2023届高考数学重难点专题13解三角形专练C卷

专题13解三角形专练C卷

一、单选题

1.  如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，某人先在塔的正西方点处测得塔顶的仰角为，然后从点处沿南偏东方向前进到达点处，在处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，，则：：(    )

A. ：： B.  C. ：： D.

3.  克罗狄斯托勒密所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时， (    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在中，，，，角是锐角，为的外心若，其中，，则点的轨迹所对应图形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，，为的平分线，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，内角，，的对边分别是，，，，，点在边上，且，则线段长度的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在中，角，，所对的边分别为，，，，是边上一点，，且，和的面积分别为，，对于给定的正数，当取得最小值时，等于(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题

9.  已知外接圆的面积为，内角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，设的周长和面积分别为，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在中，已知，且，则(    )

A. 、、成等比数列
B. ：：：：
C. 若，则
D. A、、成等差数列

11.  的内角，，的对边分别为，，其面积为，周长为若，且，则(    )

A.  B. 的最大值为
C. 的外接圆半径为 D. 的最小值为

三、填空题

12.  已知在中，角，，的对边分别为，，，，是的中点，若，则的最大值为___．

13.  在中，三个内角、、所对的边分别为、、，向量与向量夹角的余弦值为，且，则的取值范围是          ．

14.  已知中，点在边上，当取得最小值时，          ．

15.  在中，已知，的平分线交于，且，，则的面积为          ．

四、解答题

16.  在中，设角，，所对的边分别为，，，且满足．

求证：

求的最小值．

17.  已知在中，角，，的对边分别为，，，已知．

求角的值；

已知．

求面积的最大值；

求的最大值．

18.  的内角，，的对边分别为，，，已知
Ⅰ求
Ⅱ求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查解三角形的实际应用，属于基础题．
依题意，设的高度为，求得，，根据余弦定理可得关于的方程，求解即可．

【解答】

解：设塔高的高度为在中，因为，所以
在中，因为，所以
在中，，，，
根据余弦定理可得，，
即，解得或舍．
故选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

由平面向量数量积的运算知，再结合余弦定理，推出：：：：，然后由正弦定理，即可得解．
本题考查平面向量与解三角形的综合，熟练掌握平面向量数量积的运算法则，正弦定理和余弦定理是解题的关键，有一定的计算量，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．

【解答】

解：设的三个内角，，的对边分别为，，，
因为，
所以，
由余弦定理知，，
化简可得，，
所以：：：：，即：：：：，
由正弦定理知，：：：：：：．
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理的应用，是一般题．
根据已知条件求出，，再由余弦定理求出，在中求出所求结果．

【解答】

解：由已知得
所以，当且仅当时等号成立，
当线段的长取最大值时，，
所以
在中，
所以
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正、余弦定理、三角形面积公式，平面向量基本定理及数量积的应用，属中档题．
由利用诱导公式、正弦定理、余弦定理得到求得角，再由的面积为，求得，再由平面向量的基本定理和向量的数量积即可求解．

【解答】

解：在中，
，

由正弦定理得即，
，
又，
，
，
又的面积为，
即，
是边的中点，
，
．
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角形的面积公式，由三角形的面积公式求出再由余弦定理求出的值，再由正弦定理求出，由题意知，点的轨迹对应图形是以 和为两邻边的菱形，且 于是这个菱形的面积为 ，即可求解．

【解答】

解：因为
所以 因此
由得，
由题意知，点的轨迹对应图形是以 和为两邻边的菱形，且 
于是这个菱形的面积为 ．
故选A．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式，属中档题．
设后，用余弦定理求出，再求出，，，接着在中用正弦定理得，则．

【解答】

解：设，则，
在三角形中由余弦定理得，
，
，

．
在中由正弦定理得，
，
，
．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理、余弦定理及基本不等式的应用，涉及向量的模，加法与数量积的运算，以及用向量表示三点共线问题，属于较难题．
由正弦定理与余弦定理可求得，由于，，两边平方，结合基本不等式可得，从而求得线段长度的最小值．

【解答】

解：由及正弦定理，
得，即，
由余弦定理得，，，．
由于，，
两边平方，得

，
当且仅当时取等号，即，
线段长度的最小值为．
故选A．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理在三角形中的应用，三角形面积公式，以及基本不等式求范围与最值，考查了数形结合，考查了运算求解能力，属于难题．

