北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数练习题

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2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.10二次函数的综合问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•平顶山模拟）下列关于二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（　　）
A．只有一个交点，且它位于y轴的右侧
B．只有一个交点，且它位于y轴的左侧
C．有两个交点，且它们位于y轴的两侧
D．有两个交点，且它们位于y轴的右侧
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解析】∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2﹣a+1（a＞1），
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
当y＝0时，△＝（﹣2a）2﹣4a×1＝4a2﹣4a＝（2a﹣1）2﹣1＞0，即该函数与x轴有两个交点，
当x＝0时，y＝1＞0，
∴该函数与x轴两个交点，且它们位于y轴的右侧，故选项D正确，选项A、B、C错误；
故选：D．
2．（2020•旌阳区模拟）已知y关于x的函数表达式是y＝ax2﹣4x﹣a，下列结论不正确的是（　　）
A．若a＝﹣1，函数的最大值是5
B．若a＝1，当x≥2时，y随x的增大而增大
C．无论a为何值时，函数图象一定经过点（1，﹣4）
D．无论a为何值时，函数图象与x轴都有两个交点
【分析】根据二次函数的性质和题目中的函数解析式可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解析】∵y＝ax2﹣4x﹣a，
∴当a＝﹣1时，y＝﹣x2﹣4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，则当x＝2时，函数取得最大值，此时y＝5，故选项A不符合题意；
当a＝﹣1时，该函数图象开口向下，对称轴是直线x=--42a=2，则当x≥2时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；
由y＝ax2﹣4x﹣a＝a（x2﹣1）﹣4x知，x2﹣1＝0时，x＝±1，则y＝±4，即无论a为何值时，函数图象一定经过点（1，±4），故选项C不符合题意；
当a＝0，函数为y＝﹣4x，图象与x轴都只有1个交点，故选项D符合题意；
故选：D．
3．（2020•成都模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①当x＜0时，y随x增大而增大；
②抛物线一定过原点；
③方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝0或x＝﹣4；
④当﹣4＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；
⑤a﹣b+c＜0．
其中结论错误的个数有（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据函数图象变化趋势进行解答；
②根据对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，便可判断；
③根据抛物线与x轴的交点横坐标进行判断；
④根据﹣4＜x＜0时，抛物线在x轴上方，进行判断；
⑤根据当x＝﹣1时，y的函数值的位置进行判断．
【解析】①由函数图象可知，当﹣2＜x＜0时，y随x增大而减小，
则此小题结论错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），
∴另个交点为（0，0），即抛物线一定过原点，
则此小题结论正确；
③∵抛物线与x轴交于（﹣4，0）和（0，0），
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝0或x＝﹣4，
则此小题结论正确；
④由函数图象可知，当﹣4＜x＜0时，抛物线在x轴上方，即ax2+bx+c＞0，
则此小题结论正确；
⑤则函数图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
则此小题结论错误；
故选：B．
4．（2020•海门市二模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度） （0≤x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　）

A．37.5° B．40° C．52.5° D．55°
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．
【解析】由图象可得，
该函数的对称轴x＞25+502且x＜50，
∴37.5＜x＜50，
∴此燃气灶烧开壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°，
故选：B．
5．（2020•沈河区一模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度可能为（　　）
A．18° B．37° C．54° D．58°
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．
【解析】由图象可得，
该函数的对称轴x＞18+542且x＜54，
∴36°＜x＜54°，
故选：B．
6．（2019秋•吴兴区期末）学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a=-118．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（　　）cm．

A．123 B．122 C．63 D．62
【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．
【解析】根据题意：
GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，

根据题意，Q（9，15.5），B（6，16），OH＝6，
设抛物线解析式为y＝﹣a（x﹣6）2+16，
将点Q代入解得a=-118，
符号题意：洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a=-118．
所以抛物线解析式为：
y=-118（x﹣6）2+16
=-118x2+23x+14．
当y＝0时，即0=-118x2+23x+14，
解得：x＝6+122（负值舍去），
所以洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是122cm．
故选：B．
7．（2020•无锡模拟）一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）和滑行时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
滑行时间t1/s
0
1
2
3
4
滑行距离y1/s
0
4.5
14
28.5
48
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m）和在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2＝52t2﹣2t22，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23s，则滑坡AB的长度（　　）米

