2023届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三上学期月考（六）数学（理）试题（解析版）

这是一份2023届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三上学期月考（六）数学（理）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由对数函数性质确定集合，由平方的定义确定集合，然后由交集定义计算．
【详解】，所以，
故选：C．
2．已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z在复平面上的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】结合复数的除法运算求出，由复数与复平面的关系即可求解.
【详解】由，所以，所以z在复平面上的点位于第四象限.
故选：D．
3．高三年级在某次月考时，某班数学科代表作统计本班数学成绩的工作，并计算出班级数学平均分和方差，当工作完成时，发现漏统计了一位同学的数学成绩，若该同学的数学成绩恰是班级的数学平均分，则下列说法正确的是（ ）
A．班级平均分不变，方差变小B．班级平均分不变，方差变大
C．班级平均分改变，方差变小D．班级平均分改变，方差变大
【答案】A
【分析】根据平均数的定义以及方差的公式分别代入增加前后的人数及分数，计算出结果进行对比即可得出结果.
【详解】设原平均分为，人数为，增加1人分数为后的平均分为，故班级的平均分不变；
而由方差公式，当增加一个为均值的数时，
方差公式中的n增大，中括号内的值不变，使得最终结果变小，
即
，故增加一个为均值的数据方差变小.
故选：A.
4．在中，“A=B”是“sin2A=sin2B”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】时，，充分性满足，
当时，，不必要．
所以应为充分不必要条件．
故选：B．
5．已知为等差数列的前n项和，，则的值为（ ）
A．12B．14C．24D．28
【答案】D
【分析】设等差数列的公差为，然后由已知条件可得，从而可求出的值.
【详解】令等差数列的公差为，
因为，
所以
则，
所以，所以，
所以，
故选：D．
6．二项式的展开式中所有二项式系数之和为，则二项式的展开式中常数项为（ ）
A．9B．15C．135D．540
【答案】C
【分析】根据所有二项式系数之和为，求出，再根据通项公式可求出结果.
【详解】由二项式的展开式中所有二项式系数之和为，得，即，
所以，
令，得，
所以二项式的展开式中常数项为.
故选：C．
7．已知函数，若在区间上单调，且，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据单调性和，可求得的一个对称中心和一条对称轴，再结合周期即可求出的值．
【详解】由于在区间上单调，且，所以，且，
又因为，且，所以为的对称轴，
又，所以，故而．
故选：B．
8．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数性质以及对数函数性质分别判断的范围，即可比较大小，再利用对数函数性质比较的大小，即可得答案.
【详解】由，而，
所以，
又，则,
所以，而，所以，
综合可知，
故选:B
9．已知圆与圆，圆I与圆均相切，则圆I的圆心I的轨迹中包含了哪条曲线（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】C
【分析】分两种情况进行讨论，圆I与圆同时外切或内切和圆I与圆一个内切一个外切，即可得到答案
【详解】由圆可得，由圆可得，设圆I的半径为，
当圆I与圆同时外切或内切时，如图，
①当同时外切时，；②当同时内切时，；
故始终，此时I的轨迹为的中垂线；
当圆I与圆一个内切一个外切时，如图，
①当圆I与圆内切，与圆外切，则；
②当圆I与圆内切，与圆外切，则，
故，
所以此时I的轨迹是以为焦点的双曲线，
故选：C．
10．已知直线与椭圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离
B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切
C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交
D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定
【答案】B
【分析】考虑和两种情况，联立方程，得到，根据点与椭圆的关系依次验证直线和椭圆的关系得到答案.
【详解】当，则，则直线，
①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交；
②若点A在椭圆C上，则，则，直线l与椭圆C相切；
③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离；
当时，联立方程，消去y得：
，
所以，
①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交；
②若点A在椭圆C上，则手，则，直线l与椭圆C相切；
③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离；
若点A在直线l上，则满足，即点A在椭圆C上，由以上讨论可知直线l与椭圆C相切，D错误.
综上所述：B正确
故选：B
11．已知是棱长为1的正方体，点P为正方体表面上任一点，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为
C．若，则点P的迹长度为
D．若，则点P的轨迹长度为
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析点P轨迹,讨论各选项即可得答案.
