初中数学1 圆课时训练

这是一份初中数学1 圆课时训练，文件包含专题36直线和圆的位置关系-九年级数学下册尖子生同步培优题典解析版北师大版docx、专题36直线和圆的位置关系-九年级数学下册尖子生同步培优题典原卷版北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

2020-2021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题3.6直线和圆的位置关系
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•新吴区期末）若直线l与半径为5的⊙O相离，则圆心O与直线l的距离d为（　　）
A．d＜5 B．d＞5 C．d＝5 D．d≤5
【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论即可．
【解析】∵直线l与⊙O的位置关系是相离，
∴d＞r，
∴r＝5，
∴d＞5，
故选：B．
2．（2019秋•江岸区期中）点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能判断直线l与⊙P相交的是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论
【解析】∵点P到圆心O的距离d为3，
∴当d＜r时，
直线l与⊙P相交，
即r＞3
故选：D．
3．（2020•浙江自主招生）三角形的三边长分别为6，8，10，则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据勾股定理可得三角形为直角三角形，求出三角形内切圆的半径为2，圆在不同的位置和直线的交点从没有到最多4个．
【解析】∵62+82＝100，102＝100，
∴三角形为直角三角形，
设内切圆半径为r，则12（6+8+10）r=12×6×8，
解得r＝2，
所以应分为五种情况：
当一条边与圆相离时，有0个交点，
当一条边与圆相切时，有1个交点，
当一条边与圆相交时，有2个交点，
当圆为三角形内切圆时，有3个交点，
当两条边与圆同时相交时，有4个交点，
故公共点个数可能为0、1、2、3、4个．
∴则它的边与半径为2的圆的公共点个数最多为4个，
故选：B．

4．（2019秋•洛宁县期末）如图所示，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为33的圆与PB的位置关系是（　　）

A．相离 B．相切
C．相交 D．相切、相离或相交
【分析】过O作OC⊥PB于C，根据直角三角形的性质得到OC＝3，根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
【解析】过O作OC⊥PB于C，
∵∠APB＝30°，OP＝6，
∴OC=12OP＝3＜33，
∴半径为33的圆与PB的位置关系是相交，
故选：C．

5．（2018秋•鄞州区期末）圆O的半径为5，若直线与该圆相离，则圆心O到该直线的距离可能是（　　）
A．2.5 B．5 C．5 D．6
【分析】根据直线与圆相离的条件即可判断．
【解析】∵直线与圆相离，
∴圆心到直线的距离＞5，
故选：D．
6．（2019秋•乐亭县期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【解析】∵x2﹣3x﹣4＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝4，
∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根，
∴r＝4，
∵d＞r
∴直线l与⊙O的位置关系是相离，
故选：A．
7．（2018秋•岳麓区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙C的半径为6.5，则⊙C与AB的位置关系是（　　）

A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
【分析】过C作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，把CD和6.5比较即可得出答案．
【解析】

过C作CD⊥AB于D，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=13，
由三角形的面积公式得：AC×BC＝AB×CD，
∴5×12＝13×CD，
∴CD=6013＜6.5，
∴⊙C与AB的位置关系是相交，
故选：C．
8．（2019秋•思明区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝106，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与⊙C的位置关系是（　　）

A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种都有可能
【分析】如图，作CH⊥DA交DA的延长线于H．求出CH的值即可判断．
【解析】如图，作CH⊥DA交DA的延长线于H．
∵S平行四边形ABCD＝BC•CH，
∴CH=1065=26，
∵26＜5，
∴直线AD与⊙C相交，
故选：A．

9．（2019秋•东台市期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有公共点，则r的取值范围为（　　）

A．r≥125 B．r＝3或r＝4 C．125≤r≤3 D．125≤r≤4
【分析】作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，由AC＞BC，可得以C为圆心，r=125或4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点；若⊙C与斜边AB有公共点，即可得出r的取值范围．
【解析】作CD⊥AB于D，如图所示：
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=32+42=5，
∵△ABC的面积=12AB•CD=12AC•BC，
∴CD=AC⋅BCAB=125=，
即圆心C到AB的距离d=125，
∵AC＜BC，
∴以C为圆心，r=125或4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴若⊙C与斜边AB有公共点，则r的取值范围是125≤r≤4．
故选：D．

10．（2020•武汉模拟）如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是（　　）

A．209＜AP＜52 B．209＜AP＜125或AP=52
C．209≤AP≤52 D．209≤AP≤125或AP=52
【分析】求出⊙P与BC，CD相切时AP的长以及⊙P经过A，B，C三点时AP的长即可判断．
【解析】如图1中，当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE．

