法数为，如果是两种颜色，取法数为，所以取法总数为，故选C．

二、填空题

13．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）

【答案】1080

【解析】

14．把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有____________种.

【答案】36

【解析】试题分析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.

15．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.

【答案】

【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学

先取2名同学看作一组，选法有：

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种

故答案为：.

16．的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

【答案】

【解析】

其二项式展开通项：

当，解得

的展开式中常数项是：.

故答案为：.

17．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．

【答案】-28

【解析】因为，

所以的展开式中含的项为，

的展开式中的系数为-28

故答案为：-28

18．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

【答案】

【解析】［方法一］：反面考虑

没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，

故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．

故答案为：.

［方法二］：正面考虑

若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；

若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．

故答案为：.