A．270 B．280 C．375 D．450
【分析】设y1＝at12+bt1，把（1，4.5）和（2，14）代入函数解析即可求解，y2＝52t﹣2t2，函数在对称轴上取得最大值，即滑雪者停下，求出t值，即可求解．
【解析】设y1＝at12+bt1，
把（1，4.5）和（2，14）代入函数解析式得，
a+b=4.54a+2b=14，
解得：a=2.5b=2，
∴二次函数解析式为：y1＝2.5t12+2t1…①；
y2＝52t﹣2t2，函数在对称轴上取得最大值，即滑雪者停下，
此时，t=-b2a=13，
则：滑雪者在AB段用的时间为23﹣13＝10，
把t＝10代入①式，
解得：则AB＝y1＝270（米），
故选：A．
8．（2019•杜尔伯特县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，顶点P（m，n）．给出下列结论
①2a+c＞0；
②若（-32，y1），（-12，y2），（12，y3）在抛物线上，则y1＞y2＞y3
③关于x的方程ax2+bx+k＝0有实数解，则k＞c﹣n；
④当n=-1a时，△ABP为等腰直角三角形；
其中正确结论个数有（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．
【解析】∵-b2a＜12，a＞0，
∴a＞﹣b，
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴2a+c＞a﹣b+c＞0，故①正确，
若（-32，y1），（-12，y2），（12，y3）在抛物线上，
由图象法可知，y1＞y2＞y3；故②正确，
∵抛物线与直线y＝t有交点时，方程ax2+bx+c＝t有解，t≥n，
∴ax2+bx+c﹣t＝0有实数解
要使得ax2+bx+k＝0有实数解，则k＝c﹣t≤c﹣n；故③错误，
设抛物线的对称轴交x轴于H．
∵4ac-b24a=-1a，
∴b2﹣4ac＝4，
∴x=-b±22a，
∴|x1﹣x2|=2a，
∴AB＝2PH，
∵BH＝AH，
∴PH＝BH＝AH，
∴△PAB是直角三角形，
∵PA＝PB，
∴△PAB是等腰直角三角形．故④正确．
综上，结论正确的是①②④，
故选：C．

9．（2019秋•宜兴市期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为C，则下列说法正确的个数是（　　）
①当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0；
②当△ABC是直角三角形，则a=-12；
③若m≤x≤m+3时，二次函数y＝ax2+bx+c的最大值为am2+bm+c，则m≥3．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据a＜0可得抛物线的开口方向；根据抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0），可得抛物线的对称轴及其与x轴的交点坐标，据此对逐个结论分析即可．
【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0），
∴该抛物线开口向下，对称轴为x=-1+32=1，抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，
∴①正确；
∵点C为抛物线的顶点，
∴当△ABC是直角三角形时，此三角形为等腰直角三角形，
∴对称轴x＝1与x轴的交点将△ABC分成两个全等的等腰直角三角形，其直角边长为AB2=2，
∴此时点C坐标为：（1，2）．
设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣1）2+2，
将A（﹣1，0）代入得：0＝4a+2，
∴a=-12，
故②正确；
∵对称轴为x＝1，a＜0，
∴当x≥1时，二次函数y＝ax2+bx+c的函数值随着x的增大而减小，
∴③中m≥1即可，故③错误．
综上，正确的有①②．
故选：C．
10．（2020春•崇川区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
且当x=-12时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；③0＜m+n＜203，其中，正确结论的是（　　）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【分析】①根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可判断；
②根据二次函数的对称性即可判断；
③根据抛物线的对称轴确定a与b的关系式，再根据已知条件求出a的取值范围即可判断．
【解析】①根据图表可知：
二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），
∴对称轴为直线x=0+12=12，c＝﹣2，
∴a＞0，b＜0，
∴函数图象的顶点在第四象限内；
①正确；
②根据二次函数的对称性可知：
（﹣2，t）关于对称轴x=12的对称点为（3，t），
即﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根，
∴②正确；
③∵对称轴为直线x=12，∴-b2a=12，∴b＝﹣a，
∵当x=-12时，与其对应的函数值y＞0，
∴14a-12b﹣2＞0，即14a+12a﹣2＞0，∴a＞83．
∵对称轴为直线x=12，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，m）（2，n），
∴m＝n，当x＝﹣1时，m＝a﹣b+c＝a+a﹣2＝2a﹣2，
∴m+n＝4a﹣4，∵a＞83．
∴4a﹣4＞203，
∴③错误．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋•乳山市期末）二次函数y＝x2+bx的图象如图所示，对称轴为x＝1．若关于x的方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤4范围内有实数解，则t的取值范围是　﹣1≤t≤8　．

