初中数学北师大版九年级下册第一章 直角三角形的边角关系4 解直角三角形习题

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2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.4解直角三角形
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•鸡西）如图，在△ABC中，sinB=13，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（　　）

A．2 B．52 C．5 D．2
【分析】过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，根据已知求出AD＝2DC，AB＝3AD，求出AD、CD的长，根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵tanC＝2=ADDC，sinB=13=ADAB，
∴AD＝2DC，AB＝3AD，
∵AB＝3，
∴AD＝1，DC=12，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC=AD2+DC2=12+(12)2=52，
故选：B．
2．（2020•凉山州）如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（　　）

A．12 B．22 C．2 D．22
【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．
【解答】解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，
AD=22+22=22，BD=12+12=2，
∴tanA=BDAD=222=12，
故选：A．

3．（2020•聊城）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（　　）

A．355 B．175 C．35 D．45
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．

在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC=AH2+CH2=42+32=5，
∴sin∠ACH=AHAC=45，
故选：D．
4．（2020•遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°=ACCD=12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）

A．2+1 B．2-1 C．2 D．12
【分析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD=2，根据tan22.5°=ACCD计算即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，

设AC＝BC＝1，则AB＝BD=2，
∴tan22.5°=ACCD=11+2=2-1，
故选：B．
5．（2019•西宁）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝6，CD＝5，则∠ACD的正切值是（　　）

A．43 B．35 C．53 D．34
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．
【解答】解：∵CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，CD＝5，
∴AB＝10，
∴AC＝8，
∴tan∠A=BCAC=68=34，
∴tan∠ACD的值34．
故选：D．
6．（2020•盐池县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝8，BC＝6，则∠ACD的正切值是（　　）

A．43 B．35 C．53 D．34
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．
【解答】解：∵CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴tan∠A=BCAC=68=34，
∴tan∠ACD的值34．
故选：D．
7．（2020•铁西区二模）如图，过点C（﹣2，5）的直线AB分别交坐标轴于A（0，2），B两点，则tan∠OAB＝（　　）

A．25 B．23 C．52 D．32
【分析】方法1、利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后求得B的坐标，进而利用正切函数定义求解．
方法2、先求出AD，即可得出结论．
【解答】解：方法1、设直线AB的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：-2k+b=5b=2，
解得k=-32b=2，
则直线AB的解析式是y=-32x+2．
在y=-32x+2中令y＝0，解得x=43．
则B的坐标是（43，0），即OB=43．
则tan∠OAB=OBOA=432=23．
故选B．
方法2、过点C作CD⊥y轴，
∵C（﹣2，5），
∴CD＝2，OD＝5，
∵A（0，2），
∴OA＝2，
∴AD＝OD﹣OA＝3，
在Rt△ACD中，tan∠OAB＝tan∠CAD=CDAD=23，
故选：B．

8．（2020•临潭县校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，AC＝10，则S△ABC等于（　　）
A．3 B．300 C．503 D．150
【分析】tanA=BCAC=3，已知AC，即可求得BC的长从而求出面积．
【解答】解：∵tanA=BCAC=3，
∴BC＝AC•tanA＝10×3＝30，
∴S△ABC=12AC•BC=12×10×30＝150，
故选：D．
9．（2019•湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=57，则BC的长是（　　）

A．10 B．8 C．43 D．26
【分析】设CD＝5x，BD＝7x，则BC＝26x，由AC＝12即可求x，进而求出BC．
【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC=57，
设CD＝5x，BD＝7x，
∴BC＝26x，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，
∴AD＝BD＝7x，
∴AC＝12x，
∵AC＝12，
∴x＝1，
∴BC＝26；
故选：D．
10．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC=14，则sinB的值为（　　）

A．102 B．153 C．64 D．104
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中可求出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出sinB的值．
【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD＝CA•cosC＝1，
∴AD=AC2-CD2=15；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD=15，
∴AB=BD2+AD2=26，
∴sinB=ADAB=104．
故选：D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020•吴忠一模）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为　45　．

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则在Rt△ADC中，先由勾股定理得出AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

则∠ADC＝90°，由勾股定理得：
AC=32+42=5，
∴sin∠BAC=CDAC=45．
故答案为：45．
12．（2019秋•新化县期末）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长均为1，则tan∠BAC的值为　1　．

【分析】连接BC，由勾股定理求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可得出所求．
【解答】解：连接BC，
由网格可得AB＝BC=22+12=5，AC=32+12=10，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
则tan∠BAC＝1，
故答案为：1．

