2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第三次综合测试数学（理）试题（解析版）

2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第三次综合测试数学（理）试题

一、单选题

1．设集合,,则（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式求得集合，求函数的定义域求得集合，由此求得.

【详解】，解得，即.

，即，

所以.

故选：B

2．已知，则复数z+5的实部与虚部的和为（　　）

A．10 B． C．0 D．

【答案】A

【分析】首先根据复数的运算可得，由即可得解.

【详解】由可得，

，

所以的实部与虚部的和为，

故选：A

3．图二的程序框图所示的算法来自《九章算术》.若输入的值为16， 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

【详解】由程序框图，得当输入，则，，输出的值为8；故选C.

4．如果，当且取得最大值时， 的值是

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】C

【详解】因为，，所以，当 时取得最大值，故选C.

5．设，，，则，，的大小关系是（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，进行大小比较，从而得出相应答案．

【详解】根据指数函数的单调性可得：，即， ，即，

由于，根据对数函数的单调性可得：，即，

所以，

故答案选B．

【点睛】本题主要考查学生对于对手函数的单调性及其应用这一知识点的掌握程度，指数函数以及对数函数的单调性，取决于底数与1的大小．

6．哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为（　　）

A．60 B．80 C．120 D．240

【答案】A

【分析】利用分组分配办法求解即可.

【详解】可分为两步求解，

第一步将四名大学生分为两组，由于分法为2，2，

考虑到重复一半，故分组方案应为种，

第二步将此两组大学生分到5个部门中的两个部门中，不同的安排方式有，

故不同的安排方案有种，

故选：A．

7．一个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是80cm3．则图中的x等于（　　）

A． B． C．3 D．6

【答案】C

【分析】把三视图还原后得到该几何体为上面是一个四棱锥，下面是一个正方体，且四棱锥的右侧面与正方体的右侧面在同一个平面内．利用正方体与四棱锥的体积计算公式即可得出．

【详解】把三视图还原后，该几何体为一个组合体：上面是一个四棱锥，下面是一个正方体，且四棱锥的右侧面与正方体的右侧面在同一个平面内．

∴该几何体的体积是80=43+，解得x=3．

故选：C．

8．设等差数列满足，且为其前n项和，则数列的最大项为(　 　)

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设等差数列的公差为，由，利用通项公式化为，由可得，，利用二次函数的单调性即可得出答案

【详解】设等差数列的公差为，，

即

，则

等差数列单调递减

当时，数列取得最大值

故选

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其前项和公式，二次函数的单调性，考查了推理能力与运算能力，属于中档题．

9．已知变量满足约束条件若目标函数的最

小值为2，则的最小值为

A． B．5+2 C． D．

【答案】A

【详解】由约束条件可得到可行域如图所示，

目标函数，即

当过点时目标函数取得最小值，即，

所以，

当且仅当时，即时等号成立，

所以的最小值为，故选A.

10．已知函数（）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线对称，若对于任意的，都有 ，则实数m的取值范围为（　　）

A． B．[1，2]

C． D．

【答案】B

【分析】根据图象关于直线对称可得，由图象在y轴上的截距为1，得A=，进而求解 在上的最小值，转化成即可求解.

【详解】∵函数（）的图象在y轴上的截距为1，

∴，即．

∵函数的图象关于直线对称，∴，，由于，∴，

∴=，∴A=，∴．

对于任意的，都有，

∵， 所以，进而，

因此，

∴ ，求得 ，

故选：B．

11．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动， 且总是平行于轴， 则的周长的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.

【详解】抛物线，则焦点，准线方程为，

根据抛物线定义可得，

圆，圆心为，半径为，

点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.

点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由圆心和半径可知，

则的周长为，

所以，

故选：B.

【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.

12．函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将问题等价于有两个零点，构造函数，求导，利用导数确定的最大值，即可求解.

【详解】令，即，由于，所以 ，

记，则 ，

当时，由于，所以，此时单调递减，当时，，所以，此时单调递增，

所以当时，取最大值，

且当无限接近于0时， 接近于0，而趋向于，故趋向于，

当取值越来越大时，接近于0，而趋向于，所以趋向于，

因此有两个零点，则，

故选：D

二、填空题

13．若，则二项式的展开式中常数项为 ______ ．

【答案】1120

【分析】计算，再根据二项式定理计算得到答案.

【详解】，

二项式的展开式的通项公式为，

令，求得， 故展开式中常数项为，

故答案为：1120

14．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、两点，为的实轴长的2倍，则的离心率为_____________．

【答案】

【详解】设双曲线的标准方程为，由题意，得，即，

，所以双曲线的离心率为.

点睛：处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为，过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为.

15．在直角三角形ABC中，，，对于平面内的任一点，平面内总有一点使得，则_________.

【答案】6

【分析】由可知D为线段AB上的点且BD＝2AD，将用，表示后代入相乘即可．

【详解】对平面ABC内的任一点M，平面ABC内总有一点D使得，

即,所以D为线段AB上的点且BD＝2AD

所以,

故答案为6．

【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．

16．若数列满足，Sn是{an}的前n项和，则S40= ______ ．

【答案】440

【分析】由（n≥2），对n分类讨论得：a2k+a2k-2=4k-1，a2k+1+a2k-1=1，分组求和即可得出．

【详解】∵，

∴当n=2k时，即a2k-a2k-1=2k，①

当n=2k-1时，即a2k-1+a2k-2=2k-1，②

当n=2k+1时，即a2k+1+a2k=2k+1，③

①+②a2k+a2k-2=4k-1，

③-①a2k+1+a2k-1=1，

S40=(a1+a3+a5+…+a39)+(a2+a4+a6+a8+…+a40)

．

故答案为：440.

