2022-2023学年浙江省杭州市高三上学期12月教学质量检测数学模拟卷(PDF版)
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2022学年第一学期杭州市教学质量检测数学模拟卷参考答案一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中有且只有一项符合题意,多选、错选、不选均不得分。1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. A 二、多选题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题列出的四个选项中有多项符合题意,选全得5分,漏选得2分,错选、不选均不得分。9. 10. 11. 12. 三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。13. 14. 15. 16. 四、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17. 解:由可得,即,因为,所以,因为,所以.由可得,则,因为,所以,在中,由正弦定理可得,即,解得由余弦定理可得,解得.记,,则点在线段上且为的中点,记的中点为,边上的高为,,,则.,所以的最小值为.18. 解:因为,,所以,因为,所以,所以是首项为,公比为的等比数列,所以.所以.由题意知,.所以,即 ,又,则.所以.又,则,则. , , 得, .
所以. 19. 解:依题意,折痕有下列三种情形:
折痕的端点,分别在边,上;
折痕的端点,分别在边,上;
折痕的端点,分别在边,上.
在情形、中,故当时,折痕必定是情形.
设,,则
因为,当且仅当时取等号,
所以,当且仅当时取等号.
即的最大值为
由题意知,长方形的面积为.
因为,,所以,.
(ⅰ)当折痕是情形时,设,,则,即.
由得.
所以,
令,则,设,
则,令,得负舍. 所以的取值范围为,故的取值范围是;
(ⅱ)当折痕是情形时,设,,
则,即.
由得.
所以,.
所以的取值范围为;
(ⅲ)当折痕是情形时,设,,
则,即.
由得.
所以,.所以的取值范围为
综上所述,的取值范围为 20. 解:由散点图可以判断,更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归类型,对两边取自然对数得,令,,,则,因为,,所以关于的回归方程为,所以关于的回归方程为.由,
,且,当时,,当时,.所以函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以函数在处取得极大值,即最大值,故;由可知,当时,取最大值,又,则,由题意可知,
故,. 21. 解:Ⅰ抛物线:经过点,,解得,
由题意,直线的斜率存在且不为,设过点的直线的方程为,设,,联立方程组可得,消可得,,且,解得,且,则,,又、要与轴相交,直线不能经过点,即,故直线的斜率的取值范围是;
Ⅱ证明:设点,,则,,因为,所以,故,同理,
直线的方程为,
令,得,同理可得,
因为,
,为定值. 22. 解:∵(,,∴
即为偶函数.
(1)当时,,当时,,所以,所以当时,f'(x)0;当时,f'(x)0;所以函数在上单调递增,在单调递减;又根据偶函数的图象关于轴对称知,函数在上单调递增,在上单调递减;
所以在和上单调递增,在和上单调递减;(2)因为,所以,当a1时,f'(x)0对任意恒成立,此时在上单调递增,又,所以关于的方程无实数根;当时,使得,即.且当时,;当时,;所以函数在上单调递增,在单调递减;,,①当,即时,关于的方程在区间上无实数根,又为偶函数,所以关于的方程在上无实数根;②当,即时,关于的方程在区间上有1个实数根,又为偶函数,所以关于的方程在上有2个实数根;综上,当时,关于的方程在上有2个实数根;
当时关于的方程在上无实数根.
数学模拟卷小题解析1. 【分析】本题考查补集以及集合之间的关系,属于基础题.根据题意画出图,由图即可得到.【解答】解:集合,,满足:,
如图,
.故选:.2. 【分析】本题主要考查函数的单调性问题及充分、必要条件,属于基础题.
根据为单调减函数解出的范围,即可判断得结果.【解答】解:由题意可得为减函数,则,解得.故选:3. 【分析】本题考查排列组合问题中简单的分组分配问题,属于基础题.
根据题意可知其中一名同学分得两本书,其余两名同学各分得一本书,利用排列组合数进行计算.【解答】解:根据题意可知其中一名同学分得两本书,其余两名同学各分得一本书,不同的分发数为种
故选D.4. 【分析】本题主要考查双曲线的基本性质,属于中档题.
利用双曲线的定义建立,,的关系即可解得答案.【解答】解:由题意可得焦点到渐近线的距离为,又因为,所以,则,,
在中由余弦定理得,代入化简得,则渐近线方程.故选:5. 【分析】本题考查了两角和与差的三角函数,以及正弦定理,属于中档题.