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=AB2-BC2=4，
设AP＝x，则BP＝5﹣x，PE＝x，
∵⊙P与边BC相切于点E，
∴PE⊥BC，
∵BC⊥AC，
∴AC∥PE，
∴PEAC=PBAB，
∴x4=5-x5，
∴x=209，AP=209；
如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE．

∵S平行四边形ABCD＝2×123×4＝5PE，
∴PE=125，
观察图象可知：209＜AP＜125时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
②⊙P过点A、B、C三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，

此时AP=52，
综上所述，AP的值的取值范围是：209＜AP＜125或AP=52．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2018•上城区二模）在平面直角坐标系中，以点A（﹣2，3）为圆心、r为半径的圆与坐标轴恰好有三个公共点，那么r的值为　3或13　．
【分析】利用点A的坐标得到点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，根据直线与圆的位置关系，当⊙A与x轴相切时，满足条件，易得此时r＝3；当⊙A经过原点时，满足条件，利用勾股定理计算出此时r的值．
【解析】∵点A坐标为（﹣2，3），
∴点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，
当⊙A与x轴相切时，与y轴有2个交点，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时r＝3；
当⊙A经过原点时，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时r=22+32=13，
综上所述，r的值为3或13．
故答案为3或13．
12．（2019秋•江都区期末）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是　相交　．
【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与⊙O的位置关系为相交．
【解析】∵圆心O到直线l的距离是2，小于⊙O的半径为4，
∴直线l与⊙O相交．
故答案为：相交．
13．（2020•邯郸模拟）以坐标原点O为圆心，作半径为1的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O有交点，则b的取值范围是　-2≤b≤2　．
【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．
【解析】当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．
在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是（0，b），
当y＝0时，x＝b，则A的交点是（b，0），
则OA＝OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C．则OC＝1．
则OB=2OC=2．即b=2；
同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=-2．
则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是-2≤b≤2．
故答案为-2≤b≤2．

14．（2018秋•西城区期末）如图，⊙O的半径是5，点A在⊙O上．P是⊙O所在平面内一点，且AP＝2，过点P作直线l，使l⊥PA．
（1）点O到直线l距离的最大值为　7　；
（2）若M，N是直线l与⊙O的公共点，则当线段MN的长度最大时，OP的长为　21　．

【分析】（1）如图1，当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，于是得到结论；
（2）如图2，根据已知条件得到线段MN是⊙O的直径，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】（1）如图1，∵l⊥PA，
∴当点P在圆外且O，A，P三点共线时，点O到直线l距离的最大，
最大值为AO+AP＝5+2＝7；
（2）如图2，∵M，N是直线l与⊙O的公共点，当线段MN的长度最大时，
线段MN是⊙O的直径，
∵l⊥PA，
∴∠APO＝90°，
∵AP＝2，OA＝5，
∴OP=OA2-PA2=21，
故答案为：7，21．


15．（2019秋•岳麓区校级月考）如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M，当OM＝4cm时，直线OA与⊙M的位置关系是　相切　．

【分析】作MD⊥OA于D，根据直角三角形的性质求出DM，根据直线圆的位置关系的判定方法判断即可．
【解析】作MD⊥OA于D，
在Rt△MOD中，∠AOB＝30°，
∴DM=12OM＝2，
则点M到OA的距离等于⊙M的半径，
∴直线OA与⊙M相切，
故答案为：相切．

16．（2019秋•伊通县期末）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是　3≤r≤5　．

【分析】由于BD＞AB＞BC，根据点与圆的位置关系得到3≤r≤5．
【解析】∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC=AB2+BC2=5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；
故答案为：3≤r≤5
17．（2019•顺庆区校级自主招生）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是　3＜r≤4或r＝2.4　．
【分析】此题注意两种情况：
（1）圆与AB相切时；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时．
根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．
【解析】如图，∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB＝5．
分两种情况：
（1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r＝2.4．

18．（2019•南平一模）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，点D在边AB上，以AD为直径的⊙O，与边BC有公共点E，则AD的最小值是　659　．

【分析】由题意可证△EBO∽△ABC，可得OBAB=OEAC，可求OE的长，即可求AD的最小值．
【解析】当E点是切点且EO⊥BC时，则AD有最小值，如图，

∵∠EBO＝∠ABC，∠OEB＝∠ACB＝90°
∴△EBO∽△CBA，
∴OBAB=OEAC，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝13，
设OA＝OD＝OE＝m，
∴13-m13=m5
解得m=6518，
∴AD＝2m=13018．
∴AD的最小值为13018=659，
故答案为659，
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•泗阳县期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为　（2，0）　；
（2）点D坐标为（8，﹣2），连接CD，判断直线CD与⊙M的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M，根据图形即可得出点M的坐标；
（2）由于C在⊙M上，如果CD与⊙M相切，那么C点必为切点；因此可连接MC，证MC是否与CD垂直即可．可根据C、M、D三点坐标，分别表示出△CMD三边的长，然后用勾股定理来判断∠MCD是否为直角．
【解析】（1）如图，经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；

