2022届陕西省西安市长安区高三上学期1月质量检测数学（文）试题（解析版）

2022届陕西省西安市长安区高三上学期1月质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义可求.

【详解】由题设有，

故选：B .

2．复数的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法化简复数，即可得解.

【详解】因为，因此，复数的虚部为.

故选：A.

3．椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据椭圆方程求出的值，然后根据离心率公式即可求解出离心率的值.

【详解】因为椭圆方程为，

所以，

所以离心率，

故选：A.

4．下列函数中，既是奇函数，又是减函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据奇函数以及减函数的定义，结合一次函数、正弦函数、对数函数、指数函数的性质，可得答案.

【详解】对于A，根据一次函数的性质，易知函数既是减函数，又是奇函数，故A正确；

对于B，根据正弦函数的性质，易知函数是奇函数，非减函数，故B错误；

对于C，根据对数函数的性质，易知函数为增函数，非奇非偶函数，故C错误；

对于D，根据指数函数的性质，易知函数为增函数，非奇非偶函数，故D错误.

故选：A.

5．函数的最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用余弦函数的倍角公式化简，再由即可得解.

【详解】因为，故，

所以，

故，即的最小正周期为.

故选：D.

6．有一组样本数据，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中（，2，，n），则（    ）

A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本众数相同 D．两组样本数据的样本方差相同

【答案】D

【分析】根据平均数，中位数，众数，方差的定义，利用公式即可判断正误.

【详解】对于A，设，则，所以，A选项错误；

对于B，因为（，2，，n），所以，，，的中位数是，，，的中位数加1，B选项错误；

对于C，若，，，的众数为，因为（，2，，n），所以，，，的众数为，C选项错误；

对于D，设，，则，D选项正确；

故选：D.

7．长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据长方体外接球直径，可求出半径R，再由球体表面积公式，即可求出结果.

【详解】长方体外接球直径，所以该长方体外接球的表面积

故选：C.

8．若x，y满足约束条件，则的最大值为（    ）

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】D

【分析】由题意，作出可行域，根据截距型求的最值，可得答案.

【详解】由题意，作可行域如下图：

由图可知，直线过点时，取的最大值，

联立，解得，即，

则.

故选：D.

9．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下列结论中错误的是（    ）

A． B．

C． D．平面ADE⊥平面BCE

【答案】C

【分析】选项A，由，，知平面，可判断；选项B，由，，知平面，可判断；选项C，采用反证法，假设，结合可判断；选项D，由平面，再根据面面垂直的判定定理，可判断．

【详解】解：由是底面圆的直径，则，即．

四边形是圆柱的轴截面，底面，底面．

选项A，平面，，

，，、平面，

平面，又平面BCE，，即选项A正确；

选项B，平面，，

，，、平面，

平面，又平面ADE，，即选项正确；

选项C，若，又，，平面AEB，则可得底面，且，则与底面矛盾，即选项C错误；

选项D，平面，平面，平面平面，即选项D正确．

故选：C．

10．已知命题过直线外一定点，且与该直线垂直的异面直线只有两条；命题，，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】判断命题、的真假，利用复合命题的真假逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于命题，如下图所示，

设点为直线外一点，过点有且只有一个平面使得，

过点在平面内有无数条直线与异面且与直线垂直，命题为假命题；

对于命题，，由基本不等式可得，

当且仅当时，等号成立，命题为真命题.

因此，、、均为假命题，命题为真命题.

故选：B.

11．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】方法一：通过构造函数，作出和的图象，观察两个图象的变化趋势得出结果；

方法二：构造，对该式求导，得出单调性，也可判断.

【详解】方法一：设函数为，而.

如图，的图象在的下方，而且随着的增大，的图象与的图象越来越接近，即当时，的值越来越大，所以有，.

方法二：构造函数，

则，，

，

在上恒成立，

所以，函数在上单调递增，

所以，，即.

故选：B.

12．已知函数图象上在点处的切线的斜率为，若，则函数在原点附近的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，然后再由又时，的正负求解.

【详解】由题意知：，

因为，所以函数是奇函数，故排除B，C选项，

又时，，，故此时，故A正确，D错误.

故选：A.

二、填空题

13．已知平面向量，，且，则___________．

【答案】－4

【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.

【详解】由题知，

所以，

所以 .

故答案为：

14．若双曲线的一条渐近线方程为，则实数___________．

【答案】9

【分析】根据双曲线的焦点在 轴上的渐近线为 即可解决.

【详解】由题知双曲线的焦点在 轴上，

所以 即

解得

故答案为：9.

