专题2.1 尺规作图-八年级数学下学期期末复习宝典（北师大版）

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   题型一：垂直平分线1. 如图，AC是ABCD的对角线.（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE;（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若AB＝3，BC＝5，求△DCE的周长。【解析】解：（1）如答图，CE即为所求作.（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3.∵点E在线段AC的垂直平分线上，∴EA＝EC.∴△DCE的周长为CE+DE+CD＝EA+DE+CD＝AD+CD＝5+3＝8．2. 某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示点M，N表示大学，OA，OB表示公路现计划修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规确定仓库所在的位置． 【解答】解：如图所示，P在的平分线和MN的垂直平分线的交点上，点P就是仓库应该修建的位置．． 题型二：角平分线如图，已知ABCD．（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC的延长线于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．【解析】（1）解：如答图，AF即为所求．（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵AF平分∠BAD，∴∠1=∠3．∴∠2=∠4．∴CE=CF．2. 如图，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长【解析】解：（1）如答图，射线CM即为所求．（2）∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC．∴，即．∴AD=4．3．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C．（1）尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于点O，交AE于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的图形中，试说明：AB=AD=BC．【解析】解：（1）如答图，BO即为所求（2）．∵AE∥BF，∴∠EAC=∠BCA．∵AC平分∠BAE，∴∠EAC=∠BAC．∴∠BCA=∠BAC．∴BA=BC．∵BD⊥AO，AO平分∠BAD，∴AB=AD．∴AB=AD=BC．4．（2020•泰州）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内．（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若a≈2，A点的坐标为（3，1），求P点的坐标．【分析】（1）根据角平分线的性质即可用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a；（2）在（1）的条件下，根据a≈2，A点的坐标为（3，1），利用勾股定理即可求P点的坐标．【解析】（1）如图，点P即为所求；（2）由（1）可得OP是角平分线，设点P（x，x），过点P作PE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，AD⊥PE于点D，∵PA＝a≈2，A点的坐标为（3，1），∴PD＝x﹣1，AD＝x﹣3，根据勾股定理，得PA2＝PD2+AD2，∴（2）2＝（x﹣1）2+（x﹣3）2，解得x＝5，x＝﹣1（舍去）．所以P点的坐标为（5，5）．5．（2020•武威）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作∠ABC的角平分线交AD于点E；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【分析】（1）根据尺规作基本图形的方法：①作∠ABC的角平分线交AD于点E即可；②作线段DC的垂直平分线交DC于点F即可．（2）连接EF，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．【解析】（1）如图，①BE即为所求；②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F．（2）∵BD＝BA，BE平分∠ABD，∴点E是AD的中点，∵点F是CD的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴线段EF和AC的数量关系为：EFAC，位置关系为：EF∥AC． 题型三：平移和旋转1. 平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为.按下列要求画图:① 将向下平移个单位得到并写出点的坐标；② 将绕原点逆时针旋转后得到并写出点的坐标；【解答】（1）①如下图所示：△A1B1C1即为所求，点A1(1，-4)；②如图所示：△A2B2C2，点B2（-1，5）；