2023届重庆市凤鸣山中学教育集团高三上学期期中数学试题（解析版）

2023届重庆市凤鸣山中学教育集团高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求出集合A中函数的定义域和集合B中函数的值域，再求两个集合的交集.

【详解】根据题意可得：，，

所以，

故选：C.

2．在等差数列中，，，则（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】C

【分析】先求出等差数列的公差，利用即可.

【详解】由题知，等差数列的公差为，所以.

故选：C

3．已知向量 ， ，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量共线的坐标表示，列出方程，可得答案.

【详解】因为向量 ， ，

故由，可得，

故选;C

4．甲、乙、丙、丁四人准备从社区组织的道路安全或卫生健康志愿宣传活动中随机选择一个参加，每个人的选择相互独立，则甲、乙参加同一个活动的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用古典概型的概率计算公式计算出所求答案.

【详解】基本事件的总数为，

甲、乙参加同一个活动包含的基本事件有，

所以甲、乙参加同一个活动的概率为.

故选：C

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，记，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由三角函数的定义可得到，然后通过即可得到答案

【详解】由可得，

所以

故选：D

6．已知定义域为的偶函数满足，且当时，，则 （   ）

A． B． C．1 D．3

【答案】D

【分析】根据给定条件，探讨出函数的周期，再结合已知函数式求解作答.

【详解】因上的偶函数满足，即有，则，

因此，函数是周期为8的周期函数，.

故选：D

7．若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用，与即可确定在上的投影与在上的投影，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，即可确定，的横坐标，设出坐标由得到两向量纵坐标的关系后，列出，夹角的余弦值的式子，利用基本不等式确定余弦值的范围，即可确定，夹角的范围，注意即，的夹角为锐角.

【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，

，，，

，，三者直接各自的夹角都为锐角，

，，，

，，即在上的投影为1，在上的投影为3，

，，如图

，

即，且

则，

由基本不等式得，

，

与的夹角为锐角，

，

由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，

故选：C.

8．已知正数满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由条件可得，，，所以都可视为函数的值，但考虑对数函数值计算较为困难，故考虑到利用整式函数对的取值进行估计，由此考虑利用导数证明，并借用结论估计，再比较的大小.

【详解】设，其中，则，

所以在上单调递减，所以当时，，所以当时，，

设，其中，则，当且仅当时等号成立，

所以在上单调递增，所以当时，，所以当时，，

所以当时，，

所以，又，

所以，

，又，所以，所以，

由，可得，

所以，又，，所以，因为都为正数，

所以，即，

故选：A.

【点睛】本题的解决的关键在于利用整式函数对对数函数进行估计，从而实现大小的比较.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．命题，的否定为，

B．“且”是“”的充要条件

C．函数的零点是、

D．已知，则的最大值为

【答案】AD

【分析】利用全称量词命题的否定可判断A选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用函数零点的定义可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.

【详解】对于A选项，命题，的否定为“，”，A对；

对于B选项，令，由可得，所以，，即，

而或，

故“且”是“”的充分不必要条件，B错；

对于C选项，由可得或，

故函数的零点分别为、，C错；

对于D选项，当时，，

则

，当且仅当时，等号成立，

故当时，的最大值为，D对.

故选：AD.

10．已知函数（    ）

A．当时，的最小值为

B．当时，的单调递增区间为，

C．若在上单调递增，则的取值范围是

D．若恰有两个零点，则的取值范围是

【答案】ABD

【分析】根据分段函数单调性、最值、图象性质、零点逐项判断即可.

【详解】解：当时，，则当时，函数在上单调递增，则，

当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，

综上，当时，的最小值为，的单调递增区间为，，故A正确，B正确；

在同一坐标系中画出函数与函数的图象，如下图

根据图象可知，要使在上单调递增，则的取值范围是或，故C不正确；

根据上述图象可知，有一个零点0，有两个零点1和3，

所以当时，函数在上没有零点，在上有两个零点1和3；

当时，函数在上有一个零点0，在上有两个零点1和3；

当时，函数在上有一个零点0，在上有一个零点3；

当时，函数在上有一个零点0，在没有零点；

综上，恰有两个零点，则的取值范围是，故D正确.

故选：ABD.