13．（2020•新泰市一模）如图，在△ABC和△ACD中，∠B＝∠D，tanB=12，BC＝5，CD＝3，∠BCA＝90°-12∠BCD，则AD＝　25　．

【分析】本题介绍两种解法：
解法一：如图1，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCA≌△QCA，则∠B＝∠Q＝∠D，根据等腰三角形的性质得：AD＝AQ，由三角函数定义可得AH的长，根据勾股定理计算AD的长；
解法二：作辅助线，构建三角形全等，根据tanB=12=FGBG，设FG＝x，BG＝2x，则BF=5x，求得x=35，即FG=35，证明A、B、D、C四点共圆，根据四点共圆的性质得：∠DCE＝∠ABD，∠BCA＝∠ADB，证明△ABF≌△ADC（SAS），则AF＝AC，利用勾股定理得：AB2＝BH2+AH2＝42+AH2①，由面积法得：S△ABF=12AB•GF=12BF•AH，则AH2=AB25②，两式计算可得AD的长．
【解答】解：解法一：如图1，延长DC至Q，使CQ＝BC＝5，连接AQ，过A作AH⊥DQ于H，
则DQ＝DC+CQ＝CD+BC＝3+5＝8，
∵∠BCA+∠ACQ+∠BCQ＝180°，
∵∠BCA＝90°-12∠BCD，
设∠BCD＝x°，则∠BCA＝90-12x°，
∴∠ACQ＝180°﹣x°﹣（90°-12x）＝90-12x°＝∠BCA，
∴AC＝AC，
∴△BCA≌△QCA，
∴∠B＝∠Q＝∠D，
∴AD＝AQ，
∵AH⊥DQ，
∴DH＝QH=12QD＝4，
tan∠B＝tan∠Q=AHQH=AH4=12，
∴AH＝2，
∴AQ＝AD＝25；
解法二：如图2，在BC上取一点F，使BF＝CD＝3，连接AF，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣3＝2，
过F作FG⊥AB于G，
∵tanB=12=FGBG，
设FG＝x，BG＝2x，则BF=5x，
∴5x＝3，
x=35，
即FG=35，
延长AC至E，连接BD，
∵∠BCA＝90°-12∠BCD，
∴2∠BCA+∠BCD＝180°，
∵∠BCA+∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠BCA＝∠DCE，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴A、B、D、C四点共圆，
∴∠DCE＝∠ABD，∠BCA＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
在△ABF和△ADC中，
∵AB=AD∠ABC=∠ADCBF=CD，
∴△ABF≌△ADC（SAS），
∴AF＝AC，
过A作AH⊥BC于H，
∴FH＝HC=12FC＝1，
由勾股定理得：AB2＝BH2+AH2＝42+AH2①，
S△ABF=12AB•GF=12BF•AH，
∴AB•35=3AH，
∴AH=AB5，
∴AH2=AB25②，
把②代入①得：AB2＝16+AB25，
解得：AB=±25，
∵AB＞0，
∴AD＝AB＝25，
故答案为：25．


14．（2020•杨浦区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA=43，则CD＝　65　．

【分析】延长AD和BC交于点E，在直角△ABE中利用三角函数求得BE的长，则EC的长即可求得，然后在直角△CDE中利用三角函数的定义求解．
【解答】解：延长AD和BC交于点E．
∵在直角△ABE中，tanA=BEAB=43，AB＝3，
∴BE＝4，
∴EC＝BE﹣BC＝4﹣2＝2，
∵△ABE和△CDE中，∠B＝∠EDC＝90°，∠E＝∠E，
∴∠DCE＝∠A，
∴直角△CDE中，tan∠DCE＝tanA=DEDC=43，
∴设DE＝4x，则DC＝3x，
在直角△CDE中，EC2＝DE2+DC2，
∴4＝16x2+9x2，
解得：x=25，
则CD=65．
故答案是：65．

15．（2019秋•河池期末）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是　2　cm2．

【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4cm，
∴AC＝2cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝2cm．
故S△ACF=12×2×2＝2（cm2）．
故答案为：2．
16．（2020•武威模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB=23，则AC的长是　3　．

【分析】设CD＝x，在Rt△ACD中，根据∠DAC＝30°的正切可求出AC．在Rt△ABC中，根据勾股定理得到关于x的方程，解得x，即可求出AC．
【解答】解：设CD＝x，则AC=CDtan30°=3x，
∵AC2+BC2＝AB2，AC2+（CD+BD）2＝AB2，
∴（ 3x）2+（x+2）2＝（2 3）2，
解得，x＝1，∴AC=3．
故答案为3．
17．（2020•浙江自主招生）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，则tan∠CAD的值　15　．

