6. 2023年中考数学复习 解答题专练六 锐角三角函数

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2023年中考数学复习之锐角三角函数解答题专练1．（2022·吉林中考）动感单车是一种新型的运动器械．图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）   2．（2022·成都中考）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，）    3．（2022·河南中考）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）．    4．（2022·恩施中考）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，求古亭与古柳之间的距离AB的长（参考数据：，，结果精确到1m）．   5．（2022·大连中考）如图，莲花山是大连著名的景点之一，游客可以从山底乘坐索道车到达山项，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为，测得白塔顶部C的仰角的为．索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟．(1)索道车从A处运行到B处的距离约为________米；(2)请你利用小明测量的数据，求白塔的高度（结果取整数）．（参考数据：）        6．（2022·宁波中考）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）       7．（2022·淄博中考）如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.1560.1580.2760.287           8．（2022·资阳中考）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道的长度．（结果保留根号）        9．（2022·枣庄中考）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告活动课题测量台儿庄古城城门楼高度活动目的运用三角函数知识解决实际问题活动工具测角仪、皮尺等测量工具方案示意图测量步骤如图②（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；（2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．参考数据sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．计算城门楼PO的高度（结果保留整数） 10．（2022·贵阳中考）交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25°，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．(1)求，两点之间的距离（结果精确到1m）；(2)若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，）         11．（2022·济宁中考）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．∵，∴，∴(1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．(2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．         12．（2022·株洲中考）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处．如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米．(1)求的度数；(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程．         13．（2022·临沂中考）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计，某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：活动内容测量主塔顶端到桥面的距离成员组长：×××    组员：××××××××××××测量工具测角仪，皮尺等测量示意图说明：左图为斜拉索桥的侧面示意图，点A、C，D，B在同一条直线上，，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称测量数据的大小28°AC的长度84mCD的长度12m请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到AB的距离（参考数据：，，）．      14．（2022·盐城中考）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．(1)求、两点之间的距离；(2)求长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）        15．（2022·自贡中考）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器90°刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点共线（如图②），此目标的仰角．请说明两个角相等的理由．(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为1.5米，求树高．（，结果精确到0.1米）(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距离地面高度（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （在同一直线上），分别测得点的仰角，再测得间的距离，点 到地面的距离均为1.5米，求（用表示）．
参考答案1．解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，∵sin∠ACE=，即sin58°=，∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm．2．解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，∴OA=，在Rt△中，，cm，∴cm．3．解：如图，延长交于点，则四边形是矩形， 则，，在中，，在中，，，即，解得， (m)．拂云阁DC的高度约为32m．4．解：如图，过点作的垂线，交延长线于点，由题意得：，设，则，在中，，在中，，，则，解得，则，答：古亭与古柳之间的距离的长约为．5． 解：（1）∵索速车运行的速度是1米/秒，索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟，∴（米）故答案为：300（2）由题意可得： 米，∴ ∴（米）所以白塔的高度约为米．6．解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，∴AB==15（m），∴此时云梯AB的长为15m；（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，理由：由题意得：DE=BC=2m，∵AE=19m，∴AD=AE-DE=19-2=17（m），在Rt△ABD中，BD=9m，∴AB= （m），∵m＜20m，∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．7．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：·由题意知，EG= BF= 40米，EF= BG= 12.88米，∠HAE= 16°= ∠AEG= 16°，∠CAH =9°，在Rt△AEG中， tan ∠AEG=，∴tan 16°=，即0.287≈，∴AG = 40×0.287=11.48（米），∴AB = AG+BG=11.48+12.88= 24.36（米），∴HD= AB =24.36米，在Rt△ACH中，AH =BD= BF＋FD=80米，tan∠CAH =，∴tan 9°= ，即0.158≈，∴CH =80×0.158= 12.64（米），∴CD=CH＋HD = 12.64＋24.36= 37.00（米），则综合楼的高度约是37.00米．8．解：（1）由题意可知：，.∴（米）答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作于点E．∵是东西走向∴在中，∴在中，∴∴（米）答：隧道的长为米9．解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，∴OP≈1.5OA＝1.5x米，在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米，∴1.5x＝0.8（x+10），解得：x＝，∴OP≈1.5x＝1.5×≈17米，答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米．10．解：（1） 四边形是平行四边形 四边形是矩形，在中，在中，，.答：，两点之间的距离为760米；（2） ，小汽车从点行驶到点未超速．11．解：（1）证明：作CD⊥AB于点D，AC⊥BC于点E．在RtΔABE中，，同理：，． ．．．．（2）在ΔABC中，∴.解得.答：点A到点B的距离为m．12． 解：（1）∵山坡②的坡度，∴，∴，∵，∴，（2）∵，，∴，∴千米，∵，，∴，∴，∴该登山运动爱好者走过的路程．．13．解：延长EF交AB于M， ，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称，，，，，，，答：主塔顶端E到AB的距离约为47.7m．14． 解：（1）如图2，连接，过点作，交的延长线于．在中，，，所以，，所以，在中，m，m，根据勾股定理得m，答：、两点之间的距离约6.7m．（2）如图2，过点作，垂足为，则四边形为矩形，m，，所以m，在中，m，m，根据勾股定理得m．m．答：的长为4.5m．15．解：（1）证明：∵∴∴（2）由题意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米，，在Rt△POQ中，tan∠POQ=.∴.∴（米）故答案为：10.2米．（3）由题意得：，由图得：，∴∴∴∴米.故答案为：米