2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第四次综合测试数学(文)试题(解析版)
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一、单选题
1.已知集合,,则下列判断正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据指数函数的值域求得集合,由对数函数的定义域求得集合,即可判断.
【详解】因为,所以集合,
又函数的定义域为,则集合,
即,,M不是N的真子集
故选:C.
2.设表示复数的点在复平面内关于实轴对称,且,则=( )
A.0 B. C. D.
【答案】B
【分析】根据复数在复平面对应点的性质可得,代入计算出结果即可.
【详解】解:由题知的点在复平面内关于实轴对称,
,
,
.
故选:B
3.若命题“,使得”为假命题,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据命题的关系得到命题“,都有”为真命题,从而得到,即可求得实数的取值范围.
【详解】命题“,使得”的否定为:
“,都有”,
因为命题“,使得”为假命题,
所以命题“,都有”为真命题,
所以,解得:,
即实数的取值范围是,
故选:C.
4.中央电视台的国学知识竞赛节目《中国诗词大会》火爆荧屏,如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分,则下列说法正确的是( )
甲 |
| 乙 | |||||
|
| 9 | 5 | 1 |
|
|
|
|
| 5 | 4 | 3 |
|
|
|
| 8 | 2 | 3 | 0 | 4 |
|
|
| 6 | 4 | 2 | 0 | 5 | 7 | 8 |
4 | 2 | 1 | 1 | 2 |
|
|
|
A.甲的平均分大于乙的平均分 B.甲的平均分等于乙的中位数
C.甲的方差大于乙的方差 D.甲的中位数大于乙的中位数
【答案】C
【分析】根据茎叶图得到甲和乙的得分,再根据平均数、中位数和方差公式计算后,比较可得答案.
【详解】由茎叶图可知,甲选手的得分为:11,12,14,24,26,32,38,45,59,
乙选手的得分为:12,20,25,27,28,30,34,43,51,
所以甲的平均分为:,
乙的平均得分为:,
甲的中位数为:26,
乙的中位数为:28,
甲的方差为:
,
乙得方差为:
,
所以甲的平均分小于乙的平均分,故A不正确;
甲的平均分大于乙的中位数,故B不正确;
甲的方差大于乙的方差,故C正确;
甲的中位数小于乙的中位数,故D不正确.
故选:C
5.设,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由在上是增函数和在上是增函数,即可求解.
【详解】因为在上是增函数,,所以,
则,
又在上是增函数,
所以,
即,
故选:B.
6.已知,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】对原式两边平方,再结合同角的三角函数的平方关系和二倍角公式,即可求解.
【详解】由得:,
即,则,
所以,
故选:D.
7.已知,若,则( )
A.1 B. C. D.
【答案】C
【分析】根据题意将代入到中,展开后将,代入,即可得出选项.
【详解】解:由题知,,,
,
则有
,
.
故选:C
8.若对任意非零实数,定义的运算规则如图的程序框图所示,则的值是( )
A. B.
C. D.9
【答案】C
【分析】根据程序框图得到分段函数解析式,再由解析式计算可得结果.
【详解】根据程序框图可知,,
所以,
所以,
即.
故选:C
9.在△ABC中,已知,,若△ABC最长边长,则其最短边长为( )
A. B. C. D.1
【答案】C
【分析】由三角形的内角范围和三角函数的符号得到,,再利用同角三角函数关系得到、和,结合两角和的余弦公式算出,得到△ABC最长边长,通过比较和的大小得边最短,,再利用正弦定理求解.
【详解】由题意得:,,则,
所以,,
又,,则,所以,
因为,
即,又,即,
所以角为最大角,即,
又,,且,所以,
即角为最小角,则最短边为,
由正弦定理得:,则,
故选:C.
10.如图,正方体的棱长为,以顶点为球心,2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】试题分析:图中弧为过圆心的平面与球面相交所得大圆的一段弧,因为,所以,由弧长公式知弧的长为,弧为不过圆心的平面与球面相交所得小圆的弧,其圆心为,因为球心到平面的距离,球半径,所以小圆半径,又,所以弧的长为,两段弧长之和为,故选A.
【解析】1、球的截面性质;2、弧长公式.
11.已知点A、B是双曲线上的两点,O为坐标原点,且满足OA⊥OB,则点O到直线AB的距离等于( )
A. B. C.2 D.
【答案】A
【分析】当直线的斜率为时,得到点、是直线与双曲线的交点,从而得到点O到直线AB的距离等于点、纵坐标的绝对值;当直线的斜率不为时,设直线的方程为,,,联立直线和双曲线得到(),从而得到和,由得到,求得,结合点到直线的距离公式即可得出.
