北师大版九年级下册第三章 圆1 圆课后作业题

2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】

专题3.1圆

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020秋•南开区期中）已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（　　）

A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm

【分析】根据圆的直径为圆中最长的弦求解．

【解答】解：∵最长的弦长为16cm，

∴⊙O的直径为16cm，

∴⊙O的半径为8cm．

故选：B．

2．（2020秋•拱墅区校级月考）下列说法中，不正确的是（　　）

A．直径是最长的弦 

B．同圆中，所有的半径都相等 

C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 

D．长度相等的弧是等弧

【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．

【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确；

B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；

C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；

D、长度相等的弧是等弧，说法错误；

故选：D．

3．（2020春•单县期末）已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（　　）

A．4 B．8 C．10 D．12

【分析】根据圆中最长的弦为直径求解．

【解答】解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．

故选：D．

4．（2020春•诸城市期末）下列说法错误的是（　　）

A．圆有无数条直径 

B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦 

C．过圆心的线段是直径 

D．能够重合的圆叫做等圆

【分析】根据直径、弧、弦的定义进行判断即可．

【解答】解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；

B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；

C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；

D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；

故选：C．

5．（2019秋•相城区期中）到圆心的距离大于半径的点的集合是（　　）

A．圆的内部 B．圆的外部 

C．圆 D．圆的外部和圆

【分析】根据圆是到定点距离等于定长的点的集合，以及点和圆的位置关系即可解决．

【解答】解：根据点和圆的位置关系，知圆的外部是到圆心的距离大于的所有点的集合；

故选：B．

6．（2019•嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（　　）

A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部 

C．点A可以在圆O2的内部 D．点B可以在圆O3的内部

【分析】根据已知条件对个选项进行判断即可．

【解答】解：∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，

∴点C可以在圆O1的内部，故A错误，B正确；

∵过点B、C的圆记作为圆O2，

∴点A可以在圆O2的外部，故C错误；

∵过点C、A的圆记作为圆O3，

∴点B可以在圆O3的外部，故D错误．

故选：B．

7．（2020秋•兴化市月考）半径为10的⊙O，圆心在直角坐标系的原点O，则点P（8，6）与⊙O的位置关系是（　　）

A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定

【分析】先利用两点间的距离公式求出点P到原点的距离OP，再判断OP与半径r的大小关系，从而得出答案．

【解答】解：∵点P（8，6），

∴OP10，

则OP＝r，

∴点P在⊙O上，

故选：A．

8．（2020秋•南岗区校级月考）已知⊙O的半径是10cm，根据下列点P到圆心O的距离可判断点P在圆外的是（　　）

A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm

【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．

【解答】解：A、∵OP＝8cm＜10cm，

∴点P在圆内，不合题意；

B、∵OP＝9cm＜10cm，

∴点P在圆内，不合题意；

C、∵OP＝10cm，

∴点P在圆上，不合题意；

D、∵OP＝11cm＞10cm，

∴点P在圆外，符合题意．

故选：D．

9．（2020•鹿城区模拟）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（　　）

A．甲先到B点 B．乙先到B点 

C．甲、乙同时到B D．无法确定

【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该是π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点．

【解答】解：π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，

因此两个同时到B点．

故选：C．

10．（2020•浉河区校级一模）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），原点（0，0）在⊙C上，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．1 D．

【分析】先判断出点E的位置，点E在过点C垂直于AB的直线和⊙C在点C上方的交点，然后求出AB，进而根据三角形面积公式得出CD，即可得出得出DE，再用三角形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交⊙C于E，此时△ABE面积的值最小（AB是定值，只要圆上一点E到直线AB的距离最小，

∵A（﹣2，0），B（0，1），

∴AB，

∵⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），原点（0，0）在⊙C上，

∴OC＝1，

∴BC＝2，

∵BC•OAAB•CD，

∴•CD，

∴CD，

∴DE＝CD﹣CE1，

∴S△ABE的最小值AB•DE（1）2，

故选：B．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2019秋•北京期末）参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都　相等　，这个距离就是这个圆的　半径　．

【分析】利用圆的性质得出圆上各点到圆心的距离等于半径，进而得出答案．

【解答】解：参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是这个圆的半径．

故答案为：相等，半径．

12．（2020•张店区一模）若⊙A半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P与⊙A位置关系为　点P在⊙A内　．

【分析】先求出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．

【解答】解：∵点A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），

∴PA＝4＜5，

∴点P在圆A内，

故答案为：点P在⊙A内．

13．（2020•梁溪区一模）在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（3，3）都在⊙M上，则圆心M的坐标为　　．

【分析】设M点的坐标为（x，y），由题意知，MA＝MB＝MC，据此列出x、y的二元一次方程组，解方程组便可得出答案．

【解答】解：设M点的坐标为（x，y），由题意知，MA＝MB＝MC，

∴，

化简得，x+y＝﹣3x﹣3y+8＝﹣2y+1，

即，

解得，

∴M．

故答案为：．

14．（2019秋•安庆期末）在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为6，点P的坐标为（3，4），则点P在　圆内　（填“圆内”，“圆外”或“圆上”）．

【分析】先根据两点间的距离公式计算出OP，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O的位置关系．

【解答】解：∵点P的坐标为（4，3），

∴OP

∵半径为6，

而6＞5，

∴点P在⊙O内．

故答案为：圆内．

15．（2020秋•江阴市校级月考）有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是　②③　（填序号）

