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    2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第四次综合测试数学(文)试题(解析版)

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    这是一份2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第四次综合测试数学(文)试题(解析版),共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第四次综合测试数学(文)试题

     

    一、单选题

    1.已知集合,则下列判断正确的是(    

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】根据指数函数的值域求得集合,由对数函数的定义域求得集合,即可判断.

    【详解】因为,所以集合

    又函数的定义域为,则集合

    M不是N的真子集

    故选:C.

    2.设表示复数的点在复平面内关于实轴对称,,=    

    A0 B C D

    【答案】B

    【分析】根据复数在复平面对应点的性质可得,代入计算出结果即可.

    【详解】:由题知的点在复平面内关于实轴对称,

    ,

    ,

    .

    故选:B

    3.若命题,使得为假命题,则实数的取值范围是(    

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】根据命题的关系得到命题,都有为真命题,从而得到,即可求得实数的取值范围.

    【详解】命题,使得的否定为:

    ,都有

    因为命题,使得为假命题,

    所以命题,都有为真命题,

    所以,解得:

    即实数的取值范围是

    故选:C.

    4.中央电视台的国学知识竞赛节目《中国诗词大会》火爆荧屏,如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分,则下列说法正确的是(    

     

     

     

    9

    5

    1

     

     

     

     

     

    5

    4

    3

     

     

     

     

    8

    2

    3

    0

    4

     

     

     

    6

    4

    2

    0

    5

    7

    8

    4

    2

    1

    1

    2

     

     

     

     

    A.甲的平均分大于乙的平均分 B.甲的平均分等于乙的中位数

    C.甲的方差大于乙的方差 D.甲的中位数大于乙的中位数

    【答案】C

    【分析】根据茎叶图得到甲和乙的得分,再根据平均数、中位数和方差公式计算后,比较可得答案.

    【详解】由茎叶图可知,甲选手的得分为:111214242632384559

    乙选手的得分为:122025272830344351

    所以甲的平均分为:

    乙的平均得分为:

    甲的中位数为:26

    乙的中位数为:28

    甲的方差为:

    乙得方差为:

    所以甲的平均分小于乙的平均分,故A不正确;

    甲的平均分大于乙的中位数,故B不正确;

    甲的方差大于乙的方差,故C正确;

    甲的中位数小于乙的中位数,故D不正确.

    故选:C

    5.设,则(    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】上是增函数和上是增函数,即可求解.

    【详解】因为上是增函数,,所以

    上是增函数,

    所以

    故选:B.

    6.已知,则的值是(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】对原式两边平方,再结合同角的三角函数的平方关系和二倍角公式,即可求解.

    【详解】得:

    ,则

    所以

    故选:D.

    7.已知,,    

    A1 B C D

    【答案】C

    【分析】根据题意将代入到,展开后将,代入,即可得出选项.

    【详解】:由题知,,,

    ,

    则有

    ,

    .

    故选:C

    8.若对任意非零实数,定义的运算规则如图的程序框图所示,则的值是(    

    A B

    C D9

    【答案】C

    【分析】根据程序框图得到分段函数解析式,再由解析式计算可得结果.

    【详解】根据程序框图可知,

    所以

    所以

    .

    故选:C

    9.在ABC中,已知,若ABC最长边长,则其最短边长为(    

    A B C D1

    【答案】C

    【分析】由三角形的内角范围和三角函数的符号得到,再利用同角三角函数关系得到,结合两角和的余弦公式算出,得到ABC最长边长,通过比较的大小得边最短,,再利用正弦定理求解.

    【详解】由题意得:,则

    所以

    ,则,所以

    因为

    ,又,即

    所以角为最大角,即

    ,且,所以

    即角为最小角,则最短边为

    由正弦定理得:,则

    故选:C.

    10.如图,正方体的棱长为,以顶点为球心,2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为

    A B C D

    【答案】A

    【详解】试题分析:图中弧为过圆心的平面与球面相交所得大圆的一段弧,因为,所以,由弧长公式知弧的长为,弧为不过圆心的平面与球面相交所得小圆的弧,其圆心为,因为球心到平面的距离,球半径,所以小圆半径,又,所以弧的长为,两段弧长之和为,故选A

    【解析】1、球的截面性质;2、弧长公式.

    11.已知点AB是双曲线上的两点,O为坐标原点,且满足OAOB,则点O到直线AB的距离等于(    

    A B C2 D

    【答案】A

    【分析】当直线的斜率为时,得到点是直线与双曲线的交点,从而得到点O到直线AB的距离等于点纵坐标的绝对值;当直线的斜率不为时,设直线的方程为,联立直线和双曲线得到),从而得到,由得到,求得,结合点到直线的距离公式即可得出.