【详解】当时，如图1，此时点P的轨迹为半径为1，圆心角为的三段圆弧，
所以此时点P轨迹的长度为，故A选项正确；
当时，如图2，点P的轨迹一部分是在面三个面内以为半径，圆心角为的三段弧，
另一部分是在面三个面内以为半径，圆心角为的三段弧；所以此时点P轨迹的长度为，故B选项正确；
当时，如图3，点P的轨迹是在面三个面内以1为半径，圆心角为的三段弧，
所以此时点P轨迹的长度为，故C选项正确；
当，如图4，点P的轨迹是在面三个面内以为半径，圆心角小于的三段弧，
所以此时点P轨迹的长度小于，故D选项不正确；
故选：D．
12．已知函数，则下列命题中，正确的个数为（ ）
①若，则函数的图像关于直线对称；
②令，，则函数与图像关于直线对称；
③若为偶函数，且，则函数的图像关于直线对称；
④若函数的图像关于直线对称，则函数的图像关于直线对称；
⑤若为R上的奇函数，且，使得，则函数在区间上有且仅有5个零点．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】利用若，则函数的图像关于直线对称，从而判断出①②③正确，④错误，⑤特殊值法，令满足条件，但在上有无穷多个零点，则错误．
【详解】由，令，即则，故而是函数的对称轴，故①正确；
由关于直线的对称的函数图像的解析式为，所以关于直线的对称的函数图像的解析式为，故②正确；
由，所以，由为偶函数，所以，所以函数的图像关于直线对称，故③正确；
令，由函数的图像关于直线对称可得，即，
令，即，所以，故函数的图像关于直线对称，故④不正确；
不妨令，则有，则在上有无穷多个零点，故而⑤不正确．
故选：B．
二、填空题
13．已知边长为2的等边三角形，则___________．
【答案】
【分析】由数量积公式求解即可.
【详解】
故答案为：
14．已知为正项递增等比数列的前n项和，若，则___________．
【答案】
【分析】根据等比数列的概念可得和的值，直接根据等比数列前项和以及通项公式即可得结果.
【详解】由，所以，，
所以，解得或（舍），易知，
所以，
故．
故答案为：.
15．若，则的最大值为___________．
【答案】
【分析】由和，根据基本不等式可求出结果.
【详解】，
由，所以，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当或时取等号，
所以的最大值为．
故答案为：
16．从空间中点作四条射线，每两条射线间的夹角均相等，则此夹角的余弦值为___________．
【答案】
【分析】可把，，，放入正方体中，借助正方体中的边角关系，即可求出该角的余弦值.
【详解】如图，可把正方体的中心看成点，相对的四个顶点看作，，，，
设正方体棱长为1，则，，，
故答案为:
三、解答题
17．如图，已知在四棱锥中，△PAD为正三角形，底面为菱形，且面面，面面．
(1)求证：面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）由面面垂直的性质定理，作垂直于交线的直线，得到线面垂直，再到线线垂直，最后证得结论；
（2）先建立空间直角坐标系，由空间向量法求两个平面的法向量，再求两个法向量所成角的余弦值，得出结果.
【详解】（1）证明：如图1，取的中点O，取的中点E，
由于△PAD为正三角形，所以，
因为面面，
所以由面面垂直的性质定理知，面，又，
所以；
同理可证，面，又，
所以；面，面，又与相交，
所以面．

（2）取的中点F，由（1）知，为正方形，以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立如图2所示的空间直角坐标系，不妨令，由为正三角形，

则，
所以，
设为平面的一个法向量，则，
即，令，则，则，
设为平面的一个法向量，则，
即，令，则，则，
令为二面角的平面角，则，
所以二面角的余弦值为．
18．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．
(1)求角A；
(2)若点D是边上的一点，且，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）正弦定理角化边，再用余弦定理求角A；
（2）利用向量数量积的运算，把等式转化为边，再利用基本不等式求解最小值.