三、解答题

17．如图所示，在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，AE=，cosB=，∠ADB=．

(1)求AD的长；

(2)求△ADE的面积．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）首先利用同角三角函数可得，求得，在中利用正弦定理即可得解；

（2）在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcos∠ADC，解得， 代入即可得解.

【详解】（1）在△ABD中，∵，，

∴，

∴，

由正弦定理，知．

（2）由（1）知AD=2，依题意得AC=2AE=3，

在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD•CDcos∠ADC，

即，

∴DC2-2DC-5=0，解得（负值舍去）．

∴，

从而．

18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．

(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；

(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；

（附：，）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型， 从6组数据中选取2组数据共有=15种情况，抽到相邻两个月的数据的情况有5种，代入公式即可得解；

（2）先由数据求得，再由求，再由由求得，即可.

【详解】（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A，

试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有=15种情况，

每种情况都是等可能出现的，其中满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，

∴P（A）=，

（2）由数据求得，

由公式求得，

所以，

∴y关于x的线性回归方程为.

19．如图，在中,已知，在上，且，又平面，，.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】(1)结合已知条件，利用线面垂直性质证明，然后利用余弦定理求，结合勾股定理证明，然后线面垂直关系和面面垂直关系证明，最后利用线面垂直判定定理即可证明；(2)建立空间直角坐标系，然后分别求出平面和平面的法向量，然后利用二面角的向量公式求解即可.

【详解】（1）设，则，，

由，平面知，平面，

由平面，则，从而，且，

由余弦定理可知，，即，

故，从而，

因为平面，平面，

所以平面平面，

因为，，

所以，，即，

由平面平面，平面，

故平面，

因为平面，

所以，

因为，平面，平面，

所以平面.

（2）以为坐标原点，以，，的方向为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

令，则，，，，，

从而，，

设平面的法向量为，

故，令，则，，

从而，

由(1)中知，平面，

故为平面的一个法向量，

故，

由图可知，二面角为锐角，

从而二面角的余弦值为.

20．设、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，坐标原点到直线的距离是.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）过椭圆的上顶点作斜率为的直线交椭圆于另一点，点在椭圆上，且，求证：存在，使得.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【详解】试题分析：（Ⅰ）写出直线的方程，利用点到直线的距离公式，可建立关于的方程，转化为离心率即可求解；（Ⅱ）求出，，转化为，记，利用函数零点知识分析出函数的零点在区间，从而存在，使得．

试题解析：（Ⅰ）是椭圆上的点，且，所以，又,

直线的方程

坐标原点到直线的距离是．得

，即

解方程得或，（舍）故所求椭圆离心率为

（Ⅱ），上顶点故直线的方程

解得

所以，

即

记，

又，，所以函数的零点在区间

存在，使得．

点睛：本题考查了椭圆的离心率以及直线与椭圆的位置关系，属于难题．离心率问题，只需要得到关于的关系式，转化为离心率即可，对于第二问中的是否存在问题，比较新颖，需要转化为方程是否有解，进一步构造函数，寻求函数的零点，这种转化思想在解题中起到了至关重要的作用．

21．已知函数．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若时，恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增.

(2)

【分析】(1)对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性即可；

(2)求恒成立时参数的取值范围，构造新的函数，求导，利用分类讨论的思想即可求解.

【详解】（1）若，则函数，所以，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

综上：当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）由题意可知：在上恒成立．

①若，则函数，所以，

由（1）知：函数在上单调递减，在上单调递增.

所以 ，即不成立；∴不成立．

②∵，所以在上恒成立，

不妨设，，

则，

令，解得：，

若时，则，

当时，，此时函数为增函数，则（不合题意）；

若时，当时，，此时函数为增函数，则（不合题意）；

若时，当，，此时函数为减函数，（符合题意）．

综上所述：若时，恒成立，则．

【点睛】（1）判断函数的单调性，利用求导，判断导函数与0的关系，问题得解决；

（2）求恒成立，求参数a的取值范围，设，求导，利用分类讨论的思想，问题得以解决．

22．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为：(为参数)，点的极坐标为，设直线与曲线相交于两点．

(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

(2)求的值．

【答案】（1），（2）1

【分析】（Ⅰ） 利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；

（Ⅱ） 点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x﹣2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．

【详解】Ⅰ曲线C的直角坐标方程为：，即

，直线l的普通方程为                  

Ⅱ点A的直角坐标为，设点P，Q对应的参数分别为，，点P，Q的极坐标分别为，将为参数与联立得：，

由韦达定理得：，          

将直线的极坐标方程与圆的极坐标方程联立得：

，由韦达定理得：，即 

所以，

【点睛】本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力．

23．（1）已知函数，解不等式；

（2）已知函数，解不等式．

【答案】（1）{x|x＞1或x＜0}；（2）（-∞，]

【分析】（1）分和两种情况讨论即可；

（2）分三种情况讨论即可得解.

【详解】（1）∵已知函数f（x）=|x-1|，故不等式f（x）+x2-1＞0，

若，|x-1|＞1-x2，∴x-1＞1-x2①，

若，x-1＜-（1-x2）②．

解①求得x＞1，解②求得 x＜0，

综上可得，原不等式的解集为 {x|x＞1或 x＜0}．

（2）已知函数f（x）=|x+2|-|x-1|，由不等式f（x）≥5x可得

①，②，③．

解①求得x＜-2，解②求得-2≤x≤，解③求得x∈∅．

综上可得，不等式的解集为（-∞，].