    【详解】当直线的斜率为时,即直线平行于轴,

    因为双曲线关于轴对称,则点也关于轴对称,

    ,则直线轴的夹角均为

    所以点O到直线AB的距离等于点纵坐标的绝对值,

    联立,解得:,即

    所以当直线的斜率为时,点O到直线AB的距离等于

    当直线的斜率不为时,设直线的方程为

    联立,消去得到:

    ),

    因为直线与此双曲线有两个不同的交点,所以

    则有

    ,即

    所以

    ,化简得:.

    则点到直线的距离

    综上:点O到直线AB的距离等于

    故选:A.

    12.已知定义在上的可导函数的导函数为,满足,且,则不等式的解集为

    A B C D

    【答案】B

    【详解】依据题设构造函数,则,因,故,则函数上单调递减,又原不等式可化为,故,则,应选B.

    点睛:解答本题的关键是能观察和构造出函数,然后运用导数中的求导法则进行求导,进而借助题设条件进行判断其单调性,从而将已知不等式进行等价转化和化归,最后借助函数的单调性使得不等式获解.

     

    二、填空题

    13.已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为____________________.

    【答案】

    【详解】依题意,设所求的双曲线的方程为.

    为该双曲线上的点,

    .

    该双曲线的方程为:,即.

    故本题正确答案是.

     

    14.若变量满足约束条件,的取值范围是_________.

    【答案】

    【分析】先画出可行域,把目标函数看作连线的斜率,根据斜率公式计算出范围即可.

    【详解】:由题知画出可行域如下:

    的几何意义为连线的斜率,

    即点与阴影部分连线的斜率,

    由图可知,

    ,

    的取值范围为.

    故答案为:

    15.已知定义在上的奇函数满足,数列的前项和为,______________

    【答案】3

    【分析】根据奇函数和得到的周期性,根据,,得到,再根据周期性和对称性及即可得出结果.

    【详解】:由题知,

    ,

    ,

    为奇函数,

    ,

    ,

    ,

    代换为,

    ,

    两式相减可得: ,

    ,

    周期为3,

    .

    故答案为:3

    16.三棱锥中,,作出与都平行的截面,分别交棱于点,则截面的最大面积为______________

    【答案】

    【分析】利用线面平行的性质定理证明四边形为平行四边形,结合,可得四边形为矩形,设,求出,再求出矩形面积关于的函数解析式,利用二次函数知识可求出结果.

    【详解】如图:

    因为,平面,所以

    因为,平面,所以

    所以

    因为,平面,所以

    因为,平面,所以

    所以

    所以四边形为平行四边形,

    ,所以

    所以四边形为矩形,

    ,又,所以

    ,又,所以

    所以矩形的面积为

    所以当时,面积取最大值.

    故答案为:.

     

    三、解答题

    17.设数列的前项和为,若.

    (1)证明:数列是等比数列;

    (2)求数列的通项公式.

    【答案】(1)证明见解析

    (2)

     

    【分析】1)令得到,结合解得,利用得到,从而得到,即可证明数列是等比数列;

    2)由(1)得到,由时,得到,再验证,即可求解.

    【详解】1)因为,所以时,,即

    ,由得:

    得:,即

    所以,即

    所以数列是首项为,公比为的等比数列.

    2)由(1)得:,则

    时,

    )时 ,

    两式相减得:

    时,满足

    故数列的通项公式为.

    18.云南省2016年全省高中男生身高统计调查数据显示:全省100000名男生的身高服从正态分布.现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于157.5cm187.5 cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第一组 [157.5162.5],第二组[162.5167.5],第6[182.5187.5],图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

    (1)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况;

    (2)求这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数;

    (3)在这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人中任意抽取2人,求这2人的身高排名(从高到低)均在全省前130名的概率.

    参考数据:若,.

    【答案】(1)平均身高为171,比全省平均身高大

    (2)10

    (3)

     

    【分析】1)结合频率分布直方图,计算平均身高用组中值频率,即可得到结论;

    2)根据频率分布直方图求得身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的频率,从而求出这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数;

    3)先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182.5cm以上,由频率分布直方图得到这10人中182.5 cm以上的有人,即可求解.

    【详解】1)因为全省100000名男生的身高服从正态分布

    所以全省100000名男生的平均身高为

    设我校高三年级男生平均身高为

    由频率直方图得:

    cm

    所以我校高三年级男生平均身高高于全市的平均值170.5cm.

    2)由频率分布直方图知,后两组频率为0.2,人数为

    即这50名男生身高在177.5cm以上(177.5 cm)的人数为10.