【分析】延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=53，即ADAB=53，设AD＝5x，则AB＝3x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：CEAB=DEAD=CDBD=12，进而可得CE=32x，DE=52x，从而可求tan∠CAD=ECAE=15．
【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB=53，即ADAB=53，
∴设AD＝5x，则AB＝3x，
∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴CEAB=DEAD=CDBD=12，
∴CE=32x，DE=52x，
∴AE=152x，
∴tan∠CAD=ECAE=15，
故答案为15．

18．（2020•吴江区三模）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C=45，那么GE＝　172　．

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理、三角形相似可以求得GE的长，本题得以解决．
【解答】解：作EF⊥BC于点F，
∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C=45，
∴AD⊥BC，AD＝3，CD＝4，
∴AD∥EF，BC＝8，
∴EF＝1.5，DF＝2，△BDG∽△BFE，
∴DGFE=BDBF=BGBE，BF＝6，
∴DG＝1，
∴BG=17，
∴46=17BE，
得BE=3172，
∴GE＝BE﹣BG=3172-17=172，
故答案为：172．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•朝阳区期末）如图，在△ABC中，∠B＝30°，tanC=43，AD⊥BC于点D．若AB＝8，求BC的长．

【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以求得AD的长，然后即可求得BD的长，再根据AD的长和tanC=43，可以求得CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝8，
∴AD＝4，BD=43，
∵在Rt△ADC中，tanC=43，AD＝4，
∴CD=4tanC，
∴CD＝3．
∴BC＝BD+CD=43+3．
20．（2019秋•普宁市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD=34，求sinC的值．

【分析】先利用三角函数求出BD，进而求出CD，最后用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠BAD=BDAD=34，
∴BD＝ADtan∠BAD＝9，
∵BC＝14，
∴CD＝BC﹣BD＝5，
∴AC=AD2+CD2=13，
∴sinC=ADAC=1213．
21．（2020•临泉县模拟）如图，AD是△ABC的中线，tanB=15，cosC=22，AC=2．求：
（1）BC的长；
（2）∠ADC的正弦值．

【分析】（1）如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，求出AH＝CH＝1，在Rt△ABH中，求出BH即可解决问题；
（2）在Rt△ADH中，求出DH，AD即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H．

在Rt△ACH中，∵cosC=22=CHAC，AC=2，
∴CH＝1，AH=AC2-CH2=1，
在Rt△ABH中，∵tanB=AHBH=15，
∴BH＝5，
∴BC＝BH+CH＝6．

（2）∵BD＝CD，
∴CD＝3，DH＝2，AD=AH2+DH2=5
在Rt△ADH中，sin∠ADH=AHAD=55．
∴∠ADC的正弦值为55．
22．（2020•谷城县校级自主招生）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB=13，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．

【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解Rt△ADC，得出DC＝1；解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD＝22，然后根据BC＝BD+DC即可求解；
（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE＝CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1．
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB=13，AD＝1，
∴AB=ADsinB=3，
∴BD=AB2-AD2=22，
∴BC＝BD+DC＝22+1；

（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE=12BC=2+12，
∴DE＝CE﹣CD=2+12-1=2-12，
∴tan∠DAE=DEAD=2-121=2-12．
23．（2020•霍林郭勒市模拟）在一次数学活动课上，数学老师在同一平面内将一副直角三角板如图位置摆放，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．

【分析】过点B作BM⊥FD于点M，解直角三角形求出BC，在△BMC值解直角三角形求出CM，BM，推出BM＝DM，即可求出答案．
【解答】解：
过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝AC tan60°＝103，
∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．
∴BM＝BC•sin30°＝103×12=53，
CM＝BC•cos30°＝103×32=15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝53，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣53．
24．（2019•杭州模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA=45，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．

【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA=BCAB=45，则可计算出AB＝10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=12AB＝5；
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积公式得到S△BDC＝S△ADC，则S△BDC=12S△ABC，即12CD•BE=12•12AC•BC，于是可计算出BE=245，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴sinA=BCAB=45，
而BC＝8，
∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴CD=12AB＝5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，
∴AC=AB2-BC2=6，
∵D是AB中点，
∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDC=12S△ABC，即12CD•BE=12•12AC•BC，
∴BE=6×82×5=245，
在Rt△BDE中，cos∠DBE=BEBD=2455=2425，