2023届高考数学重难点专题13解三角形专练B卷

专题13解三角形专练B卷

一、单选题

1.  在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的内角，，的对边分别为，，，若的面积等于，，则外接圆的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在中，点在边上，，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，，，为，，的对边，，，，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

5.  在中，角，，所对的边分别是，，，若，边上的高为，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图所示，在平面四边形中，已知，，，记的中垂线与的中垂线交于一点，恰好为的角平分线，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，内角，，的对边分别为，，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题

8.  在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是(    )

A.  B. 的最小值是
C. 的最小值是 D. 的面积最小值是

9.  下列四个选项说法正确的有(    )

A. 在中，已知，则；
B. 为实数，是的充要条件；
C. 若，则；
D. 在中，，则．

10.  在中，，，分别是内角，，所对的边，，且，，则以下说法正确的是(    )

A.
B. 若，则
C. 若，则是等边三角形
D. 若的面积是，则该三角形外接圆半径为

11.  在矩形中，，，，分别在边，上不包含端点运动，且满足，则的面积可以是(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题

12.  如图，已知为的重心，且，若，则角的大小为          ．

13.  在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的面积为          ．
 

14.  在中，，角的平分线交于点，且，则的取值范围是          ．

15.  如图，在四边形中，，，，若是的角平分线，则的长为           ．

四、解答题

16.  在中，内角，，满足C.
求证：
求最小值．

17.  已知四边形，，，，四点共圆，，，．

若，求的长；

求四边形周长的最大值．

18.  在中，角，，所对的边分别为，，，．

求；

若，，求边上的中线的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
由已知利用余弦定理可求的值，进而可求的值，利用正弦定理即可计算得解．

【解答】

解：，，
，
，
，可得：，
，
，可得，
由正弦定理可得：．
故选：．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
由已知结合同角基本关系及三角形的面积公式可求，然后结合余弦定理及正弦定理即可求解

【解答】

解：因为，为三角形的内角，
所以，，
又因为，
所以，
由余弦定理可得，，
解可得，，
由正弦定理可得，
故．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角形的余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
设，可得，，运用直角三角形的余弦函数和三角形的余弦定理，解方程可得所求值．

【解答】

解：设，可得，，
在直角三角形中，可得，
在三角形中，可得，
即为，
即，解得，
可得，
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正弦定理、余弦定理和二倍角公式是解题的关键，注意检验多解情况，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
结合正弦定理和二倍角公式可得，再由余弦定理求得或，然后需要检验两解是否均符合题意．

【解答】

解：由正弦定理知，，
，
，
由余弦定理知，，即，
化简得，
解得或，
当时，有，
，且，
，即为等腰直角三角形，此时，不符合题意，舍去，
．
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是余弦定理及三角形面积公式，属于中档题．
可先用余弦定理对转化，求出，再结合三角形面积公式及余弦定理求的最大值．

【解答】

解：因为，
边上的高为，所以，得，
又，
当且仅当时等号成立，
因为为三角形内角，所以，
所以得，
即，
又，
所以，得，
所以的最大值为，此时三角形为等边三角形．
故选B．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

先得到四边形是以为圆心的圆内接四边形，进而得到，再利用三角形的面积公式和同角三角函数的关系求出，最后利用二倍角公式即可求解．
本题考查的面积的求法，考查圆内接四边形的性质，二倍角公式，属于中档题．

【解答】

解：如图，
，的中垂线与的中垂线交于一点，
四边形是以为圆心的圆内接四边形，
，，，，
，，
又，，
为的角平分线，，
，，．
故选B．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理，属于中档题．
利用余弦定理化简已知式子为，得出，利用正弦定理化简为，即，整理，得，由此得出，即可求出结果．

【解答】

解：因为，
所以，
所以，
所以，
由正弦定理，得，
所以，
整理，得，
所以，
因为、为三角形的内角，
所以舍或，
所以，
所以．
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了基本不等式，属于基础题．
由三角形面积公式寻找，关系，再利用基本不等式判断．

【解答】

解：由题意得：，

由角平分线以及面积公式得，

化简得，所以，故A正确；

，当且仅当时取等号，

，，

所以，当且仅当时取等号，故D正确；

由余弦定理

所以，即的最小值是，当且仅当时取等号，故B正确；

对于选项：由得：，，

当且仅当，即时取等号，故C错误；

故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查正弦定理、余弦定理，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
由正弦定理可得，于是，进而可判断；根据不等式的性质可判断；根据基本不等式可判断；根据余弦定理可得，进而可判断．