    3)因为全省100000名男生的身高服从正态分布

    所以

    ,又

    所以全省前130名的身高在182.5 cm以上,

    由频率分布直方图知,这10人中182.5 cm以上的有.

    于是10人中任取两个人的方法共有种,

    这两人身高排名均在全省前130名的方法共有种,

    所以这2人的身高排名(从高到低)均在全省前130名的概率.

    19.已知三棱锥PABC中,ACBCACBC2PAPBPC3OAB中点,EPB中点.

    1)证明:平面PAB平面ABC

    2)求点B到平面OEC的距离.

    【答案】1)见解析(2

    【分析】1)连结PO,利用等腰三角形的性质证得,利用勾股定理计算证明证得,由此证得平面,进而证得平面平面.

    2)利用等体积法,由列方程,解方程求得到平面的距离.

    【详解】1)连结PO,在PAB中,PAPBOAB中点,

    POAB

    ACBC2ACBC

    PAPB3PC2PO2+OC2

    POOC

    ABOCOAB平面ABCOC平面ABC

    PO平面ABC

    PO平面PAB平面PAB平面ABC

    2OEPAB的中位线,

    OAB中点,ACBCOCAB

    又平面PAB平面ABC,两平面的交线为ABOC平面PAB

    OE平面PABOCOE

    设点B到平面OEC的距离为d,则VBOECVEOBC

    B到平面OEC的距离:

    【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查点面距离的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.

    20.已知分别是直线上的两个动点,线段的长为的中点.

    1)求动点的轨迹的方程;

    2)过点任意作直线(与轴不垂直),设与(1)中轨迹交于两点,与轴交于点.若,证明:为定值.

    【答案】1. (2)证明见解析.

    【分析】1)本小题属于相关点法求轨迹方程,设,然后再设出相关动点,根据的中点,以及,可以消去得到的普通方程.

    2)设出直线的方程为,再设,然后直线方程与椭圆的方程联立,根据,可得,同理,则,然后再利用韦达定理证明即可

    【详解】1)设

    是线段的中点,

    分别是直线上的点,.故

    动点的轨迹的方程为

    2)依题意,直线的斜率存在,故可设直线的方程为

    两点坐标满足方程组

    消去并整理,得

    轴不垂直,

    ,同理

    代入韦达定理有,故为定值

    21.已知函数.

    1)若曲线上点处的切线过点,求函数的单调递减区间;

    2)若函数上无零点,求的最小值.

    【答案】1;(2

    【详解】试题分析:(1)求出函数的导数,计算g′1),求出a的值,从而求出gx)的递减区间即可;

    2)问题转化为对x0),a2﹣恒成立,令lx=2﹣x0),根据函数的单调性求出a的最小值即可.

    试题解析:

    1∵gx=3﹣ax﹣2﹣a﹣2lnx

    ∴g′x=3﹣a﹣∴g′1=1﹣a

    g1=1∴1﹣a==﹣1,解得:a=2

    g′x=3﹣2﹣=0,解得:0x2

    函数gx)在(02)递减;

    2∵fx)<0在(0)恒成立不可能,

    故要使fx)在(0)无零点,只需任意x0),fx)>0恒成立,

    即对x0),a2﹣恒成立,

    hx=2﹣x0),

    h′x=

    再令mx=﹣2x0),

    m′x=0

    mx)在(0)递减,于是mx)>m=2﹣2ln20

    从而h′x)>0,于是hx)在(0)递增,

    ∴hx)<h=2﹣4ln2

    故要使a2﹣恒成立,只要a[2﹣4ln2+∞),

    综上,若函数y=fx)在(0,)上无零点,则a的最小值是2﹣4ln2

    22.选修4-4:坐标系与参数方程

    在直角坐标系,曲线t为参数,,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线

    )求交点的直角坐标;

    )若相交于点A,相交于点B,最大值.

    【答案】;(4.

    【详解】)曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为.联立解得所以交点的直角坐标为

    )曲线的极坐标方程为,其中.因此得到极坐标为的极坐标为.所以,当时,取得最大值,最大值为

    【解析】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化;2、三角函数的最大值.

     

    23.设 .

    (1) 的解集;

    (2)若不等式,对任意实数恒成立,求实数x的取值范围.

    【答案】(1) (2.

    【详解】试题分析:

     (1)分情况讨论去绝对值求解即可;

    (2)整理,再结合绝对值三角不等式可得,再解不等式即可.

    试题解析:

    (1)

    解得,所求解集为.

    (2=,

    当且仅当时取等号.

    由不等式对任意实数恒成立,

    可得,解得.

     

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