【详解】当直线的斜率为时,即直线平行于轴,
因为双曲线关于轴对称,则点、也关于轴对称,
又,则直线、和轴的夹角均为,
所以点O到直线AB的距离等于点、纵坐标的绝对值,
联立,解得:,即,
所以当直线的斜率为时,点O到直线AB的距离等于;
当直线的斜率不为时,设直线的方程为,,,
联立,消去得到:,
即(),
因为直线与此双曲线有两个不同的交点,所以,
则有,,
又,,
且,,即,
又,,
所以,
则,
即,化简得:.
则点到直线的距离,
综上:点O到直线AB的距离等于,
故选:A.
12.已知定义在上的可导函数的导函数为,满足,且,则不等式的解集为
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】依据题设构造函数,则,因,故,则函数在上单调递减,又原不等式可化为且,故,则,应选B.
点睛:解答本题的关键是能观察和构造出函数,然后运用导数中的求导法则进行求导,进而借助题设条件进行判断其单调性,从而将已知不等式进行等价转化和化归,最后借助函数的单调性使得不等式获解.
二、填空题
13.已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为____________________.
【答案】
【详解】依题意,设所求的双曲线的方程为.
点为该双曲线上的点,
.
该双曲线的方程为:,即.
故本题正确答案是.
14.若变量满足约束条件,则的取值范围是_________.
【答案】
【分析】先画出可行域,把目标函数看作与连线的斜率,根据斜率公式计算出范围即可.
【详解】解:由题知画出可行域如下:
的几何意义为与连线的斜率,
即点与阴影部分连线的斜率,
由图可知,
,
故的取值范围为.
故答案为:
15.已知定义在上的奇函数满足,数列的前项和为,则______________
【答案】3
【分析】根据奇函数和得到的周期性,根据,,得到,再根据周期性和对称性及即可得出结果.
【详解】解:由题知,
,
,
为奇函数,
,
,
,
将代换为,
有,
两式相减可得: ,
即,
故周期为3,
.
故答案为:3
16.三棱锥中,,,,作出与、都平行的截面,分别交棱、、、于点、、、,则截面的最大面积为______________
【答案】
【分析】利用线面平行的性质定理证明四边形为平行四边形,结合,可得四边形为矩形,设,,求出和,再求出矩形面积关于的函数解析式,利用二次函数知识可求出结果.
【详解】如图:
因为,平面,所以,
因为,平面,所以,
所以,
因为,平面,所以,
因为,平面,所以,
所以,
所以四边形为平行四边形,
又,所以,
所以四边形为矩形,
设,,
则,又,所以,
,又,所以,
所以矩形的面积为,
所以当时,面积取最大值.
故答案为:.
三、解答题
17.设数列的前项和为,若,().
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)令得到,结合解得和,利用得到,从而得到,即可证明数列是等比数列;
(2)由(1)得到,由时,得到,再验证,即可求解.
【详解】(1)因为,所以时,,即①,
又②,由①和②得:,,
由得:,即,
所以,即,
又,
所以数列是首项为,公比为的等比数列.
(2)由(1)得:,则,
当时,,
当()时 ,,,
两式相减得:,
时,满足,
故数列的通项公式为().
18.云南省2016年全省高中男生身高统计调查数据显示:全省100000名男生的身高服从正态分布.现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5 cm之间,将测量结果按如下方式分成6组:第一组 [157.5,162.5],第二组[162.5,167.5],…,第6组[182.5,187.5],图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况;
(2)求这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数;
(3)在这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人中任意抽取2人,求这2人的身高排名(从高到低)均在全省前130名的概率.
参考数据:若,则,,.
【答案】(1)平均身高为171,比全省平均身高大
(2)10人
(3)
【分析】(1)结合频率分布直方图,计算平均身高用组中值频率,即可得到结论;
(2)根据频率分布直方图求得身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的频率,从而求出这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数;
(3)先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182.5cm以上,由频率分布直方图得到这10人中182.5 cm以上的有人,即可求解.
【详解】(1)因为全省100000名男生的身高服从正态分布,
所以全省100000名男生的平均身高为,
设我校高三年级男生平均身高为,
由频率直方图得:
cm,
所以我校高三年级男生平均身高高于全市的平均值170.5cm.
(2)由频率分布直方图知,后两组频率为0.2,人数为,
即这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数为10人.
(3)因为全省100000名男生的身高服从正态分布,
即,,
所以,
则,又,
所以全省前130名的身高在182.5 cm以上,
由频率分布直方图知,这10人中182.5 cm以上的有人.
于是10人中任取两个人的方法共有种,
这两人身高排名均在全省前130名的方法共有种,
所以这2人的身高排名(从高到低)均在全省前130名的概率.