（2）连接MC，MD，
MC2＝42+22＝20，
CD2＝42+22＝20，
MD2＝62+22＝40，
MD2＝MC2+CD2，
∴∠MCD＝90°，
又∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线．

20．（2018秋•长春期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点C为圆心，以2cm长为半径作圆，试判断⊙C与AB的位置关系．

【分析】作CD⊥AB于点D．根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断．
【解析】作CD⊥AB于点D．
∵∠B＝30°，BC＝4cm，
∴CD=12BC＝2cm，
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与⊙C相切．

21．（2020•丰台区模拟）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O是BC的中点，到点O的距离等于12BC的所有点组成的图形记为G，图形G与AB交于点D．
（1）补全图形并求线段AD的长；
（2）点E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与图形G有且只有一个交点？请说明理由．

【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．
（2）当ED与⊙O相切时，由切线长定理知EC＝ED，则∠ECD＝∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE＝DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．
【解析】（1）如图所示，在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5cm；
连接CD，∵BC为直径，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°；
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
∴ACAB=ADAC，
∴AD=325=95；

（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；
证明：连接OD，
∵DE是Rt△ADC的中线；
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD；
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD；
∴∠EDO＝∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°；
∴ED⊥OD，
∴ED与⊙O相切．

22．在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r＝2；（2）r＝22；（3）r＝3．
变式：若BC＝3，r为何值时，⊙C与线段AB
（1）只有一个公共点？（2）有两个公共点？（3）没有公共点？（4）有公共点？
【分析】求出圆心C到直线AB的距离d，再根据d与r的大小关系，判断直线与圆的位置关系；
变式：
【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝90°，
∵∠A＝45°，AC＝4，
∴CD=22AC＝22，即圆心C到直线AB的距离为d＝22，
（1）当r＝2时，有d＞r，
因此⊙C与直线AB相离；
（2）当r＝22时，有d＝r，
因此⊙C与直线AB相切；
（3）当r＝3时，有d＜r，
因此⊙C与直线AB相交；
变式：AC＝4，BC＝3，CD＝22，
（1）当r＝22时，⊙C与AB相切于点D，此时与线段AB只有一个公共点；
当3＜r≤4时，⊙C与线段AB只有一个公共点；
（2）当22＜r≤3时，⊙C与线段AB有两个公共点；
（3）当0＜r＜22或r＞4时，⊙C与线段AB没有公共点；
（4）当22≤r≤4时，⊙C与线段AB有公共点．

23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝103cm，点O是起初与点A重合，此时⊙O的半径为1cm，当点O以每秒3cm的速度向终点B运动时，同时⊙O的半径以每秒1cm的速度增加，设运动时间为t秒，请分别求出当t在什么范围内取值时，直线BC与⊙O相离？相切？相交？

【分析】由直角三角形的性质可求出直线BC与⊙O相切时，t的值，即可求解．
【解析】设当⊙O与BC相切于点D时，设AO=3t，半径＝1+t，
则OD＝1+t，OB＝103-3t，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵∠ODB＝90°，
∴sin60°=ODOB=1+t103-3t=32，
解得：t=285，
∴当t=285时，直线BC与⊙O相切，
当0≤t＜285时，直线BC与⊙O相离，
当285＜t≤10时，直线BC与⊙O相交．
24．（2019•惠安县一模）如图，在直角坐标系中，点P的坐标为（2，0），⊙P与x轴相交于原点O和点A，又B、C两点的坐标分别为（0，b），（﹣1，0）．
（1）当b＝2时，求经过B、C两点的直线解析式；
（2）当B点在y轴上运动时，直线BC与⊙P位置关系如何？并求出相应位置b的值

【分析】（1）由待定系数法求一次函数解析式；
（2）分直线BC与⊙P相切，相交，相离三种情况讨论，可求b的取值范围．
【解析】（1）设BC直线的解析式：y＝kx+b
由题意可得：b=20=-k+b
∴解得：k＝2，b＝2
∴BC的解析式为：y＝2x+2
（2）设直线BC在x轴上方与⊙P相切于点M，交y轴于点D，连接PM，则PM⊥CM．
在Rt△CMP和Rt△COD中，
CP＝3，MP＝2，OC＝1，CM=5
∵∠MCP＝∠OCD
∴tan∠MCP＝tan∠OCD
∴ODOC=MPMC，b＝OD=25×1=255
由轴对称性可知：b＝±255
∴当b＝±255时，直线BC与⊙P相切；
当b＞255或b＜-255时，直线BC与⊙P相离；
当-255＜b＜255时，直线BC与⊙P相交．