2023届新疆生产建设兵团第二师华山中学高三上学期（提高、实验段）第三次月考数学（理）试题（解析版）

2023届新疆生产建设兵团第二师华山中学高三上学期（提高、实验段）第三次月考数学（理）试题

一、单选题

1．下列关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合空集的定义，即可判断各选项的正误.

【详解】，，，.

故选：D.

2．已知（i是虚数单位）的共轭复数为，则的虚部为（    ）

A．3 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】利用复数除法运算化简，求得，进而确定的虚部.

【详解】，

所以，的虚部为.

故选：B

3．若，则（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简求值.

【详解】由已知，

所以，

故选：C.

4．如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1各边中点得到一个新的△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列所有三角形的面积和趋向于一个常数.已知A（0，0），B（5，0），C（1，3），则这个常数是（    ）

A． B．5 C．10 D．15

【答案】C

【分析】先判断出的面积依次构成一个无穷等比教列，求出三角形的面积的和，即可得到面积和趋向于常数10.

【详解】依题的面积依次构成一个无穷等比教列，

首项为的面积，公比为，前n个三角形的面积和为，

当n趋向于无穷大时，前n个三角形的面积和趋向于常数10.

故选：C.

5．下列命题中正确的是（    ）

A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“”为真命题

B．命题“若，则”的否命题为：“若，则”

C．“”是“”的充分不必要条件

D．命题“若则”的逆否命题为：“若，则”

【答案】D

【分析】由逻辑联结词，否命题，充分必要条件，逆否命题的知识点对选项逐一判断.

【详解】对于A, 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“”为假命题，故A不正确；

对于B, 命题“若，则”的否命题为：“若，则”, 故B不正确；

对于C, “”可解得“或，”，“”可得“”，故“”是“”的必要不充分条件，故C不正确;

对于D, 命题“若则”的逆否命题为：“若，则”,故D正确.

故选：D

6．北京冬奥会将于2022年2月4日到20日在北京和张家口举行．为纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出从一套5枚邮票中任取3枚的方法数，再求出3枚中恰有1枚吉祥物邮票的方法数，然后利用古典概型的概率公式求解．

【详解】一套5枚邮票中吉祥物邮票有2枚，从一套5枚邮票中任取3枚，共有种，恰有1枚吉祥物邮票有种，故恰有1枚吉祥物邮票的概率为．

故选：C．

7．如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的四等分点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据向量加减法的三角形法则计算即可.

【详解】解：由题意可得：，，，．

∴，

故选：D.

8．已知函数（，）  的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．图像的对称中心为，

C．直线是图像的一条对称轴

D．将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像

【答案】A

【分析】根据图像最高点得到，由周期得到，再将点代入函数解析式中求得，再根据正弦型函数的图像性质，对选项逐一判断即可得到结果.

由图像可得

【详解】由函数图像可知，，最小正周期为，

，将点代入函数解析式中，得：，

又，，

故．

对A，，所以正确,

对B，令，则，所以，即的对称中心为，故B错误；

对C，令，即，令，则，故C错误

对D，将的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，该函数不是偶函数，故D错误．

故选：A.

9．已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】由已知条件可推出的周期为4，结合分段函数即可求解

【详解】∵为上的偶函数，∴，

又，∴用替换，得，

∴，∴的周期为4，

∴，

因为，所以

故选：C

10．在中，，，为边上的中点，且的长度为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，结合余弦定理可得到，由此可整理得到；在中，利用余弦定理可得，解方程组可求得.

【详解】

在中，；

在中，；

，，又，

，

整理可得：，即，

，；

在中，，

，解得：（舍）或，

.

故选：A.

11．已知，则这三个数的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较，在同一坐标系中作出与的图象，结合图象与幂函数的性质可比较，即可求解

【详解】令，则，

由，解得，由，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减；

因为，

所以，即，

所以，所以，

又递增，

所以，即；

，

在同一坐标系中作出与的图象，如图：

由图象可知在中恒有，

又，所以，

又在上单调递增，且

所以，即；

综上可知：，

故选：A

12．设函数，则满足的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，为奇函数且单调递增，进而化简不等式，即可求出结果.

【详解】设，则

，为奇函数

所以在R上单调递增

，解得

故选：A

【点睛】方法点睛：解与复合函数有关的不等式，讨论函数奇偶性和单调性是常用的方法.本题考查了解决问题的综合能力和逻辑推理能力，属于难题.

二、填空题

13．已知中，，，，则的外接圆面积为___________.

【答案】

【分析】利用余弦定理求解边长，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.

【详解】解：根据题意，由余弦定理可得

，

该的外接圆的半径为r，

则由正弦定理得：.

故答案为：.

14．数列满足，，则__________．

【答案】

【分析】根据递推关系求得.

【详解】依题意，数列满足，，

所以，

所以，

，

，

，

，

，

.

故答案为：

15．已知是、是单位向量，，若向量满足，则的最大值为______

【答案】##

【分析】根据题意设，，，求出向量所表示的几何图形的轨迹，再求所表示的几何意义，从而求出的最大值．

【详解】解：由、是单位向量，且，则可设，，，

所以，

向量满足，

，

即，

它表示圆心为，半径为的圆，

又表示圆上的点到坐标原点的距离，因为，

所以．

故答案为：．

16．如图，在等腰△ABC中，底边，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则BD的取值范围是___________.（注：当时，为增函数）.