15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的面积为___________．

【答案】

【分析】根据余弦定理和三角形面积公式即可求得面积.

【详解】由已知及余弦定理可得，

故，解得或（舍）

所以

故答案为：

16．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将牵星板立起，一手拿木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度，如图所示，若在一次观测中所用的牵星板为六指板，则___________．

【答案】

【分析】由题可知图中直角边分别为72厘米和12厘米，由此可知的正弦值和余弦值，再根据二倍角公式即可求出答案.

【详解】由题可知六指板为12厘米，由此可知，

故，,

.

故答案为：.

三、解答题

17．已知等差数列的公差，且，，成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和为．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件，得出关系式，即可解出；

（2）根据等差数列的前n项和求出即可.

【详解】（1）∵，，成等比数列，∴．

又，∴，解得．

∴．

（2）∵，

∴．

18．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表：

规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀，将频率视为概率．

(1)此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？

(2)在全校学生成绩为良好和优秀的学生中利用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行冬奥知识演讲，求良好和优秀各1人的概率．

【答案】(1)0.3

(2)0.6

【分析】（1）由80分及以上的学生人数与抽取的总人数的比值进行求解；

（2）列举法求解古典概率求概率公式.

【详解】（1）∵80分及以上为优秀，

∴，

∴此次比赛中该校学生成绩的优秀率是0.3．

（2）∵成绩良好的学生人数与成绩优秀的学生人数之比为，

∴在成绩良好的学生中抽取2人，记为a，b；在成绩优秀的学生中抽取3人，记为C，D，E．

从a，b，C，D，E中随组抽取2人的所有基本事件为：，，，，，，，，，，共10种，

其中良好和优秀各1人的有：，，，，，，共6种．

∴良好和优秀各1人的概率为．

19．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点．

(1)求证：平面；

(2)在线段上(包括端点)任取一点P，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)利用平行四边形证明，即可根据线面平行的判定定理证明；

(2)根据知P到平面的距离为定值，取P与B重合时即可计算三棱锥的体积．

【详解】（1）证明：由正方体的性质可知，且，

∴四边形是平行四边形，

∴．

又平面，平面，

∴平面．

（2）∵平面，

∴直线上的点到平面的距离相等．

∴点P的位置变化，三棱锥的体积不变，

不妨让P点与B点重合，则．

20．已知函数．

(1)当时，求函数的极值；

(2)讨论函数的单调性．

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)答案见解析

【分析】（1）先写出函数的导数，再计算出导数零点，根据极值点定义判断零点是否是极值点；

（2）先写出函数的导数，再计算出导数零点，分类讨论的取值为对函数单调性的影响.

【详解】（1）易知函数的定义域为．

当时，，

∴．

令，得；

令，得；

令，得．

∴函数的极小值为，无极大值．

（2）．

①当时，令，得；令，得．

②当时，令，得或；令．得．

③当时，恒成立．

④当时，令，得或；令，得．

综上，当时，函数的增区间为，减区间为；

当时，函数的增区间为和，减区间为；

当时，函数的增区间为；

当时，函数的增区间为和，减区间为．

21．已知抛物线C：的焦点为F，且与直线相切．

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)是否存在过点F的直线l与抛物线C交于，两点，且使得△OAB（O为坐标原点）的面积为4，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在，．

【分析】（1）利用抛物线与直线相切，有一个交点，判别式，即可求出p的值，得到抛物线C的标准方程；

（2）设直线l：，联立抛物线方程后运用韦达定理，代入三角形面积公式即可求出参数m的值，得到直线方程.

【详解】（1）联立，消去x得，

由题意知，

解得．

∴抛物线C的标准方程为．

（2）由（1）易知抛物线C的焦点F的坐标为，

假设存在满足条件的直线l，依题意可设l：，

由，消去x得．

∴，．

∴．

∵，

∴，解得．

∴存在满足条件的直线l，其方程为．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)若射线：与曲线的交点为 ，与曲线的交点为 ，求的值．

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）先将参数方程转化为普通方程，再根据转化为极坐标方程即可；（2）运用极坐标方程的弦长公式即可解决.

【详解】（1） 曲线的参数方程为（为参数），

曲线的普通方程为．

根据，

转化为极坐标方程为．

（2）将代入，得，

．

将代入，

得，

解得或（舍）．

．

．

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】(1)代入a＝1，运用平方法即可求解；

(2)运用三角不等式求出f(x)的最大值即可．

【详解】（1）当时，≥0等价于，

∴，即，解得．

∴当时，不等式的解集为．

（2）∵，

∴．

∴，解得．

∴实数a的取值范围为．