【详解】（1）由及正弦定理知：，即，
由余弦定理有，由，所以，
（2）由，所以，可得，即，
由，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故所求的面积的最大值为．
19．我校举办“学党史”知识测试活动，每位教师3次测试机会，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为，乙教师3次测试每次测试合格的概率均为，每位教师参加的每次测试是否合格相互独立．
(1)求甲教师第一次参加测试就合格的概率P；
(2)设甲教师参加测试的次数为m，乙教师参加测试的次数为n，求的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据题意，表示出甲教师参加第二、三次测试合格的概率，列出方程即可求得；
（2）由题意知，的可能取值为2，3，4，5，6，分别求出其对应概率，即可得到其分布列.
【详解】（1）由甲教师3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，
又甲教师第一次参加测试就合格的概率为P，
故而甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是、，
由题意知，，解得或（舍），
所以甲教师第一次参加测试就合格的概率为．
（2）由（1）知甲教师参加第二、三次测试合格的概率分别是、，
由题意知，的可能取值为2，3，4，5，6，由题意可知
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
20．已知椭圆的左、右焦点是,且以为直径的圆的面积为,点P是椭圆C上任一点,且的面积的最大值为．
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,且原点O到直线l的距离为1,求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据题意先求出,再根据面积的最大值求出,进而求出椭圆的方程即可;
(2)先考虑直线l斜率不存在的情况,求出此时面积,再考虑直线l斜率存在的情况,设直线方程,利用原点O到直线l的距离,得到直线中参数的关系,再联立方程组,设点坐标,利用韦达定理,得出面积的式子进行化简求范围即可.
【详解】（1）解:由题知以为直径的圆的半径为c,
所以,故,
由的面积最大值为,
所以,故,
所以,
所以椭圆C的方程为;
（2）当直线l的斜率不存在时,由题意知直线l的方程为,
所以,
所以;
当直线l的斜率存在时,
令直线l的方程为,
由原点O到直线l的距离为1,
所以,
即,
联立方程,
消去y得:,
则有,
即,
令,
所以,
由
,
令,
则
,
令,
所以,
所以,
综上所述,．
【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,关于直线与圆锥曲线问题思路有:
(1)根据题意考虑直线与圆锥曲线的两个交点,即设有两个交点的直线方程;
(2)分情况讨论直线斜率是否存在;
(3)设直线方程,联立方程组;
(4)判别式大于零,韦达定理;
(5)根据题意建立关于的等式,化简即可.
21．已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，求参数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，求出函数的切线的斜率，即可求出切线方程；
（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调性结合零点存在性定理，即可求出参数a的取值范围.
【详解】（1）当时，，所以，
所以，
在处的切线方程为，
即．
（2）（ⅰ）当时，，不合题意；
若，由，所以，
（ⅱ）当时，当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减，
又，由零点存在定理及函数的单调性可知：
存在唯一的，使得，
又当时，，由零点存在定理及函数的单调性可知：
存在唯一的，使得，
所以满足题意；
（ⅲ）当时，令，得或，
①若，则，则
当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增；
又
，不合题意，
②若，则，则在R上恒成立，
即在R上单调递增，不合题意；
③若，则，
当时，，即单调递增；
当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增；
又，不含题意，
综上所述，参数a的取值范围为．
22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)若点为曲线C上的两点，且满足，求的最大值．
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）采用消参法可得曲线的普通方程，再利用直角坐标和极坐标的转化公式即可求得答案；
（2）设，进而表示出的表达式，结合三角函数的恒等变换，即可求得答案.
【详解】（1）由题意曲线C的参数方程为 （t为参数），
由，
所以曲线C的普通方程为，
又，
所以曲线C的极坐标方程为，
即．
（2）不妨令，由（1）知：
，，
所以
，
所以的最大值为，
当且仅当，即时取最大值，
由可知或时取得最大值.
23．已知a，b，c均为大于零的实数．
(1)求证：；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)9
【分析】对于（1），相当于证明，恒等变形后利用基本不等式可证；
对于（2），注意到，后利用基本不等式可得答案.
【详解】（1）证明：要证，
即证，注意到
设，
则
=
，
当且仅当，即时取等号.
故
（2）由，所以
，当且仅当，即，时取等号.故的最小值为.
2
3
4
5
6
P