【分析】函数的对称轴为：x=-b2=1，解得：b＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x，顶点为：（1，﹣1），当x＝4时，y＝16﹣8＝8，即可求解．
【解析】函数的对称轴为：x=-b2=1，解得：b＝﹣2，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x，顶点为：（1，﹣1），
当x＝4时，y＝16﹣8＝8，
故﹣1＜x≤4范围内有实数解，则t的取值范围是为：﹣1≤t≤8．
故答案为：﹣1≤t≤8．
12．（2020•涡阳县模拟）抛物线y＝x2+2ax﹣3与x轴交于A，B（1，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，将抛物线沿y轴平移m（m＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点时，则m的取值范围是　0＜m＜3或m＝4　．
【分析】根据题意，可以先求得原抛物线的解析式，然后根据将抛物线沿y轴平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点，可知刚开始平移到平移后的抛物线恰好过原点这个过程中抛物线与线段OA有一个交点，第二种情况就是平移后的抛物线的顶点恰好在x轴上，从而可以求得m的取值范围．
【解析】∵抛物线y＝x2+2ax﹣3与x轴交于A，B（1，0）两点（点A在点B的左侧），
∴1+2a﹣3＝0，得a＝1，
∴y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），
当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∵将抛物线沿y轴平移m（m＞0）个单位，
∴平移后的抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3+m＝（x+1）2﹣4+m，
∴当平移后的抛物线过点（0，0）时，0＝（0+1）2﹣4+m，得m＝3，
当平移后抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与OA有一个交点，即0＝（﹣1+1）2﹣4+m，得m＝4，
∵将抛物线沿y轴平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点，
∴0＜m＜3或m＝4，
故答案为：0＜m＜3或m＝4．
13．（2019秋•洪山区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于不同的两点A、B，C为二次函数图象的顶点．若△ABC是边长为4的等边三角形，则a＝　32　．
【分析】设点A、B的横坐标分别为m、n，利用根与系数的关系得：m+n=-ba，mn=ca，根据AB＝4＝|m﹣n|，列式变形后得：b2﹣4ac＝16a2，根据△ABC是边长为4的等边三角形，计算其高为23，即二次函数顶点的纵坐标为﹣23，根据公式列式为4ac-b24a=-23，可得结论．
【解析】设点A、B的横坐标分别为m、n，则m+n=-ba，mn=ca，
∵AB＝4＝|m﹣n|，
∴（m﹣n）2＝16，
∴m2﹣2mn+n2＝（m+n）2﹣4mn＝（-ba）2﹣4•ca=16，
∴b2﹣4ac＝16a2，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴点C到AB的距离为23，
∵a＞0，
∴点C的纵坐标为﹣23，4ac-b24a=-23，
∴4ac﹣b2＝﹣83a，
∴16a2＝83a，a=32，
故答案为：32．
14．（2020•荆州）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为　（1，0）、（2，0）和（0，2）　．
【分析】根据题意令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象与y轴上整交点的坐标（0，2）．
【解析】根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，
△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，
∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，且m≠2，
由求根公式可得x=m+2±(-m-2)2-8m2m，
x=m+2±|m-2|2m，
x1=m+2+(m-2)2m=1，
x2=m+2+2-m2m=42m=2m，当m＝1时符合题意；此时x2＝2；
所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；
令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．
综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）和（0，2）；
故答案为：（2，0），（1，0）和（0，2）．
15．（2020•浙江自主招生）已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y＝x2+（a﹣3）x+3的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是　﹣1≤a＜-12或a＝3﹣23　．
【分析】根据题意，当二次函数顶点在x轴下方或当二次函数的顶点在x轴上时，分情况讨论问题．借助于根的判别式即可解答．
【解析】依题意，应分为两种情况讨论，
①当二次函数顶点在x轴下方，
若yx＝1＜0且yx＝2≥0，即1+(a-3)+3＜04+2(a-3)+3≥0，解得此不等式组无解；
若yx＝2＜0且yx＝1≥0，即1+(a-3)+3≥04+2(a-3)+3＜0，解得﹣1≤a＜-12；
②当二次函数的顶点在x轴上时，
△＝0，即（a﹣3）2﹣12＝0，解得a＝3±23，
而对称轴为x=-a-32，可知1≤-a-32≤2，故a＝3﹣23．
故答案为：﹣1≤a＜-12或a＝3﹣23．
16．（2019秋•高邮市期末）如图，若抛物线y＝ax2+h与直线y＝kx+b交于A（3，m），B（﹣2，n）两点，则不等式ax2﹣b＜kx﹣h的解集是　﹣2＜x＜3　．