11．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（    ）

A． B．

C． D．数列的前项和为

【答案】BCD

【分析】直接由递推公式求出即可判断A选项；分为奇数或偶数即可判断B选项；分为奇数或偶数结合累加法即可判断C选项；由分组求和法即可判断D选项.

【详解】对于A，，A错误；

对于B，当为奇数时，为偶数，则，，可得；

当为偶数时，为奇数，则，，可得，B正确；

对于C，当为奇数且时，

累加可得

，时也符合；

当为偶数且时，

累加可得

；则，C正确；

对于D，设数列的前项和为，则，

又，，D正确.

故选：BCD.

【点睛】本题的关键点在于利用题目中的递推关系式，分为奇数或偶数两种情况来考虑，同时借助累加法即可求出通项，再结合分组求和法以及等差数列求和公式即可求得前项和，使问题得以解决.

12．已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有(    )

A．

B．若，则函数的最小正周期为；

C．关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解

D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为

【答案】ABD

【分析】A：在上单调，，，故；

B：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在上单调，据此可求出f(x)周期的范围，从而求出ω的范围.再根据知是f(x)的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的倍即可求出ω，从而求出其周期；

C：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；

D：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围.

【详解】A，∵，∴在上单调，又，，∴，故A正确；

B，区间右端点关于的对称点为，∵，f(x)在上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴为的最小正周期，即3，又，∴.若，则的图象关于直线对称，结合，得，即，故k＝0，，故B正确.

C，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解，故C错误.

D，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，结合，得，又，∴的取值范围为，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题综合考察的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍.

三、填空题

13．已知复数满足，则的实部为____．

【答案】

【分析】设，利用复数的运算可得出关于、的方程组，解之即可.

【详解】设，则，

所以，，所以，，解得，

因此，复数的实部为.

故答案为：.

14．，的夹角为，，则___________.

【答案】

【分析】利用向量的数量积，即可计算.

【详解】解：，

故答案为：0.

15．甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为____

【答案】

【分析】根据题意分析得甲只能被抽取两张3，乙抽取的两张牌要至少有一张5，再根据古典概型求概率公式求概率即可．

【详解】解：一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更大，则甲被抽取的两张牌的点数之和应更小．

若甲被抽取的两种牌中有点数为10的牌，则这两张牌的点数之和肯定更大，不合题意．

故甲只能被抽取两张3，故其抽取的两张牌的点数之和为6，而乙抽取的两张牌点数之和要大于6，则至少有一张5，

综上．

故答案为：．

16．已知函数，若关于的方程，有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】首先利用导函数求的单调性，作出函数的大致图象，将方程解得问题转换成交点问题即可求解出答案．

【详解】解：因为，则，

当或时，，

当时，，

所以在和上单调递减，在上单调递增，

且当时，，，

故的大致图像如图所示：

关于的方程等价于，

即或，

由图可得，方程有且仅有一解，则有两解，

所以，解得，

故答案为：

四、解答题

17．已知函数.

（1）若f(θ) =1，求锐角θ的值;

（2）将函数y= f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍( 纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移个单位，得到函数y= g(x)的图象，求数g(x)在上的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）首先利用三角恒等变换将函数化简，再结合，代入计算可得；

（2）根据三角函数的变换规则得到，再根据的取值范围，得到的取值范围，结合正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：

即

（1）

所以

所以或，

解得或，

因为为锐角，所以

（2）将各点的横坐标变为原来的2倍( 纵坐标不变)得到，再将的图象向右平移个单位得到，即

因为，所以

所以当，即时函数取得最小值

【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数的性质的综合应用，考查三角函数的变换，属于中档题.

18．设数列前项和，且，．

（Ⅰ）试求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【详解】试题分析：（Ⅰ）当时，

所以， 即 3分

当时， 4分

由等比数列的定义知，数列是首项为2，公比为2的等比数列，

所以，数列的通项公式为 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 8分

所以，①

以上等式两边同乘以得

②

①-②，得

， 所以. 14分

【解析】数列求通项求和

点评：第一问中数列求通项用到了，第二问数列求和用到了错位相减法，此法适用于通项公式为关于的一次式与指数式的乘积形式的数列，这两个考点都是数列题目中的高频考点，须加以重视

19．已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）求导分析函数的单调性与极值即可；

（2）将题意转化为在上恒成立，再构造函数，求导分析函数的单调性与最小值即可.