【答案】

【分析】由已知，可设，用根据题意分别表示出和，在△BCD中，然后根据正弦定理把BD的长表示为角的函数，并根据的范围求解其值域即可.

【详解】设.

易知，所以，

，

在△BCD中，由正弦定理得

.

易知，所以，

而当增大时，BD减小，且当时，；

当时，.

故BD的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】在解三角形时，常用正弦定理或余弦定理“化边为角”或“化角为边”，从而发现三角形中各元素之间的关系.在实际应用中，也常建立数学模型，将实际问题转化为数学问题来解决.

三、解答题

17．已知.

(1)求的最小正周期及单调递减区间；

(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求在区间的值域.

【答案】(1)最小正周期为，单调减区间为；

(2).

【分析】（1）辅助角公式化简函数式，由正弦函数性质求最小正周期和递减区间；

（2）写出图象平移后的解析式，进而求区间值域.

【详解】（1）由，则，

所以的最小正周期为.

由，解得，

所以的单调递减区间为.

（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，

所以.

当时，，，

所以函数的值域为.

18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．

(1)求角A的大小；

(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．

若，点D是边上的一点，且______，求线段的长．

①是的中线；②是的角平分线；③．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由条件变形结合余弦定理可得；

（2）选①或③：由向量的线性运算用表示出向量，然后平方将问题转化为数量积计算即可；选②：根据，结合面积公式可得.

【详解】（1）由，得，

即，

因为，所以．

（2）选①，由，，

则  

所以．        

选②，因为，，

所以，

即，  

解得．

选③，依题意，得，

由，，

则  

  .

故

19．已知数列的首项，且满足．

(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

(2)设，，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对已知等式两边取倒数，再利用等比数列的定义证明，进而求得通项公式；

（2）利用错位相减法求和即可求解.

【详解】（1）由，两边取倒数得，

即，即

故数列是首项为，公比为3的等比数列，

所以，，即

所以数列的通项公式为

（2）由（1）知，，

①

②

两式相减得：

20．时值金秋十月，正是秋高气爽，阳光明媚的美好时刻．复兴中学一年一度的校运会正在密锣紧鼓地筹备中，同学们也在热切地期盼着，都想为校运会出一份力．小智同学则通过对学校有关部门的走访，随机地统计了过去许多年中的五个年份的校运会“参与”数及相关数据，并进行分析，希望能为运动会组织者科学地安排提供参考．

附：①过去许多年来学校的学生数基本上稳定在3500人左右；②“参与”人数是指运动员和志愿者，其余同学均为“啦啦队员”，不计入其中；③用数字表示小智同学统计的五个年份的年份数，今年的年份数是6；

统计表（一）

统计表（二）

高一（3）（4）班参加羽毛球比赛的情况：

(1)请你与小智同学一起根据统计表（一）所给的数据，求出“参与”人数关于年份数的线性回归方程，并预估今年的校运会的“参与”人数；

(2)根据统计表（二），请问：你能否有超过 的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关？

参考公式和数据一：，，，

参考公式二：，其中．

参考数据：

【答案】(1)；2.9千人.

(2)没有超过 的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关.

【分析】（1）计算出的值，继而求得的值，可得线性回归方程，即可预估今年的校运会的“参与”人数；

（2）确定列联表，计算的值，与参考数据比较可得结论.

【详解】（1）由题意得 ， ，

所以，

∴

∴线性回归方程为 ，

∴预计今年的“参与“人数为：（千人）．

（2）由题意可确定列联表如下：

则，

所以没有超过的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关.

21．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.

(1)求点的轨迹的方程.

(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由三角形重心的性质与椭圆的定义求解即可；

（2）设直线的方程为：，，联立直线与椭圆，再表示出直线又直线与的方程，联立求出交点，即可求解

【详解】（1）因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，

所以,

故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），

且，所以，

所以的轨迹的方程为；

（2）设直线的方程为：，，

联立方程得：，

则，

所以，

又直线的方程为：，

又直线的方程为：，

联立方程得：，

把代入上式得：

，

所以当点运动时，点恒在定直线上

22．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)设，试判断曲线与直线在区间上交点的个数，并说明理由.

【答案】(1)

(2)交点的个数为1，理由见解析

【分析】（1）由导数法求单调递增区间；

（2）将两线交点转化成零点个数问题，由导数法讨论零点个数即可

【详解】（1）函数的定义域为.

.           

令，解得.

所以函数的单调递增区间为.

（2）由（1）得，

曲线与直线在区间上交点的个数等价于的根个数.

于是有，即，

设，.

设，.

此时，，，变化情况如下：

于是有，，.

由零点存在定理可知在存在唯一零点.

设零点为，则在，，单调递增；在，，单调递减.

因为，，，所以在上存在唯一零点，

即曲线与直线在区间上交点的个数为1.

【点睛】不含参函数零点个数问题，

（1）利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理判断；

（2）当导数的符号不易判断时，可将导数作为新的函数，再做一次（1）的过程来判断符号