【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解．
【解析】∵抛物线y＝ax2+h与直线y＝kx+b交于A（3，m），B（﹣2，n）两点，
∴不等式ax2﹣b＜kx﹣h的解集为﹣2＜x＜3，
故答案为：﹣2＜x＜3．
17．（2019秋•东海县期末）如图，二次函数y＝x（x﹣3）（0≤x≤3）的图象，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……若P（2020，m）在这个图象连续旋转后的所得图象上，则m＝　2　．

【分析】x（x﹣3）＝0得A1（3，0），再根据旋转的性质得OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A673A674＝3，所以抛物线C674的解析式为y＝﹣（x﹣2019）（x﹣2022），然后计算自变量为2020对应的函数值即可．
【解析】当y＝0时，x（x﹣3）＝0，解得x1＝0，x2＝3，则A1（3，0），
∵将C1点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……
∴OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A673A674＝3，
∴抛物线C674的解析式为y＝﹣（x﹣2019）（x﹣2022），
把P（2020，m）代入得m＝﹣（2020﹣2019）（2020﹣2022）＝2．
故答案为2．
18．（2018秋•鼓楼区期中）如图，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h，边界距点O的水平距离为18m，若球发出后不出边界，则h的取值范围是　h≥83　．

【分析】根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y＝a（x﹣6）2+h还过点（0，2），抛物线y＝a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，或根据不等式即可得出答案．
【解析】当球正好过点（18，0）时，抛物线y＝a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
2=36a+h0=144a+h，
解得：a=-154h=83，
此时二次函数解析式为：y=-154（x﹣6）2+83，
此时球若不出边界h≥83，．
故答案为：h≥83．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020•宁波模拟）如图，抛物线y1＝﹣x2﹣x+c与直线y2=12x+b交于A，B（1，0）两点．
（1）分别求c，b的值．
（2）求y1﹣y2的最大值．
（3）求点A的坐标，并根据图象判断，当x取何值时，y1＞y2？

【分析】（1）根据抛物线y1＝﹣x2﹣x+c与直线y2=12x+b交于A，B（1，0）两点，可以求得b、c的值；
（2）根据（1）中b、c的值，可以写出y1和y2的解析式，然后作差，根据二次函数的性质，即可得到y1﹣y2的最大值；
（3）将y1和y2的解析式联立方程组，求出x、y的值，即可得到点A的坐标，然后根据图象，可以写出当x取何值时，y1＞y2．
【解析】（1）∵抛物线y1＝﹣x2﹣x+c与直线y2=12x+b交于A，B（1，0）两点，
∴0＝﹣1﹣1+c，0=12×1+b，
解得，b=-12，c＝2；
（2）∵b=-12，c＝2，
∴抛物线y1＝﹣x2﹣x+2，直线y2=12x-12，
∴y1﹣y2
＝（﹣x2﹣x+2）﹣（12x-12）
＝﹣x2-32x+52
＝﹣（x+34）2+4916，
即当x=-34时，y1﹣y2取得最大值4916，
即y1﹣y2的最大值是4916；
（3）y=-x2-x+2y=12x-12，
解得，x=-52y=-74或x=1y=0，
∴点A的坐标为（-52，-74），
由图象可得，
当-52＜x＜1时，y1＞y2．
20．（2020•海珠区一模）已知二次函数l1：y＝x2+6x+5k和l2：y＝kx2+6kx+5k，其中k≠0且k≠1．
（1）分别直接写出关于二次函数l1和l2的对称轴及与y轴的交点坐标；
（2）若两条抛物线l1和l2相交于点E，F，当k的值发生变化时，判断线段EF的长度是否发生变化，并说明理由；
（3）在（2）中，若二次函数l1的顶点为M，二次函数l2的顶点为N；
①当k为何值时，点M与点N关于直线EF对称？
②是否存在实数k，使得MN＝2EF？若存在，求出实数k的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）二次函数l1的对称轴为x=-b2a=-62×1=-3，令x＝0，则y＝5k，故该抛物线和y轴的交点坐标为（0，5k）；同理可得l2的对称轴为x＝﹣3，与y轴的交点坐标（0，5k）；（2）可令y1＝y2，求出点E、F的横坐标，从而得到点E、F的坐标，进行得到EF的长，就可解决问题；
（3）易得点M、N的坐标及直线EF的关系式，然后根据条件建立关于k的方程，就可解决问题．
【解析】（1）二次函数l1的对称轴为x=-b2a=-62×1=-3，
令x＝0，则y＝5k，故该抛物线和y轴的交点坐标为（0，5k）；
同理可得：l2的对称轴为x＝﹣3，与y轴的交点坐标（0，5k）；