【分析】利用圆的有关定义进行判断后即可确定正确的答案．

【解答】解：①半径是弦，错误，因为半径的一个端点为圆心；

②半圆是弧，弧不一定是半圆，正确；

③面积相等的两个圆是等圆，正确；

正确的结论有②③．

故答案为：②③．

16．（2019秋•浏阳市期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以顶点A为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则r的取值范围是　6＜r＜10　．

【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．

【解答】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝6，AD＝8，

则BD10．

由图可知6＜r＜10．

故答案为：6＜r＜10．

17．（2019秋•仪征市期末）如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　4　个．

【分析】解法一：过点P最长的弦是12，根据已知条件，△OAB的面积为18，可以求出AB＜12，根据三角形面积可得OC＝3，从而可知OP的长有两个整数：5，6，且OP＝6是P在A或B点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4个．

解法二：根据面积可知，OA上的高为6，也就是说OA与OB互相垂直，然后算出OC长度即可．

【解答】解：解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，

设OC＝x，AC＝y，

∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，

∴AB≤12，

∵△OAB的面积为18，

∴，

则y，

∴，

解得x＝3或﹣3（舍），

∴OC＝34，

∴4＜OP≤6，

∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．

解法二：设△AOB中OA边上的高为h，

则，即，

∴h＝6，

∵OB＝6，

∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，

∴AB＝6，图中OC＝3，

同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．

故答案为：4．

18．（2020•武昌区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是　7　．

【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．

【解答】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．

∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，

∴AC＝10，

∵AN＝NC，

∴BNAC＝5，

∵AN＝NC，DM＝MC，

∴MN2，

∴BM≤BN+NM，

∴BM≤5+2＝7，

即BM的最大值是7．

故答案为7．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2017秋•灌云县月考）已知点P、Q，且PQ＝4cm，

（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合．

（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．

【分析】根据圆的定义即可解决问题；

【解答】解：（1）到点P的距离等于2cm的点的集合图中⊙P；到点Q的距离等于3cm的点的集合图中⊙Q．

（2）到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有2个，图中C、D．

20．（2017秋•仓山区期中）已知；如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．

【分析】首先证明OC＝OD，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD＝BC．

【解答】解：∵OA、OB是⊙O的两条半径，

∴AO＝BO，

∵C、D分别是半径OA、BO的中点，

∴OC＝OD，

在△OCB和△ODA中，

，

∴△OCB≌△ODA（SAS），

∴AD＝BC．

21．（2017秋•天宁区校级月考）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD相等吗？为什么？

【分析】连结OC、OD，由OA＝OB，AE＝BF，得到OE＝OF，由CE⊥AB，DF⊥AB得到∠OEC＝∠OFD＝90°，再根据“HL”可判断Rt△OEC≌Rt△OFD，则∠COE＝∠DOF，所以AC弧＝BD弧，AC＝BD．

【解答】解：AC与BD相等．理由如下：

连结OC、OD，如图，

∵OA＝OB，AE＝BF，

∴OE＝OF，

∵CE⊥AB，DF⊥AB，

∴∠OEC＝∠OFD＝90°，

在Rt△OEC和Rt△OFD中，

，

∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），

∴∠COE＝∠DOF，

∴，

∴AC＝BD．

22．（2018秋•灌云县校级月考）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．

【分析】分别连接ME、MF，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得到ME＝MD＝MC＝MB，可证得结论．

【解答】证明：连接ME、MD，

∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，

∴ME＝MD＝MC＝MBBC，

∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．

23．（2019秋•萧山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tanB＝2．点D是AB的中点．

（1）求AB长和sinA的值．

（2）以点D为圆心，r为半径作⊙D．如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，试求r的取值范围．

【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E．利用等腰三角形的性质解直角三角形即可解决问题．

（2）连结CD，过点D作DF⊥BC于点F，显然DF∥AE，解直角三角形求出CD，BD即可判断．

【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E．

∵AB＝AC，BC＝4，

∴

∵，

∴AE＝4，

∴

又

∴．

（2）如图，连结CD，过点D作DF⊥BC于点F，显然DF∥AE

∵点D是AB中点，即DF是中位线

∴，

∴CF＝3

∴

又

∴r的取值范围是

24．（2020秋•滨湖区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝8cm，点P从点A向点D运动，运动的速度为1cm/s，点Q从点C向点B运动，运动的速度为2cm/s，运动时间为ts，若P、Q两点有一点停止，则另一点随之停止．

（1）若点Q正好在以PD为直径的圆上，试求出所有满足条件的t的值；

（2）若以点P为圆心，PA为半径画⊙P，试判断点Q与⊙P的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）如图，连接PQ，DQ，过点Q作QE⊥AD于E．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．

（2）当AP＝PQ时，t2＝32+（8﹣3t）2，方程无解，推出点Q在⊙P外．

【解答】解：（1）如图，连接PQ，DQ，过点Q作QE⊥AD于E．

3

若点Q正好在以PD为直径的圆上，则∠PQD＝90°，

∵QE⊥PD，

∴∠QED＝∠QEP＝90°，

∵∠PQE+∠EQD＝90°，∠EQD+∠EDQ＝90°，

∴∠PQE＝∠EDQ，

∴△QED∽△DEQ，

∴，

∵PA＝tcm，CQ＝DE＝2tcm，QE＝CD＝3cm，

∴PE＝8﹣t﹣2t＝（8﹣3t）cm，

∴32＝（8﹣3t）•2t，

解得t．

∴满足条件的t的值为．

（2）当AP＝PQ时，t2＝32+（8﹣3t）2，方程无解，