【详解】（1）的定义域为，

令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减；

所以当时，取得极小值，且极小值为；无极大值.

（2）对任意恒成立，即恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以，所以，即，故的取值范围为.

20．在锐角中，，_________．

(1)求角；

(2)求的周长的取值范围．

在①；②，；③，．且在这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解．

【答案】(1)条件选择见解析，．

(2)．

【分析】（1）选择条件①则结合正弦定理边角关系化简可得角；选择条件②则根据三角恒等变换化简得，再根据可得角；选择条件③则根据平面向量数量积的坐标运算与二倍角公式可得角；

（2）利用正弦定理将的周长转化为关于角的正弦型函数，根据函数求解取值范围即可.

【详解】（1）解：选择条件①，因为，由正弦定理得：

，所以

所以

因为，所以，所以，

又，则．

选择条件②，因为，，

所以，

所以，

由，得，

所以或，

因为是锐角三角形，所以．

选择条件③，因为，，

所以，

所以，又，则．

（2）解：由正弦定理，，

即，因为，又，

则 ，得所以，

则，

因为是锐角三角形，，

所以，得，所以，则

所以的周长为．

21．伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善.据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一，某市一健身连锁机构对去年的参与了该连锁机构健身的会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为该健身连锁机构会员年龄等级分布图，图2为一个月内会员到健身连锁机构频数分布扇形图

若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一月内来健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”.

(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100人的样本，根据上图的数据，补全下方列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为是否为“健身达人”与年龄有关；

临界值表：

(2)将（1）中的频率作为概率，连锁机构随机选取会员进行回访，抽取3人回访.

①若选到的3人中2人为“年轻人”，1人为“非年轻人”,再从这3人中随机选取的1人，了解到该会员是“健身达人”，求该人为非年轻人的概率；

②设3人中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和期望值.

【答案】(1)列联表答案见解析，不能认为“健身达人”与年龄有关

(2)①；②分布列答案见解析，数学期望：

【分析】（1）首先根据题意填写好表格，根据公式计算值，对照表格得到结论；

（2）根据条件概率公式得到此人为非年轻人的概率，根据独立性检验实验分，计算各自概率，得到分布列.

【详解】（1）根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为，则非年轻人为20人，根据图2表格得健身达人所占比60%，所以其人数为，根据其中年轻人占比，所以健身达人中年轻人人数为，则非年轻人为10人；

健身爱好者人数为，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为，3根据非年轻人总共为20人，则健身爱好者中非年轻人人数为，具体表格填写如下.

列联表为

零假设，是否为“健身达人”与年龄无关.

所以，依据的独立性检验，不能认为“健身达人”与年龄有关；

（2）①设事件为：该人为年轻人，事件为：该人为健身达人，故此人为“非年轻人”的概率为则

②由（1）知，既是年轻人又是健身达人的概率为，

，

故X的分布列：

的数学期望值

.

22．已知函数．

(1)是否存在实数使得在上有唯一最小值，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由；

(2)已知函数有两个不同的零点，记的两个零点是，.

①求证：；

②求证：．

【答案】(1)存在，

(2)①证明见解析；②证明见解析

【分析】（1）求导，根据的取值范围讨论函数的单调性与最值情况；

（2）分离参数，根据函数有两个零点，可转为两函数有两个公共点，进而确定，且，，①先证：，再证：，进而得证；②若证，即证，设，构造，根据导数判断函数单调性与最值，即可得证.

【详解】（1），，则，，

当时，恒成立，函数单调增，没有最值；

当时，令，解得，负值舍去，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

所以当时，函数取到最小值，，解得，

所以存在满足条件的；

（2）由，得，

令，则，

令，解得，

函数在上单调递减，在单调递增，

故在上有唯一最小值点，

若方程有两个不同的零点，，

则，且，

①函数的图象在点，处的切线方程分别为和

且在内，在上

先证：即，即，，

，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以；

再证：，即

令，则恒成立，

所以在上单调递减，所以，

令，，

即可得，，即；

②，则，

所以若证，即证，

即，即，即证，

即，

令，即证明

令，显然，

，

令，

∴，，，

故在区间，上单调递减，

在区间，上单调递增，

又因，所以在区间上单调递增，

故

所以在区间上单调递增，

所以，则不等式得证．

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．