先利用两角差的正弦公式将原式变形,再利用正弦定理化角为边可得答案.【解答】解:因为,,则.故选:.6. 【分析】本题考查由数列的递推公式求通项公式及分组求和,属于综合题.
由递推公式确定通项公式后,再求.【解答】解:因为,所以又,所以是首项为,公比为的等比数列.所以,则 故选:.7. 【分析】本题考查分段函数的最值问题、恒成立问题及分类讨论的思想,属于综合题.
先求出的最小值为,再将时转化为恒成立问题.【解答】解:因为当时,,令,得,则在上单调递减,上单调递增,即函数在处取得最小值,
所以问题转化为在上恒成立,令,当时,不符合.当时,对称轴,则或解得或,所以故选:.8. 【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力,难度适中.
解答本题的关键有两点,其一是转化得到sinxf(x)﹣cosxf′(x)>0,其二是构造函数g(x)=cosxf(x)即可.
【解答】
解::因x∈(0,),故tanxf(x)>f′(x),
∴sinxf(x)>f′(x)cosx,即sinxf(x)﹣cosxf′(x)>0,
令g(x)=cosxf(x),
则 g′(x)=cosxf′(x)﹣sinxf(x)<0,
所以函数g(x)在(0,)为减函数,
∴cosf()>cosf(),
∴f()>f(),
故选A.9. 【分析】本题考查构造新函数,由函数图象判断自变量的大小,属于综合题.
等式两边取对数,构造函数函数,结合图象得到与的范围.【解答】解:两边取对数,得,构造函数,则.,则在上单调递增,在上单调递减,且,
得的图象如右所示,又,所以,.故选:10. 【分析】本题考查了复数的运算以及几何意义,属于简单题.【解答】解:对于选项,,平方可得,项正确;对于选项,取,则,当,项错误;对于选项,,平方可得,即,因此存在实数,使得,项正确;对于选项,取,但,项错误.11. 【分析】本题考查新定义背景平面向量向量的线性运算,以及点到直线的距离公式,属于综合题.
根据题目的新定义对选项逐一判断即可.【解答】解:对于选项:若, ,则;因为,所以;故A错误;对于选项:设以为圆心、半径为的圆上任意一点为,因为,所以,得,,,
即故B正确;对于选项:, ,则,即,
,故C错误;对于选项:若,斜平面内直线的方程为,则在直角坐标下的直线的方程为,则原点到直线的方程为故D正确.故选:12. 【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系及应用,属于综合题.
通过设直线方程联立方程组,再借助韦达定理表示出所需验证的代数式是否为定值.【解答】解:由已知,,设直线的方程为,与椭圆方程联立得,消去得:,设,,
则与有关,不是定值,故选项A错误.
是定值,故选项B正确. 与有关,不是定值故选项C错误.定值故选项D正确.故选:13. 【分析】本题考查正态曲线的性质,属于基础题.
利用正态曲线关于对称,得到与的关系.【解答】解:因为,所以正态曲线关于对称,且,所以,所以.14. 【分析】本题考查等差数列的通项公式及基本不等式的应用,属于中档题.
先根据得到,再借助基本不等式求的最小值.【解答】解:因为,则,化简得因为数列的各项均为正数,则,,则当且仅当,即时取等号,所以的最小值为.15. 【分析】
本题主要考查了圆的方程的综合运用,与圆有关的轨迹问题,两点间的距公式,中点坐标公式运用,考查了分析和运算求解能力,属于较难题.
设、,由条件可得,结合可得,代入坐标运算可得,即,设的中点为,则,利用中点坐标公式表示出点的轨迹方程,进而求出的取值范围即可求解.
【解答】
解:
由题意,设、,
则,
,
,即,
,
,
,
设的中点为,则,
得:
,
即,
点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,
的取值范围为,
,
,
故答案为.16. 【分析】
本小题主要考查函数单调性的应用、不等式的解法、进行简单的演绎推理等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.
先根据题意得,,,对于方程,将看成未知数,解二次方程得,由知,利用单调性结合的取值范围,即可得出的取值范围.【解答】
解:得,,
,设,由
知,,由,得,
当时,有当,取最大,最大值;
当时,有当,取最小,最小值;
则的取值范围是.
故答案为.
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这是一份浙江省杭州市2023-2024学年高三上学期期中教学质量检测 数学,共22页。试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卷两部分,考试结束,只需上交答题卡等内容,欢迎下载使用。
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