（2）线段EF的长度不发生变化，
理由：当y1＝y2时，x2+6x+5k＝kx2+6kx+5k，
整理得：（k﹣1）（x2+6x）＝0．
∵k≠1，
∴x2+6x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣6．
不妨设点E在点F的左边，
则点E的坐标为（﹣6，5k），点F的坐标为（0，5k），
∴EF＝|0﹣（﹣6）|＝6，
∴线段EF的长度不发生变化；

（3）①由y1＝x2+6x+5k＝（x+3）2+5k﹣9得M（﹣3，5k﹣9），
由y2＝kx2+6kx+5k＝k（x+3）2﹣4k得N（﹣3，﹣4k）．
∵直线EF的关系式为y＝5k，且点M与N关于直线EF对称，
∴﹣4k﹣5k＝5k﹣（5k﹣9），
解得：k＝﹣1，
∴当k为﹣1时，点M与N关于直线EF对称；
②∵MN＝|（5k﹣9）﹣（﹣4k）|＝|9k﹣9|，MN＝2EF＝12，
∴|9k﹣9|＝12，
解得k1=73，k2=-13，
∴实数k为73或-13．
21．（2019•曲靖一模）如图，对称轴为x＝1的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（3，0）与y轴交于点B，顶点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点P在x轴上，将线段BP绕着点P逆时针旋转90°得到PD，点D是否会落在抛物线上？如果会，求出点P的坐标；若果不会，说明理由．

【分析】（1）抛物线对称轴为x＝1，点A（3，0），则抛物线与x轴另外一个交点为（﹣1，0），即可求解；
（2）利用S△ABC=12CH×OA即可求解；
（3）会，理由：证明△DNP≌△POB（AAS），则PN＝OB＝3，DN＝OP＝﹣m，即点D的坐标（m+3，﹣m），即可求解．
【解析】（1）抛物线对称轴为x＝1，点A（3，0），则抛物线与x轴另外一个交点为（﹣1，0），

则抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，即点B（0，﹣3），点C的坐标为（1，﹣4）；
（2）设对称轴交直线AB与点H，
把点B、A坐标代入一次函数表达式：y＝kx﹣3得：0＝3k﹣3，解得：k＝1，
则直线BA的表达式为：y＝x﹣3，则点H（1，﹣2），
S△ABC=12CH×OA=12×2×3＝3；
（3）会，理由：
如图所示，过点D分别作x、y轴的垂线于点N、M，设点P坐标为（m，0），

∵∠DPN+∠OPB＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，∴∠OBP＝∠DPN，
∠DNP＝∠BOP＝90°，PB＝PD，∴△DNP≌△POB（AAS），
∴PN＝OB＝3，DN＝OP＝﹣m，即点D的坐标（m+3，﹣m），
将点D坐标代入二次函数表达式解得：m＝﹣5或0，
即点P坐标为（﹣5，0）或（0，0）．
22．（2019•苍南县二模）如图，抛物线y＝ax2+6x+c的顶点为C（3，4），交x轴于点A，B（点B在点A的右侧），点P在第一象限，且在抛物线AC部分上，PD⊥PC交y轴于点D．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）若PD＝2PC，求OD的长．

【分析】（1）抛物线的顶点为C（3，4），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）2+4＝ax2﹣6ax+9a+4，即可求解；
（2）证明△DHP∽△PFC，即可求解．
【解析】（1）∵抛物线的顶点为C（3，4），
∴设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）2+4＝ax2﹣6ax+9a+4，
故﹣6a＝6，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+6x﹣5；