【解答】

解：在中，，
由正弦定理得：，
所以．
所以，在中，，于是；正确；
B.由可得，若，则，
所以是的充分不必要条件，错误；
C.若，
则，
当且仅当时取等号，所以，正确；
D.在中，若，
则，所以．
因为，所以，错误．
故选AC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正余弦定理的应用，考查三角恒等变换的应用，属于中档题．

对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；

对于，利用正弦定理可求得，进而可得；

对于，利用诱导公式和两角和与差的三角函数公式，得到，进而求得；

对于，根据三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，进而由正弦定理求得．

【解答】

解：由正弦定理可将条件转化为，

因为，故，

因为，则，故A正确；

若，则由正弦定理可知，
则，
因为，
则，故B错误；

若，
所以，
化简整理得，，，
在中，则，即，
所以，
所以是等边三角形，故C正确；

若的面积是，即，解得，

由余弦定理可得
，即，

设三角形的外接圆半径是，

由正弦定理可得，
则该三角形外接圆半径为，故D错误．

故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的应用，三角形的面积公式，三角恒等变换的应用，属于较难题．
记，，则，，由面积公式得，即可求出面积的范围，从而得解．

【解答】

解：记，则，，
由，
得．
设，
因为，分别在边，上且不含端点，故，，，
，
因为，故，
，
故，而，
故B，选项正确．
故选BC．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角形中的几何计算，熟练掌握平面向量的线性运算与数量积的运算，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
取的中点，连接，结合直角三角形的性质和重心的性质，可得，由，将其两边平方，并利用余弦定理，即可得解．

【解答】

解：取的中点，连接，

因为为的重心，所以点在上，
又，所以，，
由，得，
所以，即，
由余弦定理知，，
由可得，，
因为，即，
所以，
因为，所以．
故答案为．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理，两角和的正弦公式，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由正弦定理和三角函数公式可得，进而可求得的值，利用正弦定理可求三角形外接圆的半径，进而根据圆的面积公式即可求解．

【解答】

解：，
由正弦定理可得，
变形可得，
为三角形的内角，，
，可得，
又，
设外接圆的半径为，
由正弦定理，可得，
外接圆的面积．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

由正弦定理可得，，从而可得，求解即可．
本题考查正弦定理，以及三角恒等变形的应用，考查运算求解能力，属中档题．

【解答】

解：在中，，，利用正弦定理得，
在中，，，利用正弦定理得，

，
当时，的值最小为，
故BD的取值范围是．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
中，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，根据求出，中，利用正弦定理求出的长．

【解答】

解：中，，，，
由余弦定理得，
所以，
又，
由正弦定理得，所以，
又，，
中，，
由正弦定理得，
所以，
即的长为．
故答案为：．

16.【答案】解：由正弦定理有，从而，
则，
所以，
即有，
在中，由，
有且，
则，
故，
当且仅当，即，时取等．
所以的最小值为． 

【解析】本题考查正余弦定理解三角形和基本不等式求最值，属于中档题．
立足题设运用正余弦定理结合同角三角函数基本关系即可证的结论．
立足中结论在在中运用诱导公式以及两角和的正切公示可得，然后由得，结合基本不等式即可求得的最值．
 

17.【答案】解：在中，由余弦定理得
，
故，
因为．
所以．
又四边形，，，，四点共圆，从而与互补，
故，
从而在中，由正弦定理
由知，，，
又，故为钝角，
即为锐角，从而，
在中，由正弦定理
从而

其中，
因为四边形周长为，
所以四边形周长的最大值为． 

【解析】本题考查余弦定理，正弦定理的综合运用，属于中档题．
利用余弦定理求出，利用四点共圆的得到的正弦值，再通过正弦定理求出的长；
在中，利用正弦定理求出的最大值，进而求出四边形周长的最大值．
 

18.【答案】解：由题意可得，
因为，
所以，
则，
因为，
所以．
因为，
所以，
因为，
所以，
由正弦定理可得，
则，
由余弦定理可得，
则． 

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式，同角三角函数的基本关及两角和与差的三角函数公式．
利用二倍角公式可推出，由此可求出的值；
由题意，利用同角三角函数的基本关系可求出，根据两角和的正弦公式可得，进而利用正弦定理及余弦定理可求出的长．