【解答】

解：如图所示，可设，，则，且，

根据条件，在直角三角形中，，则，
在三角形中，根据正弦定理，可得，
，
故，
由于，则，
故，
当且仅当等号成立，
所以当时，取得最小值，
此时，，
故．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．

【解答】

解：由及正弦定理，得由余弦定理，得因为，所以，又，所以，则
因为外接圆的面积为，所以外接圆的半径由正弦定理，得，所以，选项AB正确
，所以，故选项D正确对于选项C，取满足条件，，则C错误．
故选ABD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，由正弦定理可得，可求，进而逐项分析各个选项即可得解．

【解答】

解：将，利用正弦定理化简得：，
即，
，
，
利用正弦定理化简得：，
又，
即
，
，由正弦定理可得，
，
：：：：：：，故A错误，
由正弦定理可得：：：：，故B正确；
若，可得，，可得，
可得，可得，故C正确；
若、、成等差数列，且，，可得，
由于，故D错误．
故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，三角函数的值域，属于中档题．
由已知式子利用正弦定理结合二倍角公式化简可求出角，再利用正弦定理可求出的外接圆半径，利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值，利用正弦定理结果三角函数恒等变换公式可求出的范围．

【解答】

解：因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，所以，所以A错误；
设的外接圆半径为，则由正弦定理得，
，得，所以C正确；
由余弦定理得，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，
所以的最大值为，所以B正确；
由正弦定理得，
所以，
所以



，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以，所以周长的最大值为，无最小值，所以D错误．
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了余弦定理、正弦定理及基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
先由得到，再结合，得到，最后借助基本不等式即可求解．

【解答】

解：由及正弦定理可得：
，
化简，得，
即，
所以，则，
又，
所以，
由余弦定理知，
即，
又，化简得，
即，
又，
当且仅当时，取等号，
故，
即，
所以的最大值为．
故答案为．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用数量积表示两个向量的夹角及三角函数的最值，属于中档题．
由题得到关于角的三角方程，解方程后，根据为的内角，易得到角的大小，所以可将表示为一个关于角的正弦型函数，再由正弦定理，易得的取值范围．

【解答】

解：且 ，
，，解得舍．
， 由上可知．

，


即  
，
，
的取值范围是 

14.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理解三角形，及基本不等式求最值，属于较难题．

【解答】

解：设，

则在中，，

在中，，

所以

，

当且仅当即时，等号成立，

所以当取最小值时，．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了三角形的面积公式，三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．
设，则可得，根据，利用三角形的面积公式可得，，联立解得的值，可求，利用二倍角公式可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解的面积．

【解答】

解：设，

因为，所以，
则可得，
根据，得

即，
化简得，
又在中，
即，
可得：，可得，
可得：，可得：，
可得：，，
所以：．
故答案为：．

16.【答案】解：在中，由已知及余弦定理得到：
，
即．
由正弦定理得到，
又，
故
，
因为，
所以，因为，
所以所以．
由得，
所以，，
由，得

，
当且仅当时取等号，
所以时，取得最小值． 

【解析】本题考查正、余弦定理，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
由正余弦定理结合三角形内角和公式可得结论；
由得到，，得，再由基本不等式可得最值．
 

17.【答案】解：依题意，，

则，

因为，故，

解得；

因为，故；

依题意，，

由余弦定理，，则，当且仅当时等号成立，

故，即面积的最大值为；

由正弦定理，，

所以，

所以

，

其中且为锐角，

则当时，有最大值．

【解析】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，利用基本不等式求最值的应用．
由正弦定理可得，即，从而可求角的值；

利用余弦定理结合基本不等式可求出，然后利用三角形的面积公式可求得其最大值；
利用正弦定理表示，然后代入中利用三角函数恒等变换公式化简变形可求出结果．

18.【答案】解：  因为，所以B.

即，

所以，

得，

因为，所以，得A.

又因为，所以，所以．

因为，所以，

因为

 

因为，所以，得，

所以．

所以当时，的最小值为．

【解析】本题考查了正弦定理，诱导公式，两角和与差公式，二倍角公式，以及函数的图象与性质 ，熟练掌握公式是解本题的关键．
Ⅰ由正弦定理化简已知的等式，移项后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，进而得到，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；
Ⅱ由第一问可得，结合二倍角公式，两角和差公式及辅助角公式可得，由的范围，即可得到所求式子的范围．