（2）作PH⊥OD，交OD于点H，CF⊥PH，交PH于点F，设P（a，﹣a2+6a﹣5），

∵∠DPH+∠CPF＝90°，∠CPF+∠PCF＝90°，
∴∠PCF＝∠DPF，
∴△DHP∽△PFC，
∵PD＝2PC，
∴△DHP、△PFC相似比为：2：1
故CF=HP2=a2=4-(-a2+6a-5)，
化简，得2a2﹣13a+18＝0，
解得a＝2或a=92（舍去），
此时DH＝2PF＝2（3﹣a）＝2，OH＝﹣a2+6a﹣5＝3，
∴OD＝OH+HD＝3+2＝5．
23．（2020秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①若点P是直线BC下方的抛物线上一动点，则△PBC的面积最大值为　278　；
②若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为　10　．
（3）抛物线上是否存在点Q，使得∠ACQ＝45°？若存在，请求出Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，即可求解；
（2）①利用△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB即可求解；
②点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接CA交函数对称轴于点T，则点T为所求点，进而求解；
（3）证明∠OCA＝∠BCQ，Rt△CNH中利用解直角三角形的方法求出点H的坐标，进而求解．
【解析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，
解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3①；

（2）①如图1，过点P作PH∥y轴交BC于点H，

由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），
△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB=12×PH×OB=12×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）=-32x2+92x，
∵-32＜0，故△PBC的面积有最大值，当x=32时，其最大值为278，
故答案为278；

②点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接CA交函数对称轴于点T，则点T为所求点，

则TC﹣TB＝TC﹣TA＝AC为最大，
故TC﹣TB的最大值为AC=12+32=10，
故答案为10；

（3）如图3，连接AC，由点B、C的坐标知，OB＝OC，故∠OCB＝45°＝∠CBO，

∴∠OCB＝∠OCA+∠ACB＝45°，
而∠ACQ＝45°＝∠ACB+∠BCQ，
∴∠OCA＝∠BCQ，
在Rt△AOC中，tan∠OCA=OAOC=13=tan∠BCQ，
设直线CQ交x轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，
在Rt△BHN中，∵∠HBN＝∠CBO＝45°，故设BN＝HN＝x，则HB=2x，
在Rt△CNH中，tan∠NCH=NHNC=xx+BC=xx+32=13，解得x=322，
故BH=2x＝3，则点H（6，0），
由点H、C的坐标得，直线CH的表达式为y=-12x+3②，
联立①②并解得x=72y=54（不合题意的值已舍去），
故点Q的坐标为（72，54）．
24．（2020春•江阴市期中）如图，二次函数y=12ax2﹣ax+c图象的顶点为C，一次函数y＝﹣x+3的图象与这个二次函数的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与它的对称轴交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）①若点C与点D关于x轴对称，且△BCD的面积等于4，求此二次函数的关系式；
②若CD＝DB，且△BCD的面积等于42，求a的值．

【分析】（1）二次函数y=12ax2-ax+c的对称轴为直线x＝1，则把x＝1代入y＝﹣x+3，得y＝2，即可求解；
（2）①设点B横坐标为x，则S△BCD=12×4×(x-1)=4，解得x＝3，得到B点坐标为（3，0），进而求解；
②分a＞0、a＜0两种情况，利用二次函数的性质分别求解即可．
【解析】（1）∵二次函数y=12ax2-ax+c的对称轴为直线x＝1，
∴把x＝1代入y＝﹣x+3，得y＝2，
∴点D的坐标为（1，2）；

（2）∵点C与点D关于x轴对称，
∴点C的坐标为（1，﹣2），
∴CD＝4，
①设点B横坐标为x，则S△BCD=12×4×(x-1)=4，解得x＝3，
∵B点在函数y＝﹣x+3的图象上，
∴B点坐标为（3，0），
∵二次函数的顶点为C（1，﹣2），
∴它的函数关系式可设为y=12a(x-1)2-2，把B点坐标代入，得a＝1，
∴此二次函数的关系式为y=12x2-x-32；
②设B（m，﹣m+3）（m＞1），由y＝﹣x+3可知y＝﹣x+3图象与DC相交成45°，
过点B作BE⊥CD于E，如下图所示，

由图可得BE＝m﹣1，
∴DB＝DC＝BE，
由S△BCD＝4得12×（m﹣1）2＝4，
∴m1＝3，m2＝﹣1（舍去），
∴DC＝4，B（3，0），
Ⅰ．当a＞0时，则点C在点D下方，则点C的坐标为（1，﹣2），
将B点代入y=12a(x-1)2-2得a=2-22，
Ⅱ．当a＜0时，则点C在点D上方，则点C的坐标为（1，6），
将B点代入y=12a(x-1)2+6得a=-2-22，