19.已知三棱锥P﹣ABC中,AC⊥BC,AC=BC=2,PA=PB=PC=3,O是AB中点,E是PB中点.
(1)证明:平面PAB⊥平面ABC;
(2)求点B到平面OEC的距离.
【答案】(1)见解析(2)
【分析】(1)连结PO,利用等腰三角形的性质证得,利用勾股定理计算证明证得,由此证得平面,进而证得平面平面.
(2)利用等体积法,由列方程,解方程求得到平面的距离.
【详解】(1)连结PO,在△PAB中,PA=PB,O是AB中点,
∴PO⊥AB,
又∵AC=BC=2,AC⊥BC,∴.
∵PA=PB=3,∴,PC2=PO2+OC2,
∴PO⊥OC.
又AB∩OC=O,AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,
∴PO⊥平面ABC,
∵PO⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面ABC.
(2)∵OE是△PAB的中位线,∴.
∵O是AB中点,AC=BC,∴OC⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC,两平面的交线为AB,∴OC⊥平面PAB,
∵OE⊂平面PAB,∴OC⊥OE.
设点B到平面OEC的距离为d,则VB﹣OEC=VE﹣OBC,
∴,
∴点B到平面OEC的距离:
.
【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查点面距离的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.
20.已知分别是直线和上的两个动点,线段的长为,是的中点.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点任意作直线(与轴不垂直),设与(1)中轨迹交于两点,与轴交于点.若,,证明:为定值.
【答案】(1). (2)证明见解析.
【分析】(1)本小题属于相关点法求轨迹方程,设,然后再设出相关动点,根据是的中点,以及,可以消去,得到的普通方程.
(2)设出直线的方程为,再设,然后直线方程与椭圆的方程联立,根据,可得,同理,则,然后再利用韦达定理证明即可
【详解】(1)设,
∵是线段的中点,∴
∵分别是直线和上的点,∴和.故,,
∴
又,∴
∴,∴动点的轨迹的方程为.
(2)依题意,直线的斜率存在,故可设直线的方程为.
设
则两点坐标满足方程组,
消去并整理,得,
∴,
∵,∴
即,∵与轴不垂直,∴,
∴,同理
∴.
代入韦达定理有,故为定值
21.已知函数().
(1)若曲线上点处的切线过点,求函数的单调递减区间;
(2)若函数在上无零点,求的最小值.
【答案】(1);(2).
【详解】试题分析:(1)求出函数的导数,计算g′(1),求出a的值,从而求出g(x)的递减区间即可;
(2)问题转化为对x∈(0,),a>2﹣恒成立,令l(x)=2﹣,x∈(0,),根据函数的单调性求出a的最小值即可.
试题解析:
(1)∵g(x)=(3﹣a)x﹣(2﹣a)﹣2lnx,
∴g′(x)=3﹣a﹣,∴g′(1)=1﹣a,
又g(1)=1,∴1﹣a==﹣1,解得:a=2,
由g′(x)=3﹣2﹣=<0,解得:0<x<2,
∴函数g(x)在(0,2)递减;
(2)∵f(x)<0在(0,)恒成立不可能,
故要使f(x)在(0,)无零点,只需任意x∈(0,),f(x)>0恒成立,
即对x∈(0,),a>2﹣恒成立,
令h(x)=2﹣,x∈(0,),
则h′(x)=,
再令m(x)=﹣2,x∈(0,),
则m′(x)=<0,
故m(x)在(0,)递减,于是m(x)>m()=2﹣2ln2>0,
从而h′(x)>0,于是h(x)在(0,)递增,
∴h(x)<h()=2﹣4ln2,
故要使a>2﹣恒成立,只要a∈[2﹣4ln2,+∞),
综上,若函数y=f(x)在(0,)上无零点,则a的最小值是2﹣4ln2.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线 (t为参数,且 ),其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
(Ⅰ)求与交点的直角坐标;
(Ⅱ)若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)4.
【详解】(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为.联立解得或所以与交点的直角坐标为和.
(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,其中.因此得到极坐标为,的极坐标为.所以,当时,取得最大值,最大值为.
【解析】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化;2、三角函数的最大值.
23.设 .
(1)求 的解集;
(2)若不等式,对任意实数恒成立,求实数x的取值范围.
【答案】(1) (2.
【详解】试题分析:
(1)分情况讨论去绝对值求解即可;
(2)整理,再结合绝对值三角不等式可得,再解不等式即可.
试题解析:
(1)由有或
或
解得,所求解集为.
(2=,
当且仅当时取等号.
由不等式对任意实数恒成立,
可得,解得.
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